Đề thi chọn học sinh giỏi khối 9 Câu I : Tính giá trị của biểu thức: A = 53 1 + + 75 1 + + 97 1 + + .+ 9997 1 + B = 35 + 335 + 3335 + . + 399 35 .3333 số Câu II : Phân tích thành nhân tử : 1) X 2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a 5 + a 10 Câu III : 1) Chứng minh : (ab+cd) 2 (a 2 +c 2 )( b 2 +d 2 ) 2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x 2 + 4y 2 Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) Tính tỉ số : MQ MP Câu 4: Cho P = x xx + 1 34 2 Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. đáp án Câu 1 : 1) A = 53 1 + + 75 1 + + 97 1 + + .+ 9997 1 + = 2 1 ( 35 + 57 + 79 + .+ 9799 ) = 2 1 ( 399 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + . + 399 35 .3333 số = =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ .+333 .33) = 198 + 3 1 ( 99+999+9999+ .+999 .99) 198 + 3 1 ( 10 2 -1 +10 3 - 1+10 4 - 1+ +10 100 1) = 198 33 + B = 27 1010 2101 +165 Câu 2: 1) x 2 -7x -18 = x 2 -4 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) 2) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x 2 +5x +4)(x 2 + 5x+6)-3= [x 2 +5x +4][(x 2 + 5x+4)+2]-3 = (x 2 +5x +4) 2 + 2(x 2 +5x +4)-3=(x 2 +5x +4) 2 - 1+ 2(x 2 +5x +4)-2 = [(x 2 +5x +4)-1][(x 2 +5x +4)+1] +2[(x 2 +5x +4)-1] = (x 2 +5x +3)(x 2 +5x +7) 3) a 10 +a 5 +1 = a 10 +a 9 +a 8 +a 7 +a 6 + a 5 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a +1 - (a 9 +a 8 +a 7 )- (a 6 + a 5 +a 4 )- ( a 3 +a 2 +a ) = a 8 (a 2 +a+1) +a 5 (a 2 +a+1)+ a 3 (a 2 +a+1)+ (a 2 +a+1)-a 7 (a 2 +a+1) -a 4 (a 2 +a+1)-a(a 2 +a+1) =(a 2 +a+1)( a 8 -a 7 + a 5 -a 4 +a 3 - a +1) Câu 3: 1) Ta có : (ab+cd) 2 (a 2 +c 2 )( b 2 +d 2 ) <=> a 2 b 2 +2abcd+c 2 d 2 a 2 b 2 + a 2 d 2 +c 2 b 2 +c 2 d 2 <=> 0 a 2 d 2 - 2cbcd+c 2 b 2 <=> 0 (ad - bc) 2 (đpcm ) Dấu = xãy ra khi ad=bc. 2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có : 5 2 = (x+4y) 2 = (x. + 4y) (x 2 + y 2 ) )161( + => x 2 + y 2 17 25 => 4x 2 + 4y 2 17 100 dấu = xãy ra khi x= 17 5 , y = 17 20 Câu 4 : Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => IA MP CI DM = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). Ta có góc ADC = góc CBA, Góc DMQ = 180 0 - AMQ=180 0 - góc AIM = góc BIA. Do đó DMQ đồng dạng với BIA => IA MQ BI DM = => DM.IA=MQ.IB (2) Từ (1) và (2) ta suy ra MQ MP = 1 Câu 5 Để P xác định thì : x 2 -4x+3 0 và 1-x >0 Từ 1-x > 0 => x < 1 Mặt khác : x 2 -4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có : (x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0 Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa. Với x < 1 Ta có : P = x xx + 1 34 2 = x x xx = 3 1 )3)(1( . 333 33+2 = 2 .99 + ( 33+333+3333+ .+333 .33) = 198 + 3 1 ( 99 +99 9 +99 99+ . +99 9 .99 ) 198 + 3 1 ( 10 2 -1 +10 3 - 1+10 4 - 1+ +10 100 1) = 198 33 +. 53 1 + + 75 1 + + 97 1 + + .+ 99 97 1 + = 2 1 ( 35 + 57 + 79 + .+ 97 99 ) = 2 1 ( 399 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + . + 399 35 .3333 số