Đang tải... (xem toàn văn)
Trong thiết kế ban đầu của nhà máy có phương án về số lượng mỗi loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất trong một tuần để sử dụng hết công suất các bộ phận... Thay vào đẳng thức trên rồi chi[r]
(1)Bài B.1 Tính hạng ma trận
3
5 11 14
7 11 15 19
9 14 19 24
Hướng dẫn giải
Lần lượt lấy cột trừ cột 3, cột trừ cột 2, cột trừ cột ta
rank
3
5 11 14
7 11 15 19
9 14 19 24
= rank
3 2
5 3
7 4
9 5
= rank
3
=
(2)Bài B.2 Một nhà máy sản xuất năm loại sản phẩm A, B, C, D, E Mỗi loại phải qua năm công đoạn cắt,
gọt, đóng gói, trang trí dán nhãn với thời gian cho công đoạn bảng sau: Cắt Gọt Đóng gói Trang trí Dán nhãn
Sản phẩm A giờ giờ
Sản phẩm B giờ giờ
Sản phẩm C 12 giờ giờ
Sản phẩm D 12 15 10 giờ Sản phẩm E 20 24 10 giờ
Các phận cắt, gọt, đóng gói, trang trí, dán nhãn có số công tối đa tuần 180, 220, 120, 60, 20 Trong thiết kế ban đầu nhà máy có phương án số lượng loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất tuần để sử dụng hết công suất phận Tính số lượng loại sản phẩm sản xuất tuần theo phương án
Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm loại A, B, C, D, E x1, x2, x3, x4, x5 Để sử dụng hết công suất
nhà máy
x1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 + 20x5 = 180
x1 + 3x2 + 12x3 + 15x4 + 24x5 = 220
x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4 + 10x5 = 120
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 60
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20
(3)Bài B.3 Trong không gian véc tơ V gồm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ 7, cho đa thức
Bi = xi(1 − x)6−i, i = 0, 1, ,
Chứng minh
(a) Các đa thức B0, B1, , B6 độc lập tuyến tính V ;
(b) Có thể bỏ đa thức Bi cho đạo hàm B00, , Bi−10 , Bi+10 , , B60 độc lập
tuyến tính
Hướng dẫn giải
(a) Các đa thức Bi gọi đa thức Bernstein
Cách b1: Xét quan hệ
b0B0+ b1B1+ b2B2+ b3B3 + b4B4 + b5B5 + b6B6 =
với b0, , b6 ∈ R Thay x = ta suy b0 = Chia hai vế cho x, sau tiếp tục thay x =
ta b1 = Tương tự suy b2 = = b6 =
Cách b2: Ma trận hệ đa thức B0, B1, , B6 sở tắc 1, x, , x6 V ma
trận tam giác với phần tử đường chéo 1:
1 0 0 0
− 61
1 0 0
6
− 51
1 0 0
− 63
− 41
1 0
6
− 53
− 31
1 0
− 65
− 43
− 21
1
1 −1 −1 −1
Vì hạng ma trận hệ đa thức độc lập tuyến tính (b) Có thể lập luận theo hai cách
Cách b1: Tính tốn trực tiếp ta có
B00 = −6(1 − x)5, B10 = (1 − x)4(1 − 6x), B20 = x(1 − x)3(2 − 6x), B30 = x2(1 − x)2(3 − 6x), B40 = x3(1 − x)(4 − 6x),
B50 = x4(5 − 6x), B60 = 6x5
Ta sau bỏ B00 đa thức lại độc lập tuyến tính Thật giả sử có ràng buộc tuyến tính
a0(1 − x)4(1 − 6x) + a1x(1 − x)3(2 − 6x) + a2x2(1 − x)2(3 − 6x)
+ a3x3(1 − x)(4 − 6x) + a4x4(5 − 6x) + 6a5x5 = (1)
Thay x = suy a0 = Thay vào đẳng thức chia hai vế cho x Tiếp tục thay x =
suy a1 = Bằng cách tương tự suy a0 = a1 = = a5 =
(4)Cách b2: Ta sau bỏ B00các đa thức lại độc lập tuyến tính
Ma trận hệ đa thức B10, , B60 sở tắc 1, x, , x5 V ma trận tam giác với phần tử đường chéo 1, 2, 3, 4, 5, 6:
1 0 0
−2 51
2 0 0
3 52
−3 41
3 0
−4 53
4 42 −4 31
4 0
5 54 −5 43
5 32 −5 21
5
−6 −6 −6
Do hệ độc lập tuyến tính
Cách b3: Gọi k số lớn hàm độc lập tuyến tính số đạo hàm B0
0, , B90 giả sử
k ≤ Bằng cách ký hiệu lại hàm f1, , f10, ta giả sử f10, , fk0 độc lập tuyến tính
Như vậy, f90, f100 có biểu diễn tuyến tính:
f90 = a1f10 + + akfk0, f100 = b1f10 + + bkfk0,
với ai, bj ∈ R, hay
(f9− a1f1− − akfk)0 = (f10− b1f1− − bkfk)0 =
Như vậy, f9− a1f1− − akfk= c1, f10− b1f1− − bkfk = c2, với c1, c2
số Rõ ràng c1 6= 0, c2 6= tính độc lập f1, , f10 Nhưng
c1(f10− b1f1− − bkfk) − c2(f9 − a1f1− − akfk) =
(5)Bài B.4 Một dãy số nguyên a1, a2, , an được gọi cưa a1 < a2, a2 > a3, a3 < a4, ,
hay nói cách khác, a2k−1 < a2k với < 2k ≤ n a2k > a2k+1với < 2k + ≤ n
(a) Có dãy cưa a1, a2, a3sao cho ≤ ≤ với i = 1, 2, 3?
(b) Có dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cho ≤ ≤ với i = 1, , 5?
Hướng dẫn giải
(a) Có hai cách trình bày
Cách 1: Với a2 = k(1 ≤ k ≤ 5), số (a1, a3)sao cho a1 < k, a3 < kbằng (k − 1)2 Do đó,
số dãy cưa a1, a2, a3
X
k=1
(k − 1)2 = + + + 16 = 30
Cách 2: Gọi sklà số dãy cưa a1, a2, a3 mà a3 = kvà ≤ a1, a2 ≤ Như vậy, a2 = i, với
i = k + 1, , 5và với a2 = ithì a1 chọn tập {1, i − 1} Suy
sk=
X
i=k+1
(i − 1) = 10 − k(k − 1)
2
Như vậy, s1 = 10, s2 = 9, s3 = 7, s4 = 4, s5 = Vì tổng số dãy cưa cần tìm
P5
k=1sk = 10 + + + = 30
(b) Mỗi dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5có thể hiểu tạo từ dãy cưa a1, a2, a3
và a3, a4, a5, nói cách khác, tạo thành từ dãy cưa a1, a2, a3 a01, a02, a03 mà a3 = a01
Do tính đối xứng, số dãy cưa a1, a2, a3 với a3 = k rõ ràng số dãy
cưa a01, a02, a03 với a01 = k Theo cách giải thứ 2, chúng sk, s1 = 10, s2 = 9, s3 =
7, s4 = 4, s5 = Vì tổng số dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cần tìm
X
k=1
sk· sk = 102+ 92 + 72+ 42 = 264
(6)Bài B.5 Một ma trận thực có phần tử gồm số gọi ma trận − 1.
(a) Ký hiệu α β giá trị nhỏ lớn định thức ma trận − vuông cỡ × Tính α β
(b) Cho A ma trận − cỡ × Giả sử A có ba giá trị riêng số thực dương Chứng minh giá trị riêng A
Hướng dẫn giải (Ma trận − 1)
(a)Cách 1: Đặt
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Ta có
det(A) = a1b2c3− a1b3c2+ a2b1c3− a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1
Do −3 ≤ det(A) ≤ Cụ thể det(A) ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} Nếu det(A) = suy
a1b2c3 = a2b1c3 = a3b1c2 = 1,
a1b3c2 = a2b3c1 = a3b2c1 =
Từ đẳng thức phía suy ai, bi, ci 6= với i = 1, 2, Do đẳng thức phía
khơng xảy
Từ suy det(A) ≤ Ta kiểm tra
det
1
1
0 1
=
Vậy β =
Từ ma trận − A, cách đổi chỗ hai cột ma trận ta ma trận mới, ký hiệu B Khi det(A) + det(B) = Vậy α = −β = −2
Cách 2: Ký hiệu M tập tất ma trận − cỡ × Bằng cách đổi hai cột ma trận M ta nhận ma trận M Hai ma trận có định thức ngược dấu Vì β = −α Câu hỏi quy tìm giá trị lớn định thức ma trận M Xét ma trận M ,
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Ta có det(A) = a1A1 − b1B1+ c1C1, A1, B1, C1 phần bù đại số a1, b1, c1
tương ứng Dễ thấy −1 ≤ A1, B1, C1 ≤ Do det(A) ≤
Nếu det(A) = a1 = b1 = c1 = 1và A1 = C1 = 1, B1 = −1 Các ma trận ứng với
A1, C1 ma trận × gồm phần tử nên có định thức
phần tử đường chéo có phần tử lại ma trận Dẫn đến a2 = b3 = 1, b2 = c3 = 1và a3 = c2 = Nhưng B1 = 1và det(A) =
Vậy det(A) ≤ Dễ thấy ma trận
A =
1
1
0 1
(7)(b) Giả sử giá trị riêng A a, b, c > Ta có det(A) = abc > 0, det(A) ∈ {1, 2} Mặt khác vết A thoả mãn trace(A) = a+b+c ≤ Từ bất đẳng thức Cauchy ta có trace(A) = a + b + c ≥ 3√3abc ≥ Dẫn đến trace(A) = det(A) = Do a + b + c = 3√3abc Vậy a = b = c =