SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I NĂM 2010 TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG I Môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = -x3+3x2+1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt Câu II (2,0 điểm ) Giải bất phương trình: 2.Giải phương trình: x+4+ x−4 ≤ x + x − 16 − sin x + sin x = tan x Câu III (1,0 điểm) ln Tính tích phân: I = ∫e ln e 2x dx x − + ex − Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a Đáy tam giác ABC cân · BAC = 1200 , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC.Gọi M trung điểm SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu V (1,0 điểm) Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh: (a 1 1 + b + c3 )  + + ÷ ≥ a b c  3 b+c c+a a +b + +  ÷ 2 a b c  II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a(2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x + y − 4x − 2y + = điểm A(4;5) Chứng minh A nằm ngồi đường trịn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2 Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S): x + y + z − 2x + 4y + 2z − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − i = z − − 3i Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơ đun nhỏ B Theo chương trình nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân A có chu vi 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2x − y − 2 = B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC Câu VII.b(1,0 điểm) Cho hàm số (Cm): y = x2 − x + m (m tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox hai điểm x −1 phân biệt A,B cho tiếp tuyến (Cm) A, B vng góc ……………………….Hết………………………… SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN TỐN Câu I.1 (1 điểm) Nội dung TXĐ: R Sự biến thiên: Điểm y' = -3x2 + 6x = -3x(x - 2) 0,25 x = y' = ⇔  x = Hàm số nghịch biến (-∞;0) (2;+∞) Hàm số đồng biến (0;2) Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = lim lim x→−∞ y = + ∞, x→+∞ y = - ∞ Bảng biến thiên: x -∞ y' + +∞ y 0,25 +∞ -∞ 0,25 Đồ thị: y'' = -6x + y'' = ⇔ x = ⇒ điểm uốn I(1;3) tâm đối xứng đồ thị 0,25 I.2 (1 điểm) PT cho ⇔ -x3 + 3x2 + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m2 + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đt y = k Từ đồ thị (C ) ta có: PT có nghiệm phân biệt ⇔ < k < ⇔ m ∈ (-1;3)\ { 0; 2} II.1 x + ≥ ⇔ x ≥ Đặt t = x + + x − (t > 0) Đk:  (1 điểm) x − ≥  t ≤ −2(L) BPT trở thành: t2 - t - ≥ ⇔  t ≥  x ≥ ( a)  9 - 2x ≤  ⇔ x − 16 ≥ - 2x   x ≥ Với t ≥  (b )  9 - 2x >  2   4( x − 16) ≥ (9 − x) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 145 ≤x< (b) ⇔ 36 (a) ⇔ x ≥ 145  ; +∞ ÷  36  0,25 Tập nghệm BPT là: T=  II.2 (1 điểm) π + kπ Đk: cosx ≠ ⇔ x ≠ 0,25 s inx =0 cos x ⇔ sinx( sinx + cosx )=0 cos x s inx = ⇔   s inx + cos x − = cosx  Sinx = ⇔ x = k π 1 sinx + cosx = ⇔ tanx + =0 cos x cos x  x = kπ  t anx = ⇔ tan x - tanx = ⇔  ⇔  x = π + kπ  t anx = 3  π Vậy PT có họ nghiệm: x = k π , x = + kπ x III Đặt t = e − , Khi x = ln2 ⇒ t = (1 điểm) x = ln3 ⇒ t = x 2x e = t + ⇒ e dx = 2tdt PT cho ⇔ sin2x + sinxcosx - 0,25 0,25 0,25 0,25 (t + 2)tdt 2t + I = ∫ t + t + = ∫ (t − + t + t + 1)dt 0 0,25 0,25 d(t + t + 1) t2 + t +1 = ∫ (t − 1)dt + ∫ = (t − 2t) IV (1 điểm) + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 - Áp dụng định lí cosin ∆ ABC có AB = AC = 2a ⇒ S∆ABC = AB.AC.sin1200 = a Gọi H hình chiếu S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC 2a BC Theo định lí sin ∆ ABC ta có: = 2R ⇒ R = = HA sin A ∆ SHA vuông H ⇒ SH = SA − HA = a 0,25 0,25 0,25 ⇒ VS.ABC = S∆SBC SH = a2 Gọi hA, hM khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) ⇒ h M SM 1 = = ⇒ hM = hA h A SA 2 0,25 ∆ SBC vuông S ⇒ S∆SBC = a2 1S Lại có: VS.ABC = hA ⇒ hA = ∆SBC Vậy hM = d(M;(SBC)) = 3VS.ABC a = V∆SBC a 0,25 V Ta cm với a, b > có a3 + b3 ≥ a2b + ab2 (*) (1 điểm) Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) ≥ ⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ Đẳng thức xẩy a = b Từ (*) ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b) b3 + c3 ≥ bc(b + c) c3 + a3 ≥ ca(c + a) ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: 0,25 0,25 (1) 1 1 + + ≥ 33 3 = a a a abc a b c (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta BĐT cần cm Đẳng thức xẩy a = b = c VI.a.1 (1 điểm) Đường trịn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = Ta có IA = > R ⇒ A nằm ngồi đường trịn (C) Xét đường thẳng ∆1 : x = qua A có d(I; ∆1 ) = ⇒ ∆1 tiếp tuyến (C) ∆1 tiếp xúc với (C ) T1(4;1) r 0,25 0,25 0,25 0,25 r uu T1T2 ⊥ IA ⇒ đường thẳng T1T2 có vtpt n = IA =(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) ⇔ x + 2y - = u r VI.a.2 Mp(P) có vtpt n P = (1;1;-2) (1 điểm) (S) có tâm I(1;-2;-1) u r uu r IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng ∆ u ∆ u r uu r ∆ tiếp xúc với (S) A ⇒ u ∆ ⊥ IA u r u r Vì ∆ // (P) ⇒ u ∆ ⊥ n P u r uu u r r Chọn u = [ IA , n P ] = (-4;6;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x = − 4t  Phương trình tham số đường thẳng ∆ :  y = −1 + 6t z = + t  VII.a (1 điểm) Đặt z = x + yi (x; y ∈ R) |z - i| = | Z - - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| ⇔ x - 2y - = ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z đường thẳng x - uuuu- = 2y r |z| nhỏ ⇔ | OM | nhỏ ⇔ M hình chiếu O ∆ ⇔ M( 6 ;- ) ⇒ z = - i 5 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: HS dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M VI.b.1 B = d ∩ Ox = (1;0) (1 điểm) Gọi A = (t;2 t - 2 ) ∈ d H hình chiếu A Ox ⇒ H(t;0) H trung điểm BC Ta có: BH = |t - 1|; AB = (t − 1) + (2 2t − 2) = 3|t - 1| ∆ ABC cân A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| t = ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔   t = −1 0,25 0,25 0,25 Với t = ⇔ A(3;4 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( ; ) −4 Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 ), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G( −1 ; ) ∆ ABC VI.b.2 Gọi d đường cao tương ứng với đỉnh A ⇒ d giao tuyến (ABC) với ( α ) qua A vng góc với (1 điểm) BC uuu uuu r uuu r r Ta có: AB = (1;3;-3), AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2) uuu uuu r r [ AB , AC ] = (18;8;2) u r r uuu 0,25 0,25 0,25 uuu r mp(ABC) có vtpt n = [ AB ,, AC ] = (-3;2;1) u r r uuu mp( α ) có vtpt n ' = - BC = (1;1;1) u r u u r r Đường thẳng d có vtcp u =[ n , n ' ] = (1;4;-5) Phương trình đường thẳng d: VII.b (1 điểm) x = + t   y = −2 + 4t  z = − 5t  Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox: x − x + m = x2 − x + m =0 ⇔  x −1 x ≠ 0,25 0,25 0,25 (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ pt f(x) = x2 - x + m = có nghiệm phân biệt khác 1  ∆ > m < ⇔  ⇔  (*) f (1) ≠ m ≠   x1 + x =  x1 x = m Khi gọi x1, x2 nghiệm f(x) = ⇒  Ta có: y' = f '(x)(x − 1) − (x − 1) '.f (x) (x − 1) ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến (Cm) A B là: f '(x1 )(x1 − 1) − f (x1 ) f '(x1 ) 2x1 k1 = y'(x1) = = (x − 1) = x − (x1 − 1) 1 2x Tương tự: k1 = y'(x2) = x − ( f(x1) = f(x2) = 0) 2x1 2x Theo gt: k1k2 = -1 ⇔ x − x − = -1 ⇔ m = ( thoả mãn (*)) SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH 0,25 0,25 0,25 KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 (lần 2) Mơn: Tốn – Khối A, B, V Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/04/2010 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: ( điểm) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng minh đường thẳng d: y = - x + truc đối xứng (C) Câu II: (2 điểm) x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + Giải phương trình: =0 2sinx - Giải bất phương trình: x − 3x + 2.log x ≤ x − 3x + 2.(5 − log x 2) Câu III: ( điểm) Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thi (C) hàm số y = x3 – 2x2 + x + tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0 = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Câu IV: (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A’C a 15 Tính thể tích khối lăng trụ Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2x + 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1)   (2)  y-1 − (y + 1)(x − 1) + m x + =  II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: ( điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường tròn với m.Gọi đường tròn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −1 y + z = = mặt phẳng (P): 1 2x + y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; - 1;0) Câu VII.b: ( điểm) Cho x; y số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 5xy – 3y2 Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: ( điểm) 1.Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) hai đường thẳng d1 : x −2 y −3 z −3 = = 1 −2 d2 : x −1 y − z − = = Chứng minh đường thẳng d1; d2 điểm −2 A nằm mặt phẳng Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC 2.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm F1 (− 3;0); F2 ( 3;0) qua 1  điểm A  3; ÷ Lập phương trình tắc (E) với điểm M elip,  2 tính biểu thức: P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M Câu VII.b:( điểm) Tính giá trị biểu thức: 2k 2008 2010 S = C0 − 3C2010 + 32 C2010 + + (−1)k C2010 + + 31004 C2010 − 31005 C2010 2010 Hết -Hướng dẫn giải Câu I: Giao điểm hai tiệm cận I(- 1;2) Chuyển hệ trục toạ độ Oxy → IXY: x = X −1  y = Y + Hàm số cho trở thành : Y = − hàm số đồng biến nên (C) đối xứng qua X đường thẳng Y = - X Hay y – = - x – ⇔ y = - x + Câu II: Điều kiện: s inx ≠ x cos ≠ cosx ≠ 2 Biến đổi pt về: 4cos3x - cos2x – cosx + = cosx = ⇔ cosx = ±  2 Điều kiện < x < x ≥ x − 3x + 2.log x ≤ x − 3x + 2.(5 − log x 2) ⇒ log x − 5log x + 2 ≤0 log x Nghiệm: < x < ≤ x ≤ Câu III: Phương trình tiếp tuyến : y=x+4 x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 – 2x2 = ⇔  x = 2 2 V = π∫ (x + 4) dx − π ∫ (x − 2x + x + 4) dx 0 Câu IV: Gọi M; M’ trung điểm AB A’B’ Hạ MH ⊥ M’C AB // (A’B’C) ⇒ d(AB,A’C) = MH a 15 a 15 ; M’C = ; MM’ = a 10 Vậy V = a HC = Câu V: Đặt f(x) = (2x + 1)[ln(x + 1) – lnx] = (2x + 1) ln x +1 x TXĐ: D = [0;+∞) Gọi x1; x2 ∈ [0;+∞) với x1 > x2 2x1 + > 2x + >   Ta có : ln x1 + > ln x + > 0 ⇒ f (x1 ) > f (x ) : f(x) hàm số tăng  x1 x2  Từ phương trình (1) ⇒ x = y (2) ⇒ x − − (x − 1)(x + 1) + m x + = ⇔ Đặt X = x −1 x −1 − 24 +m=0 x +1 x +1 x −1 ⇒ 0≤X