DẠNG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ----------------------------------------------------------- I. LÝ THUYẾT 1. Các quy tắc thường dùng để biến đổi - Quy đồng mẫu các phân thức - Trục căn thức ở mẫu - Rút gọn phân thức - Hằng đẳng thức 2. Các bài toán liên quan Bài toán 1: Tìm x để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước - Rút gọn - Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình Bài toán 2: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên - Rút gọn - Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một biểu thức có tử là một số nguyên - Cho mẫu là ước của tử suy ra x Bài toán 3. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước - Rút gọn - Rút gọn giá trị của biến nếu cần - Thay vào biểu thức rút gọn Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Rút gọn - Biến đổi biểu thức về dạng A 2 + m hoặc – A 2 + m II. BÀI TẬP Bài 1. Cho các biểu thức: A = 2 232 − −− x xx và B = 2 22 3 + −+− x xxx a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị của x để A = B. (Chu Văn An và Amsterdam 1995) Bài 2. Cho biểu thức: P = 1 2 1 1 2 2 393 − + + − − − −+ −+ aa a aa xa a) Rút gọn P. b) Tìm a để |P| = 1. c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N. (Chu Văn An và Amsterdam 1996) Bài 3. Cho biểu thức: ( ) 1x 2x 2x 3x 2xx 3xx3 P − − − + + + −+ −+ = a) Rút gọn P. b) Tìm x để 4 15 P < . (Chu Văn An và Amsterdam 1997) Bài 4. Cho biểu thức:         + + − − + −         + − + + + + = 1xy 1x 1xy xxy 11 xy1 xxy 1xy 1x P a) Rút gọn P. b) Cho 6 11 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất của P. (Chu Văn An và Amsterdam 1998) Bài 5. Cho biểu thức:         + −         +− + + − + + − + = 1x x 1: 6x5x 2x x3 2x 2x 3x P a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P 1 đạt giá trị nhỏ nhất. (Chu Văn An và Amsterdam 1999) Bài 6. Cho biểu thức: P = xx xx xx xx x x + + − − + + 1 _ 122 a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức P 8 chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. (Chu Văn An và Amsterdam 2000) Bài 7. Cho biểu thức:         + −         − + − − + − +− + = 1x x 2: 3x 2x x2 3x 6x5x 2x P a) Rút gọn P. b) Tìm x để 2 51 −≤ P (Chu Văn An và Amsterdam 2001) Bài 8. Cho biểu thức: P = 1 1 1 2 1 1 ++ + − − + − − + xx x xx x x x a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x P Q += 2 . (Chu Văn An và Amsterdam 2002) Bài 9. Cho biểu thức: P = 1 )1(22 1 2 − − + + − ++ − x x x xx xx xx a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P. c) Tìm x để biểu thức P x Q 2 = nhận giá trị là số nguyên. (Chu Văn An và Amsterdam 2003) Bài 10. Cho biểu thức: 2 2 x x2 1 1x 1x 1x 1x P         −         − + − + − = a) Rút gọn P. b) Tìm x để 2 > x P (Chu Văn An và Amsterdam 2004) Bài 11. Cho biểu thức: P = x x xx xx xx xx 111 + + + + − − − a) Rút gọn P. b) Tìm x để 2 9 = P (Chu Văn An và Amsterdam 2005) Bài 12. Cho ( ) 2 1 a a 1 a a A 1 a : a a 1 1 a 1 a      − + = − + − +    ÷ ÷ − +        a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì | A | = A. Bài 13. Cho biểu thức : a b 1 a b b b B a ab 2 ab a ab a ab   + − − = + +  ÷ + − +   . a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5= + . c) So sánh B với -1. Bài 14. Cho 1 1 a b A : 1 a a b a a b a b   +   = + +  ÷  ÷ − − + + −     a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm b biết | A | = -A. c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = + . Bài 15. Cho biểu thức a 1 a 1 1 A 4 a a a 1 a 1 a   + −   = − + −  ÷  ÷ − +     a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A nếu 6 a 2 6 = + . c) Tìm giá trị của a để A A> . Bài 16. Cho biểu thức a 1 a a a a A 2 2 a a 1 a 1    − + = − −  ÷ ÷ + −    . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4 Bài 17. Cho biểu thức c ac 1 B a a c a c a c ac c ac a ac   − = + −  ÷ + +   + − + − a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. Bài 18. Cho biểu thức: 2 2 2 2mn 2mn 1 A= m+ m 1 1+n 1 n n   + − +  ÷ +   với m ≥ 0 ; n ≥ 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5= + . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 19. Cho 1 2 x 2 x P : 1 x 1 x 1 x x x x 1     = − −  ÷  ÷ + − + − −     với x ≥ 0 ; x ≠ 1. a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P < 0 Bài 20. Xét biểu thức 2 x x 2x x y 1 x x 1 x + + = + − − + . a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? Bài 21. Cho A =         − + +         − − − 1 2 1 1 : 1 1 a aaaa a a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A khi a = 223 + c. Tìm a để A < 0 Bài 22. Cho P =         − − −         − + + xxx x x x x x 2 2 1 : 4 8 2 4 a. Rút gọn P b. Tính giá trị của x để P = -1 Bài 23. Cho P =         + − + −         − xx x x x x x 11 : 1 a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P tại x = 32 2 + c. Tìm x thỏa mãn 436. −−−= xxxP Bài 24. Cho B =         − + − + −         − 1 1 1 1 2 1 2 2 x x x x x x a. Rút gọn B b. Tìm x để B = 2 c. Tìm x để B > 0 Bài 25. Cho A = 1 )12(2 : 11 − +−         + + − − − x xx xx xx xx xx a. Rút gọn A b. Tìm x ∈ Z để A ∈ Z Bài 26. Cho A = 2 1 : 1 1 11 2 −         − + ++ + − + x xxx x xx x a. Rút gọn A b. Chứng minh rằng 0 < A < 2 Bài 27. Cho K = x x x xx x x x x 2009 . 1 14 1 1 1 1 2 2 +         − −− + + − − − + a. Tìm x để K xác định b. Rút gọn K c. Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên Bài 28. Cho P =         − ++ +         + − + − + xy xyyx xy yx xy yx 1 2 1: 11 a. Rút gọn P b. Tính P tại x = 32 2 + c. Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 29. Cho P =         + −+ + − −+         − − xx xxx x xx xx 1 12 1 12 : 1 1 1 a. Rút gọn P b. Tính P tại x = 347 − Bài 30. Cho M = 1 1 1 1 1 2 − − − ++ + + − + x x xx x xx x a. Rút gọn M b. Chứng minh rằng 1 > 3M Bài 31. Cho A =         ++ + −         − − − + 1 4 1: 1 1 1 12 xx x xxx x a. Rút gọn A b. Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Bài 32. Cho M =         − + +         − − − 1 2 1 1 : 1 1 x xxxx x a. Rút gọn M b. Tìm x sao cho M > 0 Bài 33. Cho M =         −         + + − − − + x xx x x x x 1 4 1 1 1 1 a. Rút gọn M b. Chứng minh rằng M > 0 Bài 34. Cho P =         − +         − − − − + 1 : 1 1 1 1 x x x x x x xx a. Rút gọn P b. Tìm x để P = 3 Bài 35. Cho M = 1212 1 . 1 1 2 − + −+ −         − + − − −+ x x xx x x xx xx xxxx a. Tìm x để M có nghĩa b. Rút gọn M c. Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên d. Chứng minh rằng M < 1 với mọi x Bài 36. Cho P = ba abab ba bbaa ab ab + +−         − − − − − 2 )( : a. Rút gọn P b. Chứng minh rằng P ≥ 0 Bài 37. Cho P =         −+ − − + − + − −         − − − 6 9 3 2 2 3 : 9 3 1 xx x x x x x x xx a. Rút gọn P b. Tìm x để P = 1 Bài 38. Cho P =         − + −         +− − − + a a aa aa a aa a 1 1 : 11 12 a. Rút gọn P b. Tìm a để 01. <− aP . trước - Rút gọn - Rút gọn giá trị của biến nếu cần - Thay vào biểu thức rút gọn Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Rút gọn - Biến đổi biểu thức. trước - Rút gọn - Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình Bài toán 2: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên - Rút gọn - Lấy