Bài −1 AX = B ⇔ X = A B §3: Ma trận nghịch đảo ∑  ến T y u T ố Đại S Ta xét hệ phương trình:    x  8 2 x + y =    y  = 1 ⇔  x + y =       Hệ phương trình viết dạng ma trận: A X=B Câu hỏi đặt X = ? í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S Xét phương trình: a x = b b Ta có: x = = b = a −1b (a ≠ 0) a a Tương tự lập luận liệu ta có −1 AX = B ⇔ X = A B −1 A ma trận định nghĩa nào? í nh ến T y u T ố Đại S §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Ta để ý: ax=b AX = B −1 −1 ⇔ a ax = a b −1 ⇔ 1x = a b −1 ⇔ x=a b −1 Phải A A = I ? −1 −1 ⇔ A AX = A B −1 ⇔IX =A B −1 ⇔X=A B í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Nhận xét: ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Nhận xét: ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1  det( A) = −1   A = 0  0 −1  −1  PA =  −1 −4     0  1 −2 −5 −1  A = 0   0 −1 í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 2 6 A=  1  A−1 = det( A) =  −6  PA =  −1     −6   =    −1   − −3  1 í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 0    A = 1 −1   det( A) = ?  −1 PA ⇒ A = PA = ? det( A)  í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo Đáp số:  15 −2  1  −1 A =  −4 −12   −2  ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 2 5 −2   − A= Đáp số: A =       −2  Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp a b   d −b  A= ⇒ PA =    c d   −c a  §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Bài tốn: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) 2) 3) 4) AX = B XA = B AXB = C AX + kB = C ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo Ta có: 1) AX=B ⇔ A AX=A B -1 -1 ⇔ IX=A B -1 −1 ⇔X=A B −1 2) XA = B ⇔ XAA = BA ⇔ XI = BA −1 ⇔ X = BA −1 −1 −1 ≠A B ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑  Ta có: 3) AXB=C ⇔ A AXB=A C -1 -1 ⇔ XBB =A CB -1 -1 −1 ⇔ X = A CB −1 −1 4) AX + kB = C ⇔ AX = (C − kB) −1 −1 ⇔ A AX = A (C − kB) ⇔ X = A−1 (C − kB ) ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau:  x + 2y − z = 1 −1  x           3 x − y + z = −1 ↔  −1   y  =  −1    z    4 x + y + z =  1 2 −1 ⇒ X = AX = B ⇔ X = A B    −1 í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1  1  0  X = 0      0 −1   Phương trình có dạng: AX=B −1 Ta có: X = A B ến T y u T ố Đại S í nh ∑ §3: Ma trận nghịch đảo Vậy 1  X = 0 0  −9  =8  −2 −2 −5 1      0 4 −1   −18  16  −3  ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1  1 −1  −3 X + 2 =    2 4 2  0  Phương trình có dạng XA + B = C −1 ⇔ X = (C − B) A í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S  −1  −3 Ta có A = −  ; C − 2B =    −  −2    −1 Với X = (C − B) A−1 nên  −1  −3  −1  −3 X = (− )  =−      −2  − − − 2        1  −1  −1  =−  =  17   −26 17  13 −  í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 −2   −2  0  X =       5 −3  −8  Phương trình có dạng AX = B −1 ⇔X=A B ến T y u T ố Đại S í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2   8   X 1  =  −2        Phương trình có dạng AXB = C −1 −1 ⇔ X = A CB ến T y u T ố Đại S í nh ... §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Nhận xét: ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ Nhận xét: ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑... Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑ ến T y u T ố Đại S í nh §3: Ma trận nghịch đảo ∑  ến T y... í nh ∑  §3: Ma trận nghịch đảo ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 2 5 −2   − A= Đáp số: A =       −2  Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp a b  