Bài 1 : ĐẠO HÀM 1/ Công thức đạo hàm Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp ( ) ( ) 1 / / . 0 − = = αα α xx C 2 / 11 x x −=       ( ) x x 2 1 / = ( ) /1 / UUU − = αα α / 2 / . 11 U U U −=       ( ) / / . 2 1 U U U = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xg x gx xtg x tgx xx xx 2 2 / 2 2 / / / cot1 sin 1 cot 1 cos 1 sincos cossin +−=−= +== −= = ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / / 2 / / / / / sin 1 cot cos 1 . .sincos .cossin U U gU U U tgU UUU UUU −= = −= = ( ) ( ) aaa ee xx xx ln. / / = = ( ) ( ) / / / / .ln. . Uaaa Uee UU UU = = ( ) ( ) ax x x x a ln. 1 log 1 ln / / = = ( ) ( ) aU U U U U U a ln. log ln / / / / = = 2.Các bài tập đạo hàm : 1/ y = tgx21 + 2/ y = x.cotgx 3/ y = tg 2 1 + x 4/ y = sin(sinx) 5/ y = cotg ( ) 3 2 1 x + 6/ y = ln 2 x 7/ y = ln(x 2 +1) 8/ y = ln 4 (sinx) 9/ y = xx 1 10/ y = 2 xx ee − + 11/ xx y 3.2 = 12) x x y ln = 13/ x xy = Bài 2 :NGUYÊN HÀM 1/Đònh nghóa nguyên hàm: 1 . F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b) ⇔ ( ) ( ) xFxf / = *lưu ý : + F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x) + F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí hiệu ∫ dxxf )( . Ta có: ( ) )()()( / xfxFCxFdxxf =⇔+= ∫ 2/Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm mở rộng ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ += += += − −= + + = += − + C a a dxa Cedxe Cxdx x xn dx x C x dxx Cxdx x x xx nn ln ln 1 )1( 11 1 1 1 1 α α α ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ += ++= + + + + =+ += + + Ce a dxe Cbax a dx bax C bax a dxbax Ckxkdx xbax 1 ln 11 1 )(1 1 α α α ∫ ∫ ∫ ∫ +−= += +−= += Cgxdx x Ctgxdx x Cxxdx Cxxdx cot sin 1 cos 1 cossin sincos 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ++−= + ++= + ++−=+ ++=+ Cbaxg a dx bax Cbaxtg a dx bax Cbax a dxbax Cbax a dxbax )(cot 1 )(sin 1 )( 1 )(cos 1 )cos( 1 )sin( )sin( 1 )cos( 2 2 2 3.Các tính chất của nguyên hàm a) [ ] ∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( b) [ ] ∫∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()( c) ∫ ∫ = dxxfkdxxkf )()( 4.Các bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1/ f(x) = x 2 -3x+ x 1 2/ f(x) = ( ) 2 2 3 x − 3/ f(x) = 2 4 32 x x + 4/ f(x) = 43 xxx ++ 5/ f(x) = xx −+ 1 1 6/ f(x) = 3 11 xx − 7/ f(x) = tg 2 x 8/ f(x) = sin2x.cos3x 9/ f(x) = 2sin 2 2 x 10/ f(x) = ( ) xx ee − 1 11/ f(x) = xx x 22 sin.cos 2cos 12/ f(x) = 52 1 + x 13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx 14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f đònh bởi f(x) = 2x(x 3 +1). Biết rằng nguyên hàm này bằng 3 khi x= -1 15/ Xác đònh các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x 2 +bx+c) x e 2 − là một nguyên hàm của hàm số f(x) =(-2x 2 +8x-7) x e 2 − trên R Bài 3: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ 3 * Để tính tích hữu tỉ dạng )( )( xQ xP với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được )( )( xQ xP = A(x)+ )( )( xQ xR trong đó bậc R(x) ≤ bậc Q(x) * Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu Dạng ( ) ( )( )( ) ∫ −−− dx cxbxax xp : Đặt: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) cx c bx B ax A cxbxax xp − + − + − = −−− . )( Từ đó ta xác đònh được A, B, C Dạng ( )( ) ∫ −− dx bxax xP 3 )( Đặt: ( )( ) ( ) ( ) 323 )( bx D bx C bx B ax A bxax xP − + − + − + − = −− @ Cần nhớ : công thức nguyên hàm hữu tỉ sau Cbax a dx bax ++= + ∫ ln 11 ( ) ∫ + + −= + C baxa dx bax 1 . 11 2 ( )( ) ∫ ∫         − − −− = −− βαβαβα xx dx xx 1111 ( )( ) ∫ ∫ = +− = − dx axax dx ax 11 22 = ∫ +         + − =       + − − C ax ax a dx axaxa ln 2 111 2 1 Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau 1/ a) Xác đònh các hằng số A, B sao cho 233 )1()1()1( 13 + + + = + + x B x A x x b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 3 )1( 13 + + x x Đs: A = –2, B = 3, C x x xF + + − + = 1 3 )1( 1 )( 2 2/ ∫ +− dx xx 44 1 2 3/ ∫ ++ dx xx x 12 2 3 4/ ∫ −+ + dx xxx x 2 32 23 5/ dx xx xx ∫ +− ++ 23 333 2 2 6/ dx x xx ∫ + ++ 3 23 2 7/ ∫ + ++ dx x xx 2 54 2 8/ ( ) ∫ + dx x 3 32 1 9/ ∫ +− dx xx 96 1 2 10/ ∫ +− dx xx 65 1 2 11/ ∫ +−− + dx xxx x 652 13 23 2 12/ ∫ −− + dx xxx x )5)(2( 107 Bài 4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯNG GIÁC 1/. Cần nhớ công thức : 4 ( ) Cx a dxbax +−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbaxtg a dx bax ++= + ∫ 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbaxg a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 2/. Ta thường dùng đổi biến số để tính tích phân các hàm số lượng giác * Dạng ( ) ∫ xdxxR cossin đặt t = sinx * Dạng ( ) ∫ xdxxR sincos đặt t = cosx * Dạng ( ) ∫ dx x tgxR 2 cos 1 đặt t = tgx * Dạng ( ) ∫ dx x gxR 2 sin 1 cot đặt t = cotgx * Dạng [ ] dxxxR nn ∫ 22 cos,sin dùng công thức hạ bậc 2 2cos1 cos 2 x x + = , 2 2cos1 sin 2 x x − = * Dạng ∫ bxdxax sin.cos dùng công thức biến đổi * tích thành tổng C + C = 2CC C - C = 2SS S + S = 2SC S - S = 2CS )]cos()[cos( 2 1 cos.cos bababa −++= )]cos()[cos( 2 1 sin.sin bababa −−+−= )]sin()[sin( 2 1 cos.sin bababa −++= )]sin()[sin( 2 1 sin.cos bababa −−+= Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxx 52 cossin b) ∫ xdxx 23 cossin c) ∫ dx x x 4 cos sin d) ∫ dx x 6 cos 1 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxx 22 cossin b) ∫ xdx 4 sin c) ∫ xdx 6 cos d) ∫ xdx 2 cos e) ∫ dx x 3 sin Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ dx xsin 1 b) ∫ dx xcos 1 c) ∫ + dx xcos45 1 d) ∫ dx x 4 cos 1 Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxx 2cos3sin b) ∫ xdxx 3coscos Bài 5 : Tìm các nguyên hàm sau a) tgxdx ∫ b) 2 tg xdx ∫ c) 3 tg xdx ∫ d) 4 tg xdx ∫ e) 2 4 sin cos x dx x ∫ f) 1 sin2 dx x ∫ Bài 5 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.Đònh nghóa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [ ] ba, và F(x) là một nguyên hàm của f(x) . Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).Kí hiệu: 5 ∫ −== b a b a aFbFxFdxxf )()()()( 2.Chú ý: ∫ = b a dxxf )( ∫ b a dttf )( = ∫ b a duuf )( 3.Các tính chất : 1/ 0)( ∫ = a a dxxf 2/ ∫ = b a dxxf )( - ∫ a b dxxf )( 3/ ∫ = b a dxxf )( ∫ c a dxxf )( + ∫ b c dxxf )( 4/ ∫ = b a dxxfk )(. ∫ b a dxxfk )(. 5/ [ ] ∫ =+ b a dxxgxf )()( ∫ b a dxxf )( + ∫ b a dxxg )( 6/ ( ) abMMdx b a −= ∫ 7/ Nếu f(x) ≥ g(x) , [ ] bax , ∈∀ thì dxxgdxxf b a b a ∫ ∫ ≥ )()( *Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0 , [ ] bax , ∈∀ thì ∫ b a dxxf )( 0 ≥ 8/ Nếu f(x) liên tục trên đoạn [ ] ba, và [ ] baxMxfm ,,)( ∈∀≤≤ thì m(b-a) ≤ ∫ b a dxxf )( ≤ M(b-a) .Bài tập :Tính các tích phân sau 1/ ∫ −++ 3 1 11 xx dx Đsố: )22( 3 4 − 2/ ∫ + 1 0 3 1 dx x x Đsố : 2ln 6 5 − 3/ dx x x ∫ − 2 1 0 2 4 1 Đsố       − 3ln 12 13 2 1 4/ ( ) ∫ + 4 1 2 1xx dx Đsố 8 5 ln 4 3 + 6 5/ ∫ π 0 4 cos xdx Đsố 8 3 π 6/ ( ) ∫ + 4 0 44 cossin π dxxx Đsố 16 3 π 7/ ∫ + π 0 2cos1 dxx Đsố 22 8/ ∫ − 2 2 sin π π dxx Đsố 2 9/ ∫ + π 0 sin1 dxx Đsố 24 10/ a) Cho hàm số f(x) = xx x cossin sin + . Tìm a ,b để f(x) = a+b xx xx cossin sincos + − b) Tính ∫ 2 0 )( π dxxf (Đsố 2 1 =−= ba , I = 4 π ) 11/ a) Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln 12 12 2 2 ++ +− xx xx . Tính I = dx x x ∫ + − 1 1 4 2 Đsố 1 1 22)( 4 2 / + − = x x xF , )12ln( 2 2 −= I 12/ Tính ∫       − t dxx 0 4 2 3 sin4 . Từ đó giải pt f(t) = 0 7 13/ Tính ( ) ∫ ∈+ 1 0 ;1 Nndxx n .Từ kết quả đó chứng minh rằng 1+ 1 12 1 1 . 3 1 2 1 1 21 + − = + +++ + n C n CC n n nnn 14/ ∫ − 3 4 2 2 cos cot23 π π dx x xg 15/ ∫ − π 0 2 sin1 dxx 16/ dx x x ∫ + + 1 0 1 12 17/ ∫ + ++ 3 1 2 2 132 dx x xx 18/ ∫ − +− 0 1 2 34xx dx 19/ ∫ ++ 2 0 2 3 12 dx xx x 20/ ∫ +− + 5 3 2 23 1 dx xx x 21/ ( ) ∫ + + 1 0 3 1 13 dx x x 22/ dx xx ∫ +− 1 0 2 56 1 23/ ∫ − 2 0 2 dxxx Đáp số : 1 Bài 6: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 8 1.Tích phân đổi biến loại I : Đặt x = ( ) t ϕ * Dạng ∫ − dxxa 22 Đặt x = asint với       −∈ 2 , 2 ππ t * Dạng ∫ + dx xa 22 1 Đặt x = atgt t       −∈ 2 , 2 ππ @ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận Bài tập:Tính các tích phân sau 1/ ∫ + 2 0 2 4 1 dx x Đặt x = 2 tgt, ) 2 , 2 ( ππ −∈ t 2/ ∫ + 3 0 2 3 1 dx x Đặt x= 3 tgt, ) 2 , 2 ( ππ −∈ t 3/ dx xx ∫ + +− 31 1 2 102 1 = dx x ∫ + +− 31 1 2 9)1( 1 Đặt x –1= 3tgt, ) 2 , 2 ( ππ −∈ t 4/ ∫ + −+ 2 0 2 3 2 12 dx x xx (Chia đa thức,Đặt x= 2 tgt) 5/ ∫ − ++ 0 2 1 2 1xx dx = ∫ − ++ 0 2 1 2 4 3 ) 2 1 (x dx Đặt x + 2 1 = 2 3 tgt, ) 2 , 2 ( ππ −∈ t 6/ ∫ − 2 0 2 4 dxx Đặt x = 2sint, ] 2 , 2 [ ππ −∈ t 7/ ∫ − 2 1 0 2 41 dxx Đặt x = 2 1 sint, ] 2 , 2 [ ππ −∈ t 8/ dxxx ∫ − 2 0 22 4 Đặt x = 2sint, ] 2 , 2 [ ππ −∈ t 2.Tích phân đổi biến loại II : ( ) [ ] ( ) ∫ b a dxxxf / ψψ + Đặt t = ( ) x ψ ⇒ dt = ( ) dxx / ψ + Đổi cận x = a ⇒ t = ( ) αψ = a x = b ⇒ t = ( ) βψ = b + Suy ra : ( ) [ ] ( ) ( ) dttfdxxxf b a ∫ ∫ = β ε ψψ / @ Lưu ý : Sử dụng đổi biến loại II khi có mặt ( ) x ψ và đạo hàm của nó.Chẳng hạn [ ] ∫ b a xdxxf / lnln = [ ] ∫ b a dx x xf 1 ln đặt t = lnx . 9 Cụ thể : dx x x e 1 ln31 1 ∫ + có mặt lnx và x 1 thì đặt t = lnx 3.Bài tập 1/ ( ) ∫ − 2 5 1 10 2 54 dxxx 2/ ( ) ∫ + 1 0 1x xdx 3/ ∫ + 4 7 2 9xx dx 4/ ∫ − 5 2 2 1xx dx 5/ dx x x ∫ + 2 0 3 cos1 sin2 π 6/ ∫ + 3 0 23 1dxxx 7/ ∫ + 2 0 2cos7 cos π dx x x 8/ ∫ 2 4 sin 1 π π dx x 9/ ∫ + 8 0 44 cossin 1 π dx xx 10/ dxe x ∫ − 2ln 0 1 10 [...]... 1 3 1 [9 ln − ln 2 + ] 3 2 2 18 π π 4 4 1 1 1 20/ dx ( đặt u = cos x dv = cos 2 x dx thông qua ∫ cos 3 x 0 1 ∫ cos x dx = ln(1 + 2) , 0 1 2 Đs = [ 2 + ln(1 + 2 )] 2 21/ ∫ 1 ln x dx x3 BÀI 8 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG DẠNG I Bài toán : "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f(x) ,hai đường thẵng x = a ,x = b và trục Ox " Giải b Bước 1 : diện tích cần tính là s = ∫ f ( x ) dx a Bước 2 : Giải... không tách tuỳ thuộc số nghiệm phương trình f(x) = 0 + Bước 2 có thể thay bằng việc vẽ đồ thò, hoặc lập bảng xét dấu f(x) Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số x = f(y) ,hai đường thẵng y = a , b y = b và trục Oy " Thì s= ∫ f ( y ) dy a Bài Tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1/ x = -1 , x = 2 , y = 0 , y = x2 - 2x 2/ y = sin2xcos3x , y = 0 , và x = 0 ,x... xét: nếu chưa cho hai đường thẳng x = a, x= b thì giải phương trình trước , áp dụng công thức 20 tính diện tích sau Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số x = f(y) ,x = g (y) b hai đường thẳng y = a ,y = b " Thì s= ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1 1 π π 1/ y = ,y= ,x= ,x= 2 2 6 3 sin x cos x 2/ y = 2x , y = 3-x , x = 0... y= x2 ; 8 y= 27 x y= 8 x 3/ Parabol y = -x2+4x-3 và hai tiếp tuyến tại các điểm A(0,-3) và B(3,0) BÀI 9 : THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 22 Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường x= a, x = b, y = 0 và y = f(x) b 2 V= π ∫[ f ( x )] dx Vật thể tròn xoay tạo nên khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích là: a Bài tập : 1/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = 0, x = tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục... = ln x 2 x x 2 + 3x + 1 ,x=0,x=1,y=0 x +1 π (5e 3 − 2) 5/ y = x ln x; y = 0 ; x = e (KB-07) Đsố: 27 6/ parabol y = –x2 –2x +3, tiếp tuyến với (P) tại điểm M (2, -5) và trục tung Đsố : 8 đvdt 3 DẠNG II Bài toán : "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thò hàm số y = f(x) , y = g(x) hai đường thẵng x = a ,x = b " Bước 1 : diện tích cần tính là b s= ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Bước 2 : Giải phương... b ] thì ∫ f ( x ) dx = 0 Tính: −a π 8 ∫x π − 6 sin 7 xdx 8 b b a a 3/ Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b ] Chứng minh : ∫ f ( x) dx = ∫ f (a + b − x) dx 15 p dụng tính : π x sin x ∫ 1 + cos 0 2 x dx Bài 7: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1.Công thức từng phần : b ∫u.dv = uv a b b a −∫vdu a b 2.Chú ý: Công thưc trên cho phép thay việc tính ∫u.dv phức tạp bằng một tích phân a b ∫vdu a đơn giản... thường gặp Dạng1: I=  ex  b   ∫a p( x)  sinx dx  cos x   ( Trong đó p(x) là một đa thức theo x) Đặt u = p(x) ; dv= phần còn lại Dạng 2 : I = ∫ p( x ) ln xdx Đặt : u = lnx ; dv= phần còn lại 4 .Bài tập: Tính các tích phân sau 1 1/ ∫ xe −x dx 0 π 2/ ∫ ( 2 x + 1) cos xdx 0 π 2 3/ ∫ x sin xdx 0 16 e 4/ ∫ ln xdx 1 π 5/ 4 ∫ 0 e 6/ ∫ 1 x dx cos 2 x ln x dx x3 2 1  2 7/ ∫ x ln1 + dx x  1 3 2 8/ . sin.cos bababa −−+= Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxx 52 cossin b) ∫ xdxx 23 cossin c) ∫ dx x x 4 cos sin d) ∫ dx x 6 cos 1 Bài 2: Tìm các nguyên. ∫ xdx 2 cos e) ∫ dx x 3 sin Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ dx xsin 1 b) ∫ dx xcos 1 c) ∫ + dx xcos45 1 d) ∫ dx x 4 cos 1 Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau