Chuyên đề BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ( HỒ DŨNG – THCS NHƠN THÀNH ) Trong chương trình toán THCS ta gặp toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đồ thò y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của hệ phương trình : f(x) y = g (x) y =    . Phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (*) . Biện luận số giao điểm của hai đồ thò trên là là biện luận số nghiệm của phương trình (*) . I) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx + n và (D’) y = m’x + n’ Toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng (D) và (D’) là nghiệm cũa hệ phương trình = mx+n y = m'x+ n' y    . Phương trình hoành độ giao điểm ( m – m’) x + n – n’ = 0 (*) + Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (D) // (D’) ⇔ m = m’ và n ≠ n’ +Phương trình (*) có nghiệm duy nhất ⇔ (D) cắt (D’) ⇔ m ≠ m’ +Phương trình (*) vô số nghiệm ⇔ (D) trùng (D’) ⇔ m = m’ và n = n’ Bài toán 1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình : 2kx +( k-1) y = 2 ( k là tham số ) a) Tìm k để (d) song song với đường thẳng y = x 3 ? Và tính góc tạo bởi (d) với tia Ox . b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất . Giải : 1) Với k = 1 thì PT (d) là x = 1 , (d) không // y = 3x .Với k ≠ 1 . Đưa PT (d) về dạng : y = 2 2 -2k . (**) ; (d) // y = 3 3 3(2 3) 1 1 k-1 k x x k k k − + ⇔ = ⇒ = − − − khi đó (d) tạo với tia Ox một góc α = 60 0 vì tg α = 3 2)+ Với k = 1 thì khoảng cách từ 0 đến (d) là 2 . +Với k ≠ 0 và k ≠ 1 , gọi giao điểm của (d) với Ox , Oy là A,B . Thay y = 0 vào (**) ta có : x A = 1/k ⇒ OA = / 1/k / . Thay x = 0 vào (**) có H y = x d y x1 3 0 y B = 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Rõ ràng (d) không đi qua gốc toạ độ O với k ≠ 0 và 1 ∆ AOB vuông có : 1/ OH 2 = 1/ OA 2 + 1/ OB 2 . Từ đó OH = 2 2 ; 5 2 1k k− + Ta có : 5k 2 -2k +1 = 5 ( k – 1/5 ) 2 +4/5 ≥ 4/5 , mọi k vì vậy OH ≥ 5 & OH = 5 khi k = 1/5 . Tóm lại với k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất Bài toán 2. Cho bất PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m là tham số ) . 1) Giải bất PT với m = 1 -2 2 ; 2) Tìm m để bất PT nhận mọi giá trò x > 1 là nghiệm . Giải : 1) Với m = 1 - 2 2 , BPT đã cho có dạng - (6 4 2 1 2 1) 1 4 2 x < . 6 2 1 x − + > − ⇔ + 2) BPT đã cho viết dưới dạng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1) Xét hàm số f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . Đồ thò hàm số này là một đường thẳng nên để BPT (1) đúng với mọi x > 1 thì 3 4 0 3. (1) 3 0 m m f m − >  ⇔ ≥  = − ≥  II) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax 2 (a ≠ 0) Toạ độ giao điểm ( nếu có) của đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax 2 là nghiệm của hệ phương trình : 2 y mx n y ax = +   =  . Phương trình hoành độ giao điểm : ax 2 –mx – n = 0 (*) . Biện luận số giao điểm của (D) và (P) là biện luận số nghiệm của phương trình (*) +Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (D) và (P) không có điểm chung . + Phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ (D) tiếp xúc (P) . + Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt . Bài 1. Giá trò nào của m thì đường thẳng ( D) y = m(1-x) tiếp xúc với (P) y = -½ x 2 .Trong trường hợp (D) tiếp xúc (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm . Giải : Toạ độ giao điểm của (D) và (P) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình 2 2 (1 ) x y y m x  = −    = −  PT hoành độ giao điểm : ½ x 2 +m(1-x) = 0 hay x 2 -2mx +2m = 0 (*) ∆ ’ = m 2 – 2m + (D) tiếp xúc với (P) ⇔ PT(*) có nghiệm kép ⇔ m 2 -2m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 2 + PT các đường thẳng tiếp xúc với (P) : (D 1 ) y = 0 tiếp xúc (P) tại 0 (0;0) +PT hoành độ tiếp điểm của (D 2 ) và (P) : x 2 -4x +4 = 0 ⇔ (x-2) 2 = 0 ⇔ x = 2 . Tung độ tiếp điểm y = -½ . 2 2 = -2 Vậy (D 2 ) tiếp xúc với (P) tại (2 ; -2) Bài 2. Chứng minh rằng đường thẳng (D) y = 8mx – 8m 2 ( m là tham số ) luôn tiế`p xúc với parabol (P) y = 2x 2 Hướng dẫn : Chứng minh PT hoành độ giao điểm 2x 2 – 8mx +8m 2 = 0 hay x 2 - 4mx +4m 2 = 0 có nghiệm kép . Bài 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a 2 = 0 và parabol (p) y = ax 2 ( a là tham số dương ) . 1) Tìm a để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A , B . Chứng ming rằng khi đó A,B nằm bên phải trục tung . 2) Gọi u , v theo thứ tự là hoành độ của A,B . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức 4 1 T u v uv = + + Giải : 1) PT hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) có dạng ax 2 – 2x +a 2 = 0 (1) Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi 3 > 0 0 a < 1 . ' 1-a 0 a  ⇔ <  ∆ = >  Lúc đó nếu gọi u , v lần lượt là hoành độ của A và B thì theo đònh lí Vi-ét cho PT (1) ta có u+v = ½ a > 0 và u.v = a > 0 , suy ra A,B nằm về bên phải trục tung (đpcm) . 2) Từ kết quả 1) ta có T = 2a + 1 1 2 (2 ) , T 2 2a hay a a   ≥ ≥     đạt được khi và chỉ khi a = 2 . 2 Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = - x 2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I( 0 ; -1 ) có hệ số góc k . 1) Viết phương trình đường thẳng (d) . Chứng minh với mọi giá trò của k , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B . 2) Gọi hoành độ cùa A và B là x 1 và x 2 , chứng minh 1 2 2 x x− ≥ . Giải : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x 2 + kx -1 = 0 . PT này có ∆ > 0 ⇒ đpcm . 2) x 1 .x 2 = -1 , từ đó 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; x & cung dau nen x 2x x x x x x x x − = + + = + ≥ ; Bài 5. Cho hàm số y = -¼ x 2 . 1) Vẽ đồ thò (P) củahàm số trên . 2) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng y = 1 và có hoành độ m ( m là tham số ) . Chứng minh rằng từ I ta có thể vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (P) . Hướng dẫn : 1) Vẽ (P) 2) I(m;1) ∈ (D) ⇔ 1 = am +b ⇔ b = 1- am . Lúc đó (D) y = ax + (1 – am ) PT hoành độ giao điểm của (D) và (P) : x 2 +4ax +4 – 4am = 0 ∆ ’ = 4a 2 + 4ma – 4 (D) tiếp xúc (P) ⇔ 4a 2 +4ma – 4 = 0 (1) Do 4 và -4 trái dấu nên PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ R , điều này chứng tỏ có hai đường thẳng vẽ từ I tiếp xúc với (P) , đó là : (D 1 ) y = a 1 x + (1 – a 1 m ) (D 2 ) y = a 2 x + ( 1 – a 2 m ) , ( Trong đó a 1 , a 2 là nghiệm phương trình (1) ) Bài 6. Cho hàm số y = x 2 a) Vẽ đồ thò (P) b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là – 1 và 2 . Viết PT đường thẳng AB . c) Trên cung AB của (P) tìm điểm C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất . Hướng dẫn : a) HS thực hiện ( Hình vẽ bên dưới ) b) Tìm toạ độ các điểm A,B A(-1 ; 1) B(2;4) Phương trình đường thẳng AB là (D) y = x +2 . c) Tìm điểm C( x 0 ; y 0 ) ∈ (P) tại đó đường thẳng (D’) tiếp xúc với (P) và song song với (D) . +Đường thẳng (D’) song song với (D) có dạng : y = x + b +PT hoành độ giao điểm ( nếu có ) giữa (D’) và (P) : x 2 – x – b = 0 , vì (D’) tiếp xúc với (P) nên PT hoành độ giao điểm trên có nghiệm kép , tức là : ∆ = 1 + 4b = 0 ⇔ b = -¼ + Lúc đó hoành độ giao điểm là x = ½ và tung độ giao điểm là y = ¼ + Vậy điểm C( ½ ; ¼ ) và (D’) y = x – ¼ song song với (D) và tiếp xúc (P) . +Ta có diện tích tam giác MAB S = ½ MH’.AB ( MH’ là khoảng cách từ M ∈ cung AB đến (D) ) Do AB không đổi nên S lớn nhất ⇔ MH’ lớn nhất . Ta có MH’ ≤ CH ( vì M nằm giữa hai đường thẳng song song (D) và (D’) ) nên khoảng cách từ -5 5 2 -2 -4 y x I 0 B A f x ( ) = -x 2 4 M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ M trùng C Vậy C ( ½ ; ¼ ) là điểm thuộc cung AB sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất . M y x (D') (D) (p) H' H O C B A . 0 ) ∈ (P) tại đó đường thẳng (D’) tiếp xúc với (P) và song song với (D) . +Đường thẳng (D’) song song với (D) có dạng : y = x + b +PT hoành độ giao điểm. thẳng song song (D) và (D’) ) nên khoảng cách từ -5 5 2 -2 -4 y x I 0 B A f x ( ) = -x 2 4 M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song