Bồi dỡng học sinh giỏi hình học 8 Chuyên đề: tìm tập hợp điểm (quỹ tích) A.Các b ớc làm 1 - Dự đoán 2 - Phần thuận: CMR điểm M có tính chất a thì điểm M thuộc hình H. Tìm giới hạn (nếu có) khi đó điểm M không thuộc toàn bộ hình H mà thuộc hình H là một bộ phận của H 3 - Phần đảo : Lấy điểm M bất kì thuộc hình H vẽ hình tạo ra các điểm chuyển động khác đợc nêu trong đề bài rồi CMR diểm M có tính chất a. 4 Kết luận: Tập hợp các điểm M có tính chất a là hình H B- Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cố định một điểm M di chuyển trên cạnh BC.Tim quỹ tích trung điểm I của đoạn AM. Bài 2: Cho tam giác ABC cố định một điểm M nằm trên cạnh BC. Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, AC cắt AC và AB lần lợt tại D và E. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AM khi M di chuyển trên cạnh BC. Bài 3 Cho tam giác ABC cân ở A. Điểm M di động trên cạnh BC. Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, AC cắt AB và AC lần lợt tại P và N. a) Chứng minh tam giác MNC cân. Suy ra chu vi tứ giác APMN không phụ thuộc vị trí điểm M trên cạnh BC b)Tìm quỹ tích tâm hình bình hành APMN . Xác định vị trí M để NP ngắn nhất. Bài 4: Cho tam giác ABC cân cố định(AB = AC). Hai điểm D và E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh bên AB, AC sao cho AD = CE. Tìm tập hợp các trung điểm M của DE Bài 5: Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm M chuyển động trên đoạn thẳng đó. Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các tam giác đều AMC, BMD. Tìm tập hợp các trung điểm I của CD. (Cũng câu hỏi này trong đó các tam giác đều vẽ trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Bài 6: Cho đoạn thẳng AB, điểm D nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB ta lấy các điểm E và F sao cho tam giác EAD cân tại E, tam giác FBD cân tại F và gócE = gócF = m 0 . tìm quỹ tích trung điểm O của EF khi D di động trên đoạn thẳng AB Bài 7: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M chuyển động trên AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai hình vuôngAMPQ và BMCE, gọi O và O lần lợt là tâm hai hình vuông, BC cắt AP tại K, AC cắt BP tại H . Gọi I là trung điểm của đoạn OO a) Tứ giác OKO M là hình gì ?vì sao? b) CMR: BH vuông góc với AC c)Chứng minh E,K,Q,H thẳng hàng. d) Chứng minh đờng thẳng EQ luôn luôn đI qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB. e) Điểm M ở vị trí nào trên đoạn AB thì tứ giác OKO M là hình vuông? f)Tìm tập hợp các điểm I khi M di chuyển trên AB ?( Cũng câu hỏi này trong đó các hình vuông vẽ trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A(cố định). Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đờng thẳng vuông góc với BC, cắt các đờng thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi M và N lần lợt là tâm hai hình đó. a) Tứ giác AMDN là hình gì ? Vì sao ? b) CMR: A là trung điểm của HK. c) Gọi O là trung điểm của MN. Tìm quỹ tích các điểm O Khi D di chuyển trên BC Bài 9: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, đỉnh A chuyển động trên một đờng thẳng song song với BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác đó. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm di động trên cạnh BC, N là điểm đối xứng của M qua đờng thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm N Phan Thị Hồng Thắm THCS Nguyễn Thiện Thuật 1 Bồi dỡng học sinh giỏi hình học 8 Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Từ một điểm H trên cạnh BC vẽ một dờng thẳng vuông góc với BC, cắt các đờng thẳng AB, AC lần lợt tại I và K. Gọi E là trung điểm của BI, F là trung điểm của CK. Tìm quỹ tích trung điểm O của EF khi H di động trên BC. Bài 12: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tia AI cắt đờng thẳng BC tại N.Tìm tập hợp các điểm N khi hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định còn cạnh CD tr ợt trên đờng thẳng d song song với AB. Bài 13: Cho tam giác ABC (AB = AC) cố định, một điểm M chuyển động trên cạnh AB Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Nối MN và vẽ hình bình hành BMNP. Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này Bài 14: Cho một góc vuông xOy cố định, trên tia Ox có điểm A cố định. B là điểm chuyển động trên Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C Bài 15: Cho một góc vuông xOy cố định, trên tia Oy có điểm A cố định. B là điểm chuyển động trên Ox. Vẽ tam giác đều ABC(C và O khác phía đối với AB) a) Tìm tập hợp các điểm C b) Tìm tập hợp các trung điểm H của AC c) Tìm tập hợp các trung điểm K của BC Bài 16: Cho một góc vuông xOy cố định, trên tia Oy có điểm A cố định. D là điểm chuyển động trên Ox. Lâý AD làm cạnh vẽ hình vuông ABCD vào phía trong của góc vuông xOy. Tìm quỹ tích các đỉnh B của hình vuông. Bài 17: Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định nằm trong góc vuông đó. Một tam giác ABC có góc A = 90 0 ,hai đỉnh B và C lần lợt chuyển động trên Ox, Oy. a) Tìm tập hợp các trung điểm E của cạnh BC. b) Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 18: Cho tam giác ABC cố định. Xét các hình chữ nhật có hai đỉnh trên cạnh BC, hai đỉnh còn lại thuộc hai cạnh kia của tam giác. Tìm quỹ tích tâm của các hình chữ nhật này Bài 19: cho tam giác ABC vuông ở A, AB = AC = a. a) Trên các cạnh AC và AB lấy tơng ứng hai điểm D, E sao cho AD = AE. Các đờng thẳng vuông góc với CE kẻ từ A và D lần lợt cắt BC tại K và L. Chứng minh BK = KL b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC và có chu vi luôn bằng 2a. Chứng minh rằng đỉnh M chuyển động trên một đoạn thẳng cố định . c) Chứng minh rằng khi hình chữ nhật APMN thay đổi thì các đờng thẳng vuông góc kẻ từ M xuống đờng chéo PN luôn luôn đI qua một điểm cố định. Bài 20: Cho hình chữ nhật ABCD.một góc xAy quay quanh A có hai cạnh góc vuông lần lợt cắt CB, CD tại E và F.Dựng hình chx nhật AENF. Tìm quỹ tích tâm M của hình chữ nhật này. Bài 21:Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh E, có cạnh Ex cắt các đờng thằng FG và GH theo thứ tự ở M và N, cạnh Ey cắt hai đờng thẳng trên lần lợt ở P và Q . a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân . b) Đờng thẳng QM cắt NP ở R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao ? c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng và đờng thẳng IK cố định khi góc xEy quay quanh E. Bài 22/ Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFG có tâm theo thứ tự là M và N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC. a) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông. b) CMR: Tia IA vuông góc với BC c) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đờng cao tơng ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đờng nào ? Phan Thị Hồng Thắm THCS Nguyễn Thiện Thuật 2 . động khác đợc nêu trong đề bài rồi CMR diểm M có tính chất a. 4 Kết luận: Tập hợp các điểm M có tính chất a là hình H B- Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC. trên các cạnh bên AB, AC sao cho AD = CE. Tìm tập hợp các trung điểm M của DE Bài 5: Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm M chuyển động trên đoạn thẳng đó. Vẽ