UBND HUYỆN NAM ĐÔNG PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ……………………………………………………………………………… Câu1: (3 điểm) Cho ( ) ( ) xx x xx y 82 123 2 2 2 2 2 −++ +− = a) Rút gọn y. b) Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên. Câu2: (1,5điểm). Với giá trị nào của m và n thì hàm số: ( ) ( ) 3665 2222 +−+++−= xnmnmxmmy là hàm bậc nhất? Câu3: (1,5điểm) Giải phương trình sau: 11 −=+ xx Câu 4: (2điểm) Tìm các giá trị của a để hệ vô nghiệm: { 1 323 =+ +=− ayx aayax Câu 5: (4 điểm) Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Hãy tính vận tốc của dòng nước. Câu 6 (5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn. Câu 7: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó. ----Hết--- HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2008- 2009 Câu Nội dung – yêu cầu Điểm 1 3đ 2 1,5đ a) Ta có: 2 3 )2( )3( 2 2 2 22 −+ + =−+ + = x x x x x x y - Nếu x < 0 thì x xx x xxx y 32223 222 −+− = +−−− = - Nếu 0 < x ≤ 2 thì xx xxx y 3223 22 + = +−+ = - Nếu x > 2 thì x xx y 322 2 +− = b) Nếu x∈Z thì Zx ∈− 2 , do đó để y∈z thì: ( ) xx 3 2 + hay 3;13 ±±=⇒ xx Hàm số đã cho là hàm bậc nhất khi: { 065 06 2 22 =+− ≠−+ mm nnm ⇔ { 0)3)(2( 0)3)(2( =−− ≠+− mm nmnm { 3;2 0)3)(2( == ≠+− ⇔ mm nmnm - Với m = 2 thì (m – 2n)(m+3n) ≠ 0 ⇔ ⇔ (2 – 2n)(2+3n)≠0 ⇔ 1 ≠ n và 3 2 −≠ n Với m =3 thì (m-2n)(m+3n) ≠ 0 ⇔ (3 – 2n)(3+3n)≠0 ⇔ 2 3 ≠ n và 1 −≠ n Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi: a) m =2; n ≠ 1 và 3 2 −≠ n b) m=3; n ≠ -1 và n ≠ 2 3 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,25 0,25 0,5 0,5 3 1,5đ 11 −=+ xx ⇒ ( ) 0 3 2 11 = = ⇒−=+ x x xx Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trình: x = 3 là nghiệm của 0,5 1,0 . N E F K M D I C B A 4 2đ 5 4đ 6 (5đ) phương trình. {{ ayx aayaya ayx aayax −= +=−− =+ +=− ⇔ 1 323)1( 1 323 { ayx ayaa −= +=+− ⇔ 1 3)3( Hệ phương trình vô nghiệm { 0 0)3( 03 =⇔⇔ =+ ≠+ a aa a (4 giờ 30 phút = 4,5 giờ). Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/giờ), vận tốc dòng nước là y (km/giờ) (đk: x > y >0). Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là: x+ y (km/giờ) Vận tốc của thuyền khi ngược dòng là: x – y (km/giờ) Thời gian thuyền ngược dòng 5km là: yx + 5 (giờ) Thời gian thuyền ngược dòng 4km là: yx − 4 (giờ) Theo đề bài ta có phương trình: yxyx − = + 45 (1) Thời gian xuôi dòng 40km là: yx + 40 (giờ) Thời gian ngược dòng 40km là: yx − 40 (giờ) Theo bài ta có phương trình: yx + 40 + yx − 40 = 2 9 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình. Giải hệ ta được x = 18; y = 2. Vậy vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. -Vẽ hình đúng chính xác -Gọi M, N, K là trung điểm của AC ; AB ; AI. Δ ABC vuông tại A nên đường trung trực của AB ; AC phải đi qua trung điểm I của BC. Δ ABC vuông tại A có IA là trung tuyến nên IA=IC => · · IAC ICA= ; NI // AM (cùng vuông góc với AC) Suy ra · · EIA IAC= . Ta lại có KM là đường trung bình của Δ AIC => KM // IC => => · · IAC KMA= . Tứ giác AKMF nội tiếp được nên · · KMA KFA= . Từ những điều kiện trên, suy ra: · · AFK EIA= mà chúng cùng nhìn nhìn đoạn AE. 0,5 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 1 Vậy tứ giác AEIF nội tiếp vì · 1AIF v = (AMIN là hình chữ nhật) nên EF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp mà EF là trung trực của AD nên D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEIF. Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trên đường tròn. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 (3đ) Vẽ hình đúng, chính xác * Thuận: Vì M là trung điểm của AB, nên: OM ⊥ AB ⇒ ∠AMO = 90 0 Điểm M nhìn đoạn AO dưới một góc vuông, nên M chạy trên đường tròn đường kính AO. Giới hạn: Vì B chạy khắp đường tròn (O) nên M chạy khắp đường tròn đường kính AO. * Đảo: Lấy N thuộc đường tròn đường kính AO suy ra AN cắt đường tròn (O) tại K. Ta có: góc ANO = 90 0 suy ra OM ’ ⊥A ’ B ’ suy ra N là trung điểm AK. Kết luận: Tập hợp trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO O N K B M A 0,5 1,0 1,0 . UBND HUYỆN NAM ĐÔNG PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150. trên đường tròn đó. ----Hết--- HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2008- 2009 Câu Nội dung – yêu cầu Điểm 1 3đ 2 1,5đ a) Ta