Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tọa độ của điểm : ( ) ; ;M x y z OM xi y j zk ⇔ = + + uuuur r r r O(0; 0; 0) đặcbiệt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;0 ;0;0 0; ; 0; ;0 ;0; 0;0; M Oxy M x y M Ox M x M Oyz M y z M Oy M y M Oxz M x z M Oz M z ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ 2. Toạ độ vectơ : ( ) ; ;u x y z u xi y j zk = ⇔ = + + r r r r r (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k = = = r r r 3. Các công thức tính toạ độ vectơ : ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur Cho ( ) ; ;u x y z= r và ( ) ' '; '; 'u x y z= ur ' { '; '; '}u u x x y y z z = ⇔ = = = r ur ( ) ' '; '; 'u u x x y y z z ± = ± ± ± r ur ( ) ; ;ku kx ky kz = r 4. Tích vô hướng : . ' . ' . ' . 'u u x x y y z z = + + r ur . 0u v u v = ⇔ ⊥ r r r r 5. TÍCH HỮU HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ Công thức tích có hướng Cho ( ) ; ;u x y z = r và ( ) ' '; '; 'u x y z = ur ; ' ; ; ( ' '; ' '; ' ') ' ' ' ' ' ' y z z x x y u u yz zy zx xz xy yx y z z x x y   ∧ = = − − −  ÷   r ur Nhận xét: +) ;u v r r cùng phương thì ( ) 0 0;0;0u v∧ = = r r r ⇒ Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 0AB AC ∧ = uuur uuur r +) u v v u ∧ = − ∧ r r r r +) ( ); ( )u u v v u v ⊥ ∧ ⊥ ∧ r r r r r r 6. SD TÍCH HỮU HƯỚNG ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH : +) Vectơ tích hữu hướng c a,b   =   r r r vuông góc vơi hai vectơ a r và b r . +) a,b a b sin(a,b)   =   r r r r r r . +) ABC 1 S [AB,AC] 2 = uuur uuur . +) V HộpABCDA’B’C’D’ = [AB, AD].AA' uuur uuur uuuur . +) V Tứdiện ABCD = 1 [AB, AC].AD 6 uuur uuur uuur . 7. Các công thức tính độ dài và góc +) 2 2 2 u x y z= + + r ( ) 2 2 2 ) ( ) ( B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − +) ( ) 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ' cos ; ' ' . ' ' ' u u xx yy zz u u u u x y z x y z + + = = + + + + r ur r ur r ur BÀI TẬP An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). a) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau: = − − uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur , , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA . b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q. c) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC. d) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành ABCE. e) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD. f) Tính tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD. g) Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện. h) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D. i) Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K. Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng. Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C − − . a) Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ. b) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ. c) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ. d) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ. e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C. Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C − . a) CMr: ∆ABC vuông tại B. b) Tính diện tích của ∆ABC . c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC . Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C . Tính các góc của ∆ABC . Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) − −1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D . a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật b) Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó. c) Tính côsin của góc giữa hai vectơ uuur AC và uuur BD . Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A − − − − a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tính diện tích toàn phần của hình hộp. c) Tính thể tích V của hình hộp. d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’. Bài 8. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − − a) CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 1. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc. 2. Hình chóp D.ABC là hình chóp đều. b) Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC . Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3). a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tính thể tích hình hộp. Bài 10 : Trong kg Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C − . a) CMr: ∆ABC vuông tại B. An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 2 Phương Pháp Toạ Độ Trong Khơng Gian b) Tính diện tích của ∆ABC . c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC . Bài 11/ Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A − − − − a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tính diện tích tồn phần của hình hộp. c) Tính thể tích V của hình hộp. d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’. Bài 2: MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu : Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R − + − + − = (1) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x 2 +y 2 +z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, (2) đk: A 2 + B 2 + C 2 – D >0 (*) Tâm I 1 (-A; -B; -C) và bán kính R 1 = 2 2 2 A B C D+ + − 2. Chú ý: a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A I A I A I x x y y z z− + − + − b) Mặt cầu có đường kính AB thì R = 1 2 AB và tâm I là trung điểm AB c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm A, B, C, D. Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu: a) x 2 + y 2 + z 2 -6x +4y -2z – 86 = 0 b) x 2 +y 2 +z 2 +3x + 4y – 5z +6 = 0 c) x 2 +y 2 +z 2 –6x + 4y + 2z – 11 = 0 d) (x - 1) 2 +(y +3 ) 2 +(z – 2) 2 = 49 e) x 2 +y 2 +z 2 –2x +2z – 2 = 0 Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết: a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1) c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3) Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D. Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy) Bài 5: Viết phương trình mặt cầu a/ đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy). b/ đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz. c/ đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1). Bài 3 : MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I. Phương trình mặt phẳng: 1. Phương trình tổng qt của mặt phẳng: An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 3 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C = r ( là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc mặt phẳng B3: Thế vàp pt: A(x –x 0 ) + B(y-y 0 ) +C(z-z 0 ) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0 2. Chú ý:  Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 a.VTPT của (P) ( ; ; )n A B C= r b. Nếu điểm M(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ∈ (P) thì Ax 1 +By 1 +Cz 1 +D=0  Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương ; 'u u r ur có giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là: 'n u u = ∧ r r ur 3. Các trường hợp đặc biệt: a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0 b) Mp song song với các mặt tọa độ: song song với (Oxy): Cz + D = 0, song song với (Oyz): Ax + D = 0 , song song với (Oxz): By + D = 0 c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ: song song với Ox: By + Cz + D = 0 song song với Oy: Ax + Cz + D = 0 song song với Oz: Ax + By + D = 0 chứa trục Ox: By + Cz = 0 chứa trục Oy: Ax + Cz = 0 chứa trục Oz: Ax + By = 0 d) Mp chứa gốc tọa độ O(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0 e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với a.b.c ≠ 0 có p/trình dạng: 1 x y z a b c + + = Bài tập: Bài 1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6) a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ (1; 1;5)n − r làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là (1;2; 1), (2; 1;3)a b − − r r c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC e) Viết phương trình mp (ABC) Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau: a) ( α ) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) ( α ) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3). Bài 3. Trong không gian cho A(−1;2;1), OB j k= + uuur r r , 4OC i k= + uuur r r . a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng: a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5) c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2) Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD) b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB. An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 4 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài 7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ. Bài 8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ. Bài 9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ. Bài 10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC Bài 11. ( ĐH kB năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0) b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7) Bài 12. Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1). a) Viết pt mặt phẳng (α) qua M và có VTPT ( ) 2; 1;1n = − r . b) Viết pt mặt phẳng (β) qua M và vtpt của mp (β) vuông góc với 2 véctơ ( ) = − uur 1 1;0; 2u và ( ) = − − uur 2 1; 3;4u . Bài 13. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1). a) Viết pt mặt phẳng (ABC). b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB. c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC. d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz. e) Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp (P) qua A 1 , A 2 , A 3 . Bài 14. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− − . a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. c) Tìm M sao cho 2 3AM BA CM+ = uuur uuur uuur . d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC. Bài 15. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (α): + − − =2 3 4 2 0x y z . a) Viết pt mp (β) qua A và song song với mặt phẳng (α). b) Viết pt mp ( ) g qua OA và vuông góc với mặt phẳng (α). Bài 16. Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2), B(0;−1;3) và mặt phẳng (α): 3 2 4 0x y z − + + = . Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (α). Bài 17. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mặt phẳng (α) qua A, song song Oy và vuông góc với mặt phẳng (β): 3 4 6 0x y z − + + = Bài 18. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và (β) ⊥(α). Bài 19. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3). a.Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. c.Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD. d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó . e.Tính thể tích khối tứ diện ABCD . f.Tính góc giữa các vectơ A C uuur và B D uur . Bài 20. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0. d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD. e. Tính S ∆ABC . f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. g. Tính V ABCD . h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD. An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 5 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài 21. Trong k/gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2). a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B. b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện. c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD f. Tính góc giữa AB và CD. Bài 22. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mp ( ) : 2 2 5 0x y z α − − − = . a. Viết phương trình mặt phẳng ( ) b song song với mặt phẳng ( ) a và cách ( ) a một khoảng bằng 5. b. Viết phương trình mặt phẳng ( ) g đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( ) a . c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. Bài 23. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0. d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD. e. Tính S ∆ABC . f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. g. Tính V ABCD . h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD. Bài 24. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − − a/ CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC . II. Vị trí tương đối giữa hai mp: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0 Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là ( ) ( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= = r ur 1. (P) // (P’) ( ) ( ) ; ; '; '; ' ' ' ' A B C k A B C n kn D kD D kD  = =   ⇔ ⇔   ≠ ≠     r ur 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; '; '; ' ' ' ' ' A B C k A B C n kn P P D kD D kD  = =   ≡ ⇔ ⇔   = =     r ur 3. (P) cắt (P’) ( ) ( ) ' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠ r ur Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0 'n n⇔ ⊥ ⇔ r r hai mặt phẳng vuông góc Chú ý: Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT ( ; ; )n A B C= r 1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận ( ; ; )n A B C= r là VTPT 2. Nếu ( ) ( ) 'P P⊥ thì (P’) chứa hoặc chứa ( ; ; )n A B C= r Bài tập: 1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau: a) ( α ) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng ( β ): x−3z+1=0. b) ( α ) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng ( β ): x−3y + 2z - 1=0. c) ( α ) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng ( β ): 2x + y - 2z+4=0 d) ( α ) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( β ): 4x + y - z+1=0. 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau: An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 6 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian a) ( α ) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng ( β ):2x−y+3z+1=0. b) ( α ) qua hai điểm ( ) ( ) 1;0;3 , 5;2;3A B− và vuông góc với mặt phẳng ( β ): 2 0x y z+ − = c) ( α ) qua hai điểm ( ) ( ) 1;0;1 , 1;2;4A B và vuông góc với mặt phẳng ( β ): 3 0x z − + = d) ( α ) qua hai điểm ( ) ( ) 2; 1;2 , 1; 2;3A B− − và vuông góc với mặt phẳng ( β ): 3 2 6 0x y+ − = 3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0 4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M và song song với (P) 5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P 1 ) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P 2 ) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) 6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0 b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0 Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng : Loại 1 : Biết một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và một vectơ pháp tuyến ( ) ≠ r ur n= A;B;C 0 của mặt phẳng (α): (α): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x - x +B y- y +C z - z = 0 (1) Hay: Ax+By+Cz+D = 0 Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: * Vectơ pháp tuyến: ∧ r uuur uuur n=MN MP . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1). Loại 3: (α) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D = 0 * (α) có dạng Ax+By+Cz+m= 0 , ( ) α uur uur β n =n . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm ( ) ( ) A A A m, m= - Ax +By +Cz . Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D = 0 , (MN không vuông góc với (β): * (α) có α ∧ uur uuur uur β n =MN n . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1). III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng: Định lý: Cho điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 0 0 0 2 2 2 ( ,( )) Ax By Cz D d M P A B C + + + = + + Loại 1 : Khoảng cách từ M (x M ;y M ;z M ) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D = 0 : ( ) α M M M 2 2 2 Ax +By +CZ +D d M, = A +B +C Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng kia. Loại 3: Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mp(β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng ∆ , tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng (β). Loại 4: Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và '∆ chéo nhau: B1: Lập phương trình mp(Q) chứa '∆ và song song ∆ B2: Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng ∆ , tính khoảng cách từ điểm M đó đến mp(Q). Hoặc ta có thể làm ngược lại An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 7 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài tập: 1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết: a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0 b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0 c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình(P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q). 4. Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng ( α ): 2x+y−2z+2=0 bằng 2 3 . ĐS: m=±1 5. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD 6. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD 7. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) d) Tính thể tích tứ diện ABCD. 8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương trình: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P). 9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1) 2 + (y -2) 2 + (z -2) 2 = 36 và mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P). 10. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD 11. (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Hướng dẫn: có 2 trường hợp : (P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0 (P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0) 12. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể tích tứ diện ABCD. 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O. a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này. b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’) 14. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D) b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan: An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 8 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước  Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P) 15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD) 16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC). 17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α). 18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’) AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:  Nhắc lại một số công thức: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P) Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R a) Nếu ( ) ( ) ,d I P R> thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung b) Nếu ( ) ( ) ,d I P R= thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung. Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc c) Nếu ( ) ( ) ,d I P R< thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính ( ) ( ) , 2 2 I P r R d = − 19. Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 100x y z− + + + − = và mặt phẳng ( ) α 2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C). 20. Cho mặt cầu (S) : 6 4 2 5 2 2 2 0 x x y z y z − + − + + + = và mặt phẳng ( ) α x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α không cắt mặt cầu (S) . 21. Cho mặt cầu (S): 4 6 6 17 2 2 2 0 x x y z y z − + + + + + = và mặt phẳng ( ) α x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α cắt m/cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đ/tròn (C). 22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1). a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3. 24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m 2 – 3m = 0 và mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 9x y z− + + + − = . Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu. Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc. Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2 AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu  Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ( ) ( ) ,d I P R=⇔ 25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 9 Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian x 2 + y 2 +z 2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P) 26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD) Đs: a) x 2 + y 2 + z 2 –3x – 6y – 2z + 7 =0 b) 21 1 0 2 z ± − = Bài 4 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó. B2: Tìm toạ độ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc đường thẳng B3: PTTS: 0 0 0 ;( ) x x at y y bt t z z ct = +   = + ∈   = +  ¡ PTCT: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = khi a.b.c ≠ 0 2. Chú ý a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0 Khi đó đt d có VTCP: ' ; ; ' ' ' ' ' ' P P B C C A A B u n n B C C A A B   = ∧ =  ÷   r uur uur Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x 0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là AB uuur c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ thì d và ∆ có cùng VTCP e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc BÀI TẬP: 1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7) b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3) 2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0 3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các TH sau: a) d qua K(-2; -1; 3) và ss đ/thẳng 4 : 1 3 x t y t z t =   ∆ = −   = +  b) (d) qua K(0; 3; -2) và ss đ/thẳng 3 : 2 1 5 x t y z t = −   ∆ =   = − +  4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp : a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0 An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 10 [...]... với nhau b Bài tập 11 Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm C sao cho AC = ( 0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA x + 3ky − z + 2 = 0  kx − y + z + 1 = 0 Bài tập 12 Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcác vng góc Oxyz cho đ/thẳng dk:  Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P): x - y - 2z + 5 = 0 Bài tập 13 Trong khơng... thẳng ∆ đi qua A vng góc với d1 và cắt d2 Bài tập 20 Trong k/gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đ/t d1: x y −1 z + 2 = Bài tập 21 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t d1: = và d2: 2 −1 1  x = −1 + 2t  y =1+ t z = 3  a) Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đ/td1, d2 Bài tập 22 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho... 4 = 0  Bài tập 24 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d:  Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho k/cách giữa hai điểm đó bằng 9 Bài tập 25 Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho ∆ABM có chu vi nhỏ nhất Bài tập 26 Trong k/gian... cắt SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABMN x = −3 + 2t  Bài tập 14 Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đ/t d: y = 1 − t  z = −1 + 4 t  Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vng góc với đường thẳng d An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 18 Phương Pháp Toạ Độ Trong Khơng Gian Bài tập 15 Trong khơng gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ... −1 y + 3 z − 3 = = Bài tập 16 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: và mặt −1 2 1 phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vng góc với d Bài tập 17 Trong khơng gian với... Toạ Độ Trong Khơng Gian Bài tập 36 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d: x −1 y + 3 z − 3 = = và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 −1 2 1 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vng góc với d Bài tập 37 Trong khơng gian với... song song với mặt phẳng (P) Bài tập 44 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) Bài tập 45 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua... đó là nhỏ nhất An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 21 Phương Pháp Toạ Độ Trong Khơng Gian Bài tập 46 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Bài tập 47 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x+2 y−2 z = = và mặt... 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vng góc với đường thẳng ∆ Bài tập 48 Trong k/gian Oxyz, cho điểm A ( 2 ; 5 ; 3) và đường thẳng d : x −1 y z − 2 = = 2 1 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất Bài tập 49 Trong k/gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;... tiếp khối tứ diện OABC x − 2y + z − 4 = 0 Bài tập 31 Trong khơng gian Oxyz cho 2 đường thẳng: ∆1:  x + 2 y − 2z + 4 = 0 x = 1 + t  và ∆2: y = 2 + t z = 1 + 2 t  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 b) Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đ/t ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất Bài tập 32 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Đềcác . tròn nội tiếp ∆ABC . Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C . Tính các góc của ∆ABC . Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm. ur r ur r ur BÀI TẬP An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo Page 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương Pháp Toạ Độ Trong Không Gian Bài 1. Trong Oxyz,