I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài: a Để rèn luyện kỹ năng, phơng pháp giải toán cho học sinh việc trang bị cho học sinh kiến thức bản, ngời thầy giáo cần giúp em tổng hợp phân loại phơng pháp giải dạng thờng gặp để em dễ nhớ, dễ vận dụng b Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng môn Toán nhng nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phơng trình, bất phơng trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác trình giải toán khả t sáng tạo ngời học đợc phát triển mạnh Thực tế giải tập bất đẳng thức học sinh thờng gặp nhiều khó khăn cách giải chúng không hoàn toàn có mẫu quy tắc nh số mảng kiến thức khác Qua nhiều năm giảng dạy toán trờng phổ thông, ngời thầy, thờng trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng xếp hợp lý số phơng pháp tập chứng minh bất đẳng thøc víi mong mn gióp häc sinh tù tin h¬n đứng trớc số toán bất đẳng thức cụ thể toán chứng minh bất đẳng thức c Phạm vi giới hạn viết Khuôn khổ viết có hạn nên muốn tổng hợp phân loại phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt học sinh giỏi lớp 8; Để viết không dài, phần giải ví dụ không trình bày chi tiết Kiến thức cần nắm vững -www.thaytuong.tk 2.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai sè a, b bÊt kú ta nãi r»ng a ≥ b ⇔ a -b ≥ a ≤ b ⇔ a -b ≤ 2.2 TÝnh chÊt: a > b ; b >c ⇒ a > c a >b ⇒ a + c > b + c a > b ; c > ⇒ ac > bc a > b ; c < ⇒ ac < bc a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d a>b;c bd a > b > ; < c < d⇒ a c > b d a > b > ⇒ an > bn a > b ⇔ an > bn (n lỴ) a〉 b ⇔ an > bn ( n ch½n ) NÕu m > n >0 th× a >1 ⇒ am > an a =1 ⇒ am = an < a < ⇒ am = an 10 a > b , ab > ⇒ a < b 2.3 Các bất đẳng thức: a2 với mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a = a a ≥ víi mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a = ≥ a víi mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a ≥ a +b ≤ a − b ≥ a a + b víi mäi a,b DÊu b»ng xÈy ⇔ ab ≥ - b víi mäi a,b DÊu b»ng xÈy ⇔ ab > vµ a ≥ b -www.thaytuong.tk II Néi dung: Phơng pháp sử dụng định nghĩa: 1.1 Phơng pháp giải: Muốn chứng minh A > B hÃy xét A - B Nếu A B dơng khẳng định đợc A > B bất đẳng thức cần chứng minh 1.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > chøng minh r»ng (a + b + c) ( Gi¶i: XÐt hiƯu H = (a + b + c) ( a =(b + = a + b a b + a ac + b + + c ) ≥9 )-9 - 2) + ( c + ( a − b) + ( a − c) ab c a c a b - 2) + ( c + c b - 2) ( b − c) bc Do a,b,c > H Theo định nghĩa bất đẳng thức: (a + b + c) ( a + b + c )≥ DÊu = xÈy ⇔ H = ⇔ a = b = c VÝ dô2: Cho a > 0, b > chøng minh r»ng: a3 + b3  a + b  −    Gi¶i: XÐt hiƯu: A = a3 + b3  a + b  ≥    3 Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta ®ỵc: A = (a + b) (a - b)2 V× a > , b > ⇒ a + b > mµ (a - b)2 ≥ A Theo định nghĩa a3 + b3 ≥ a +b     DÊu b»ng xÈy ⇔ a = b 1.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh: a b + b a ≥ víi ab > -www.thaytuong.tk Bµi 2: Chøng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy + 2yz - 2x Bµi 3: Cho a,b,c > chøng minh: a2 b2 + c2 + b2 c2 + a2 + c2 a ≥ 2 b+c a +b + b c+a + c a+b Phơng pháp sử dụng tính chất 2.1 Phơng pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất đà nêu 2.2 để biến đổi Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2 Ví dơ ¸p dơng: VÝ dơ 1: Cho a, b > Chøng minh ab > a + b Gi¶i: Ta cã: a > , b > ⇒ ab > 2b (1) (TÝnh chÊt 3) b > , a > ⇒ ab > 2a (2) (TÝnh chÊt 3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2ab > (a + b) (TÝnh chÊt 4) ⇒ ab > a + b (TÝnh chÊt 3) VÝ dô 2: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Chøng minh r»ng: (x + y) (y + z) (z + x) ≥ 8xyz Gi¶i: Ta cã: (x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 ≥ ⇒ x2 + 2xy +y2 ≥ 4xy (TÝnh chÊt 2) ⇒ (x+y)2 ≥ 4xy (1) T¬ng tù ta cã: (y+z)2 ≥ 4yz (2) (x+z)2 ≥ 4xz (3) Nh©n tõng vÕ (1),(2),(3) ⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)]2 ≥ (8xyz )2 (TÝnh chÊt 6) ⇒ (x+y)(y+z)(x+z) ≥ 8xyz (TÝnh chÊt 8) 2.3 Bµi tập tơng tự: Bài 1: Cho a + b > Chøng minh r»ng a4 +b4 > Bµi 2: Chøng minh r»ng: a2 b2 + b2 c2 + c2 c ≥ b a + b a + a c Bµi 3: Cho x + y = Chøng minh : x4 + y4 ≥ -www.thaytuong.tk Phơng pháp phân tích: ( Biến đổi tơng đơng) 3.1 Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi tơng đơng với bất đẳng thức khác mà ta đà biết từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 3.2 Ví dơ ¸p dơng: VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng: (a + b)2 ≤ (a2 + b2) víi mäi a , b (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) (1) Gi¶i: ⇔ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 ≤ ⇔ -(a2 - 2ab + b2) ≤ ⇔ -( a - b)2 (2) Bất đẳng thức (2) bất đẳng thức (1) (đpcm) VÝ dơ 2: Cho sè a, b tho¶ m·n: a + b = Chøng minh: a3 + b3 +ab ≥ Gi¶i: (1) ⇔ a3 + b3 +ab - ≥ 2 (1) ⇔ (a + b) (a2- ab + b2) +ab ⇔ a2- ab + b2 + ab - ⇔ a2 + b2 - ≥ 2 ≥0 (v× a + b = 1) ≥0 ⇔ 2a2 + 2b2 - ≥ ⇔ 2a2 + 2(1 - a)2 - ≥ ( v× b = - a) ⇔ (a - )2 ≥ (2) Bất đẳng thức (2) mà phép biến đổi tơng đơng (1) Dấu xảy ⇒ a = =b -www.thaytuong.tk 3.3 Bài tập tơng tự Bài 1: Víi mäi a, b chøng minh a4 + b4 ≥ a3b + ab3 a b − a≥ b− b a Bµi 2: Cho a > 0, b > Chøng minh Bµi 3: Chøng minh x4 + y4 ≤ x6 y6 + y2 x2 víi x ≠ 0, y Phơng pháp tổng hợp 4.1 Phơng pháp giải: Từ bất đẳng thức đà biết đúng, dùng phép biến đổi tơng đơng biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh Phơng pháp giải làm cho học sinh thấy khó chỗ nên bất đẳng thức nhng biết phơng pháp giải ngợc với phơng pháp phân tích dễ tìm bất đẳng thức xuất phát 4.2 Ví dụ ¸p dông VÝ dô 1: Cho a, b ≥ Chøng minh a +b ≥ ab Gi¶i: Theo gi¶ thiÕt a, b ≥ ⇒ ab ≥ (Bất đẳng thức Côsi) ab xác định Ta có: ( a - b)2 ≥ ⇔ a2 - 2ab +b2 ≥ ⇔ a2 + 2ab +b2 ≥ 4ab ⇔ ( a - b)2 ≥ 4ab ⇔a+b ≥2 ⇔ a+b ≥ ab ab (v× a + b ≥ ) (đpcm) Dấu = xảy a = b VÝ dô 2: Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + (b + d ) Gi¶i: Ta cã: (ad - bd)2 ≥ -www.thaytuong.tk ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 ≥ ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + 2acbd + b2d2 ⇔ a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 ⇔ (a )( ) ac + bd ( v× ac + bd > 0) + b2 c2 + d ≥ ⇔ a2 + b2 + ( a + b )( c + d ) + c2 + d2 ≥ 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 ⇔ ( ( a + b )( c + d ) )2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 ⇔ a2 + b2 + c2 + d ≥ DÊu “=” x¶y ⇔ ( a + c) + (b + d ) (®pcm) a c = b d Chó ý: víi a, b, c, d >0 phép biến đổi cách giải tơng đơng 4.3 Bài tập tơng tự: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca víi mäi a, b Bµi 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 ≤ 3(x2 + y2+z2) víi mäi x, y, z Bµi 3: a3 + b3  a + b  ≥    víi a > , b > Phơng pháp phản chứng: 5.1 Phơng pháp giải: Nếu toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( A < B) ta giả sử A < B (hoặc A B) Từ điều mà ta vừa giả sử với giả thiết toán ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết với kiến thức đà học Cuối ta khẳng định kết luận toán A B ( A < B) Giải nh gọi phơng pháp phản chứng 5.2 VÝ dơ ¸p dơng VÝ dơ 1: Cho a2 + b2 ≤ Chøng minh: a + b ≤ Gi¶i: Gi¶ sư: a + b > ⇔ a2 + 2ab + b2 > (1) Ta cã: (a - b)2 ≥ ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ -www.thaytuong.tk ⇔ 2ab ≤ a2 + b2 ⇔ a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiÕt ta cã: a2 + b2 ≤ ⇔ 2(a2 + b2) ≤ Suy ra: a2 + b2 + 2ab (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải cã a + b ≤ VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > th× a > 0, b > 0, c > Gi¶i: gi¶ sư a ≤ NÕu a = abc = trái với giả thiết abc > NÕu a < : a + b + c > nªn b + c > Do abc > nªn bc < ⇒ a(b + c) + bc < Hay ab + ac + bc < trái với giả thiết ab + ac + bc > VËy a > T¬ng tự ta chứng minh đợc b > 0, c > 5.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: cho sè a, b, c , m, n, p tho¶ m·n: ap - 2bn + cm = vµ ac - b2 = chøng minh mp - n2 ≤ Bµi 2: chøng minh r»ng: NÕu a ≥ 3; b ≥ 3; a2 + b2 ≥ 25 th× a + b ≥ Bµi 3: Cho a3 + b3 = Chøng minh a + b ≤ Ph¬ng pháp quy nạp toán học 6.1 Phơng pháp giải: Nếu vế bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n dùng phơng pháp quy nạp toán học Khi đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức ®óng víi n = (hc ®óng víi n = n0 giá trị tự nhiên bé thừa nhận đợc n theo yêu cầu đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức với n = k (k > hc k > n 0) råi chøng minh bất đẳng thức với n = k + -www.thaytuong.tk 6.2 VÝ dơ ¸p dơng: VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi số nguyên n 2n > 2n + (1) Gi¶i: Víi n= ta cã 23 = 8,; 2n + = ⇒ 2n > 2n + với n = Giả sử (1) ®óng víi n = k (k ∈N , k ≥ ) Tøc lµ 2k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) ThËt vËy: hay 2k+1 =2.2k mµ 2k > 2k +1 ⇒ 2k+1 > (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) (2) với k VËy 2n > 2n + víi mäi n nguyên dơng n Ví dụ 2: chứng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n > (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n (1) Giải: Với n = (1) với n = k (k N, k 2) tức (k+1)(k+2)(k+3).2k > 2k Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 tức ph¶i chøng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)2k > 2k ⇒ (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2k ⇒ 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2k (k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1 Vậy bất đẳng thức (1) với số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n 6.3 Bài tập tơng tự -www.thaytuong.tk Bµi 1: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N Chøng minh r»ng n a n + bn a +b   ≤   Bµi 2: Chøng minh r»ng với số nguyên dơng n n2 > n + Bµi 3: Chøngminh r»ng víimäi sè nguyên dơng n 1 + + + >1 n +1 n + 3n + Phơng pháp xét khoảng giá trị biến 7.1 Phơng pháp giải: Có toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > mà không cho thêm giả thiết ta suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết đợc dạng tổng hạng tử nx(x-a) ta xét khoảng giá trị biến x chẳng hạn nh x a x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x a x − a ≥ hay x < a ⇔ x -a < Trong trờng hợp bất đẳng thức cần chứng minh cha có dạng A(x) > hay A(x) < tríc hÕt ta chun vÕ ®Ĩ ®a dạng 7.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chøng minh x10 -x9 +x4 - x+ >0 Gi¶i: XÐt A = x10 -x9 +x4 - x+ = x9(x-1) + x(x3 -1) +1 Hc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (1) (2) + NÕu x ≥ ⇒ x9 > 0; x-1 ≥ 0; x3+1 ≥ Nªn tõ (1) ⇒ A > + NÕu x < ⇒ 1-x5 > 0; 1-x > mµ x10 x4 nên từ (2) ⇒ A > VÝ dô 2: Chøng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0 Gi¶i: xÐt B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1) Hc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) -www.thaytuong.tk 10 + NÕu x ≥0 th× tõ (1) ⇒ B > ( v× x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tơng tự ví dụ 2x4 +x2 > 0; -2x3 -3x > ( x (đpcm) 7.3 Bài tập tơng tù Bµi 1: chøngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bµi 2: Chøngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + > Bµi 3: Chøng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + >0 Phơng pháp làm trội ( làm giảm) 8.1 Phơng pháp giải: Để chứng minh A < B ta lµm tréi A thµnh C (A < C) råi chøng minh C ≤ B (biĨu thøc C ®ãng vai trò trung gian để so sánh A B) Tơng tự phơng pháp làm giảm 8.2 Ví dơ ¸p dơng: VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ ta cã: A= 1 1 + + + < n Giải: Làm trội phân số A cách giảm mẫu Ta có: 1 1 < = = k k − k k ( k − 1) ( k − 1) k ( k + 1) Do ®ã: A < Đặt C = 1 1 1 + + + = + + + ( n − 1) n( n + 1) −2 −3 n − n 1.2.3 2.3.4 1 + + + ( n − 1) n( n + 1) 3 = = VËy: 1 1 1 1  1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + + ( n − 1) n − n( n + 1)  2  1  1  − n( n + 1)  = − 2n( n + 1) < 2  1 1 + + + < n VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ ta cã: -www.thaytuong.tk 11 A = 1+ + + + 0 > vµ b+c a2 b +c áp dụng bất đẳng thức côsi cho sè vµ b +c ta cã a2 b+c a2 b + c a + ≥2 = = a b+c b+c a2 b+c ≥a− b+c ⇒ b2 a+c ≥b− a+c T¬ng tù ta cã: c2 a+b ≥c− a+b Céng tõng vÕ bất đẳng thức ta đợc: a2 b2 c2 a+b+c a+b+c + + ≥ (a + b + c) − = b+c a+c a+b 2 VËy a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c số không âm a+b+c=1 Chứng minh rằng: a +b + b +c + c +a ≤ Gi¶i: a, b, c ≥ ⇒ a+b ≥ 0; b+c ≥ 0; c+a ≥ ⇒ a +b , b +c , c +a có nghĩa áp dụng bất đẳng thức Bunhiac«pski víi bé sè: a1=1, a2=2, a3=3, b1= ta cã: (1 ⇔ a +b +1 a +b , b +c b2 +1 ( a + b + b + c + c + a ) ≤ 3.2 b +c , b3= c + a )2 c +a ≤ (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) (v× a+b+c=1) -www.thaytuong.tk 13 ⇔( a+b + b+c + c+a ≤ (®pcm) *Lu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hớng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức đà biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức côsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện bất đẳng thức Bunhiacôpxki không cần điều kiện số nhng phải áp dụng cho số + Ngoài bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS đà nêu em sử dụng số bất đẳng thức đà biết để chứng minh bất đẳng thức khác 9.3 Bài tập tơng tự: Bài 1: cho a, b, c >0 Chứng minh a b c + + >2 b+c a+c a+b Bµi 2: Cho a+b = Chøng minh a4+b4 ≥ 10.Phơng pháp tam thức bậc hai 10.1 Phơng pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: Định lý dấu cña tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac - Nếu < f(x) dấu với a với giá trị x (nghĩa a.f(x) > 0) - Nếu =0 f(x) dấu với a với giá trị x, trừ x= f(x) = (nghÜa lµ a.f(x) ≥ 0, af(x) = x= −b 2a −b 2a ); -www.thaytuong.tk th× 14 - NÕu ∆> th× f(x) cïng dÊu víi a x nằm khoảng hai nghiệm (x 1, x2) khác dÊu víi a x n»m kho¶ng hai nghiƯm 10.2 VÝ dơ ¸p dơng  a2 + b2 = VÝ dô 1: Cho sè thùc a, b, c, d thoả mÃn hệ điều kiện c+ d = Chøng minh r»ng: c2 + d2-2ac -2bd ≥ 18 - (1) Gi¶i: c + d = ⇒ d = 6- c Khi ®ã bÊt đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ ≥ (2) Quan niƯm vÕ tr¸i cđa (2) lµ tam thøc bËc hai cđa c, ta cã: ( ∆' = ( a + − b ) − − 12b − 18 + 2 ) = - (a+b)2 + 12(a+b) + -12 Do a2+b2 =1 ⇒ (3) − ≤a +b≤ XÐt tam thøc bËc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta cã b¶ng xÐt dÊu sau: x f(x) Do − ≤a +b≤ 12- - + - nên từ (3) bảng xét dấu ' Theo định lý dấu tam thức bậc hai (2) với c Đó điều phải chứng minh Dấu = xảy  a+ b=    a= b= ⇔  a+ 6− b ⇔   c=  c= d =   VÝ dô 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đà nêu phÇn -www.thaytuong.tk 15 Gi¶i: XÐt tam thøc bËc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thÊy f(x) ≥ víi mäi x Ta viÕt f(x) díi d¹ng sau F(x) =( b 12 +b22 +  + bn2 ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + ( a12 + a 22 +  + a n2 ) Do f(x) ≥ víi mäi x nªn tõ (1) suy ra: 2 ∆ ' = ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) − ( a12 + a +  + a n )( b12 + b22 +  + bn2 ) ≤ ⇒ ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) ≤ ( a12 + a 22 +  + a n2 )( b12 + b22 +  + bn2 ) DÊu = x¶y ⇔ ∆' = phơng trình f(x) =0 có nghiệm kép a a1 a = == n b1 b2 bn * Nhận xét: sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức nh ví dụ 1, ví dụ đà nêu học sinh cần biết định lí dấu tam thức bậc hai nhng kiến thức cha đợc thức giới thiệu bậc THCS nên khó em Vì xin giới thiệu ví dụ để HS tham khảo không yêu cầu em tự làm tập phần 11 Phơng pháp đồ thị hình học 11.1 Phơng pháp giải: Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh toán bất đẳng thức đại sè 11.2 VÝ dơ ¸p dơng: VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi a, b ta cã: Gi¶i: XÐt ∆ABC cã ¢ = 900, AB = AC = b a a +b < a + b , Theo định lý Pi ta go ta cã: BC = a +b < a + b a+b a +b Trong ∆ABC ta cã: BC < AB + AC ⇒ B (®pcm) A b C -www.thaytuong.tk 16 VÝ dô 2: Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE DOBF Theo định lý pitago ta cã: OE = a + b2 EF = y c2 + d OF = ( a + c ) + (b + d ) Mµ OE + EF ≥ OF ⇒ a +b + c +d ≥ 2 2 F D ( a + c) + (b + d ) DÊu b»ng x¶y ⇔ ∆OAE ∆EFG ⇔ a c = b d d C b O G E a Ac B x VÝ dơ 3: Cho x, y lµ 2sè tho¶ m·n:  2x + y − ≥   2x − y − ≤  2y − x − ≤  Chøng minh: x2 + y2 ≥ y Gi¶i: C Gọi I(x;y) điểm A mặt phẳng Oxy x, y thoả mÃn đề Tập hợp điểm I(x,y) miền ặt phẳng giới hạn tam gi¸c ABC Nh vËy muèn chøng minh x2 + y2 ≥ -4 O HB -2 -www.thaytuong.tk x 17 ta cÇn chøng minh : OI2 ≥ Mµ OH AB; OI ≥ OH VËy OH2 = 4 ⇒ OI2 ≥ 5 1 = + 2 OH OA OB Hay x2 + y2 ≥ 11.3 Bài tập tơng tự Bài 1: Chứngminh với a > b > th× a − b < a −b Bµi 2: Chøng minh r»ng víi x, y, z, t > th× (x + z )( y + z ) + (x + t )( y + t ) ≥ ( x + y )( z + t ) Bµi 3: Chøng minh r»ng: x −6 x +34 − x −6 x + 10 ≤4 III KÕt luận Học sinh biết đợc nhiều phơng pháp chứngminh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hớng suy nghĩ nên dễ tìm cách giải qua phát triển đợc t nâng cao đợc lực sáng tạo Trên vài kinh nghiệm mà đà tích luỹ trình giảng dạy hớng dẫn học sinh học toán, mong đợc đóng góp ý kiến thầy, cô bạn đồng nghiệp -www.thaytuong.tk 18 -www.thaytuong.tk 19 ... Chøng minh a + b Phơng pháp quy nạp toán học 6.1 Phơng pháp giải: Nếu vế bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n dùng phơng pháp quy nạp toán học Khi đòi hỏi phải chứng minh: ... 1: chøngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bµi 2: Chøngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + > Bµi 3: Chøng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + >0 Phơng pháp làm trội ( làm giảm) 8.1 Phơng pháp giải: Để chứng minh A... Bài tập tơng tù: Bµi 1: Cho a + b > Chøng minh r»ng a4 +b4 > Bµi 2: Chøng minh r»ng: a2 b2 + b2 c2 + c2 c ≥ b a + b a + a c Bµi 3: Cho x + y = Chøng minh : x4 + y4 ≥