Tiết 43 mặt cầu 1.Mặt cầu Định nghĩa : } { ( , ) | OM=R S O R M= O A B C R Nhận xét : *Nếu OA>R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O,R) . * Nếu OA<R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O,R) . *Nếu OA=R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O,R) . 2.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng Cho mặt cầu S(O,R) và mặt phẳng (P) bất kỳ . Gọi H là hình chiếu của O lên (P) ,khi đó : * Nếu OH>R thì ( ) ( )P S = *Nếu OH=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H , khi đó ta nói rằng (P) là tiếp diện của (S) tại H . *Nếu OH<R thì ( ) ( ) ( , ')P S C H R = 2 2 Với 'R R OH= H O M O H M O H M Đặc biệt : Khi O=H thì C(O,R) gọi là đường tròn lớn . 3.Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O,R) và đường thẳng d , gọi H là hình chiếu của O trên d ,khi đó : * Nếu OH>R thì d ( )S = * Nếu OH=R thì d tiếp xúc với (S) tại H Khi đó ta nói rằng d là tiếp tuyến của (S) tại H * Nếu OH<R thì d (S)={A, }B O H O H O H A B Tính chất của tiếp tuyến Định lí 1 : Qua một điểm M trên mặt cầu (S) ta vẽ được vô số các tiếp tuyến của (S) và tiếp xúc với (S) tại M . Các tiếp tuyến này nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm M . O Định lí 2 : Qua điểm A ngoài mặt cầu (S) , ta vẽ được vô số các tiếp tuyến với (S) và khoảng cách từ A đến các tiếp điểm bằng nhau . A 4)Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Định nghĩa : Mặt cầu (S) được gọi là ngoại tiếp hình đa diện nếu các đỉnh của đa diện nằm trên (S) . S A B D C Định lí : Hình chóp nội tiếp được mặt cầu khi và chỉ khi đa giác đáy nội tiếp được đường tròn . Hệ quả 1:Mọi hình chóp đều bất kỳ đều nội tiếp được trong mặt cầu Hệ quả 2: Mọi tứ diện bất kỳ bao giờ cũng nội tiếp được trong một mặt cầu Chú ý : 1)Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta làm như sau + Dựng tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Từ I vẽ đt d vuông góc với mf đáy + Vẽ mf trung trực cạnh SA cắt d tại O => O là tâm của mặt cầu 3)Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy . O I d 2)Nếu SA và d đồng phẳng thì ở bước thứ 3 ta vẽ đường trung trực của đoạn SA Luyện Tập Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AB=BC=CD=a AD=2a. SA=3a và vuông góc với đáy Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D S A B C I O Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB , M là một điểm di động trên đường tròn đường kính AB , C là một điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên CM . a.Tìm quĩ tích các điểm H b.Tiếp tuyến tại A và M của đường tròn đường kính AB cắt nhau tại K . Chứng minh rằng KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB . c.Chứng minh rằng KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AC K A B M I H C O E Ví dụ 3 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều nằm trên mf vuông góc với đáy . Gọi I lần lượt là trung điểm của AB. Khi M di động trên SI,tìm quĩ tích hình chiếu vuông góc của S lên mf(MCD) D J S A B C I H M Ví dụ 4 :Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mf(ABC) tại A (M không trùng với A) .Tìm quĩ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC . C A B M I H G B VÝ dô 4: CMR:NÕu cã 1 mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña tø diÖn ABCD th× AB+CD=AC+BD=AD+BC Ví dụ 6 : Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau và nhận đoạn AB =k là đoạn vuông góc chung . Trên Ax lấy điểm M, trên By lấy điểm N , đặt AM=x , BN=y . a.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN . b.Giả sử M chạy trên Ax , N chạy trên By sao cho ta luôn có MN=AM+BN . Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB . c.Với điều kiện trong câu b , hãy tìm x,y sao cho tứ diện ABMN có diện tích toàn phần nhỏ nhất . x A B y M N O I p m n [...]... tam giác AMN Bài 1 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a và góc ASB bằng a.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp c.Chứng minh rằng tâm của hai mặt cầu trên trùng nhâu khi và chỉ khi = 450 Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB=a , SA=b vuông góc với mặt phẳng...Ví dụ 7 : Cho mặt cầu S(O,R) , (C) là giao tuyến của (S) với mặt phẳng (P) cách (S) một khoảng cách h A là một điểm trên (C) Một góc vuông xAy trong mặt phẳng (P) quay quanh A , các cạnh Ax , Ay cắt (C) tại C và D Đường thẳng đi qua A vuômg góc với (P) cắt mặt cầu (S) tại B 2 2 2 2 a.Chứng minh các tổng BC + AD & AC + BD có giá trị không... trên trùng nhâu khi và chỉ khi = 450 Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB=a , SA=b vuông góc với mặt phẳng đáy Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . nằm trong mặt cầu S(O,R) . *Nếu OA=R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O,R) . 2.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng Cho mặt cầu S(O,R) và mặt phẳng. Tiết 43 mặt cầu 1 .Mặt cầu Định nghĩa : } { ( , ) | OM=R S O R M= O A B C R Nhận xét : *Nếu OA>R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O,R) . * Nếu