Đang tải... (xem toàn văn)
+ Không có dấu hiệu chia hết cho 13 ta phải áp dụng công thức cấu trúc số tự nhiên và các tính chất chia hết.... Ta có bảng sau: k
(1)§7, 8: CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHÊN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Số tự nhiên lớn nhất, nhỏ chia hết cho số a) Tính chất Bài toán: Trong n số tự nhiên liên tiếp (n ≥ 2) có số là chia hết cho n Chứng minh: Xét n số tự nhiên liên tiếp số k, k là số tự nhiên bất kì k, k + 1, k + 2, … , k + n – (1) Trước tiên ta chứng minh dãy (1) tồn số chia hết cho n Nếu k ⋮ n, thì dãy (1) có số k ⋮ n Xét k ٪ n Theo định nghĩa và tính chất phép chia còn dư tồn cặp số tự nhiên p và q cho: {𝑘 0=<𝑛 𝑞×<𝑝 𝑛.+ 𝑞 Khi đó q ≥ Xét số k + n – q, ta có k + n – q ≤ k + n – nên số này thuộc dãy (1) Mà h + n – q = n × p + q + n – q = n × p + n = n × (p + 1) Do đó k + n – chia hết cho n Vậy dãy (1) tồn số chia hết cho n Bây ta chứng minh tồn này là Giả sử có hai số x và y thuộc dãy (1) thỏa mãn bài toán Tức là k ≤ x, y ≤ k + n – và x ⋮ n, y ⋮ n, không giảm tổng quát giả sử x ≤ y Ta có: (y – x) ⋮ n Mà ≤ y – x ≤ n – Do đó y – x = hay x = y (đpcm) ▲Ví dụ 10: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết 10 số tự nhiên liên tiếp và tìm xem 10 số các em viết có bao nhiêu số chia hết cho 10, và có thì là số nào? Hệ quả: Lop4.com (2) Trong n số tự nhiên liên tiếp ( n ≥ 2) luôn tồn số chia cho n dư k (k ≤ n) ▲Ví dụ 11: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết số tự nhiên liên tiếp và lập bảng xem có bao nhiêu số chia hết cho 5, chia cho dư 1; 2; 3; 4? b) Một số ví dụ áp dụng Ví dụ 12: Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số khác và chia hết cho 13? Lời giải: • Hướng dẫn: + Trong 13 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn số chia hết cho 13 + Ta gọi số lớn có thể để tất các số đó tạo thành 13 số tự nhiên liên tiếp Do đó gọi số cần tìm có dạng 9𝑎𝑏𝑐 + Không có dấu hiệu chia hết cho 13 ta phải áp dụng công thức cấu trúc số tự nhiên và các tính chất chia hết • Trình bày lời giải: Gọi số cần tìm là 9𝑎𝑏𝑐, đó a, b ≤ 8, a ≠ b và 𝑎𝑏 lớn có thể Do đó 𝑎𝑏 ≤ 87 Ta có: 9𝑎𝑏𝑐 = 900 + 𝑎𝑏 = 13 × 69 + + 𝑎𝑏 Để 9ab ⋮ 13 thì (3 + 𝑎𝑏) ⋮ 13 Do 𝑎𝑏 ≤ 87 nên + 𝑎𝑏 ≤ 90 Số lớn nhỏ 90 chia hết cho 13 là 78 Nếu + 𝑎𝑏 = 78 thì 𝑎𝑏 = 75 (thỏa mãn) Vậy số cần tìm là 975 Ví dụ 13: Tìm số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số khác chia cho 23 dư 21 Lời giải: Lop4.com (3) Gọi số cần tìm là 10𝑎𝑏, đó a, b ≥ 2, a ≠ b và ab nhỏ có thể Do đó 𝑎𝑏 ≥ 23 Để 10𝑎𝑏 chia cho 23 dư 21 thì (10𝑎𝑏 – 21) ⋮ 23 Ta có: 10𝑎𝑏 – 21 = 1000 + 𝑎𝑏 – 21 = 979 + 𝑎𝑏 = 23 × 42 + 13 + 𝑎𝑏 Do đó (13 + 𝑎𝑏) ⋮ 23 Khi đó có số tự nhiên k cho: 13 + 𝑎𝑏 = 23 × k Mà 𝑎𝑏 ≥ 23 nên 13 + 𝑎𝑏 ≥ 36 hay 23 × k ≥ 36 Do đó k ≥ Ta có bảng sau: k 𝑎𝑏 33 (loại) 56 (thỏa mãn) Vậy số cần tìm là 1056 ▲Ví dụ 14: Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số khác chia hết cho (học sinh trình bày cách) ▲Ví dụ 15: Tìm số tự nhiên lớn có năm chữ số khác chia cho 15 dư Cần dùng ít bao nhiêu chữ số? Ví dụ 16: Cần ít bao nhiê chữ số để tạo thành các số có tổng 2014? Viết phép tính Lời giải: Số lớn nhấy gồm toàn chữ số và nhỏ 2014 là 1111 Ta có: 2014 = 1111 × + 903 Tiếp theo số lớn gồm toàn chữ số và nhỏ 903 là 111 Ta có: 903 = 111 × = 15 Số lớn gồm toàn chữ số và nhỏ 15 là 11 Ta có: 15 = 11 × + Mà = + + + Phép tính là: Lop4.com (4) 1111 + 111 + 111 + … + 111 ⏟ + 11 + + + + = 2014 𝑙ầ𝑛 111 Vậy cần ít 34 số ▲Ví dụ 17: Cần ít bao nhiêu chữ số để tạo thành các số có tổng 2012 Viết phép tính § 9, 10, 11: CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT Các bài toán chia hết yêu cầu học sinh nẵm vững định nghĩa, tính chất chia hết và phép chia, đặc biệt dấu hiệu chia cho 2; 3; 5; 9; và 25; và 125 Ngoài học sinh cần vận dụng cấu trúc số tự nhiên và kỹ tính toán biến đổi đẳng thức Vận dụng dấu hiệu chia cho 2; 3; 5; 9; và 25; và 125 Ví dụ 1: Cho n = 2014𝑎, tìm chữ số a để: a) n ⋮ 2? b) n ⋮ 5? c) n ⋮ 3? d) n ⋮ 9? Lời giải: a) Để n ⋮ thì a ⋮ Do đó a = 0; 2; 4; 6; Vậy a = 0; 2; 4; 6; thỏa mãn bài toán b) Để n ⋮ thì a ⋮ Do đó a = 0; Vậy a = 0; thỏa mãn bài toán c) Để n ⋮ thì tổng các chữ số n chia hết cho Tổng các chữ số n là : + + + + a = a + Do đó (a + 7) ⋮ 3, nên a = 2; 5; Vậy a = 2; 5; thỏa mãn bài toán d) Để n ⋮ thì (a + 7) ⋮ Do đó a = Vậy a = thỏa mãn bài toán ▲Ví dụ 2: Cho n = 𝑎22𝑎, tìm chữ số a để: Lop4.com (5) a) n ⋮ 2? b) n ⋮ 5? c) n ⋮ 3? d) n ⋮ 9? Ví dụ 3: Cho số n = 31𝑎1𝑎, tìm chữ số a để: a) n chia cho dư 1? b) n chia cho dư 3? c) n chia cho dư 2? d) n chia cho dư 2? Lời giải: a) Để n chia cho dư thì a chia cho dư Do đó a = 1; 3; 5; 7; thỏa mãn bài toán b) Để n chia cho dư thì a chia cho dư Do đó a = a = thỏa mãn bài toán c) Tổng các chữ số n là: + + a + + a = × a + Để n chia cho dư thì × a + chia cho dư Do đó a = 0; 3; 6; thỏa mãn bài toán d) Để n chia cho dư thì × a + chia cho dư Do đó a = thỏa mãn bài toán ▲Ví dụ 4: Cho số n = 40𝑎2𝑏, với a = b + Tìm số n để? a) n ⋮ 2? b) n chia cho dư 4? b) n chia cho dư 1? d) n ⋮ 9? Ví dụ 5: Cho số tự nhiên n = 41𝑎2𝑎𝑏 Tìm chữ số a và b để: a) n chia hết cho 2; và 5? b) n chia hết cho 2; và 9? Lời giải: a) Ta có: n = 41𝑎2𝑎𝑏 Để n chia hết cho 2; và thì b = và n ⋮ Lop4.com (6) Khi b = 0, tổng các chữ số n là: + + a + + a + = × a + Vậy có cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: a = và b = 0; a = và b = 0; a = và b = b) Để n chia hết cho 2; và thì b = Do đó (2 × a + 7) ⋮ 9, nên a = Vậy a = 1, b = thỏa mãn bài toán ▲Ví dụ 6: Cho số tự nhiên n = 10𝑎𝑏𝑏 Tìm chữ số a và b để: a) n chia hết cho 2; và 5? b) n chia hết cho 2; và 9? Ví dụ 7: Cho số tự nhiên n = 10𝑎𝑎𝑏𝑏 Tìm chữ số a và b để: a) n chia hết cho và 5? b) n chia hết cho và 9? Lời giải: a) Để n ⋮ thì b = b = Ta xét trường hợp Trường hợp 1: b = 0, thì n = 10𝑎𝑎00 Khi đó tổng các chữ số n là: + + a + a + + = × a + Do n ⋮ nên (2 × a + 1) ⋮ Do đó a = 1; 4; Trường hợp 2: b = 5, thì n = 10𝑎𝑎55 Khi đó tổng các chữ số n là: + + a + a + + = × a + 11 Do đó (2 × a + 11) ⋮ nên a = 2; 5; Vậy có cặp số (a; b) cần tìm là: {𝑎𝑏 == 01, {𝑎𝑏 == 04, {𝑎𝑏 == 07, {𝑎𝑏 == 52, {𝑎𝑏 == 55, {𝑏𝑎 == 5.8 b) Để n ⋮ thì b = b = + Nếu b = 0, thì (2 × a + 1) ⋮ Do đó a = + Nếu b = 5, thì (2 × a = 11) ⋮ Do đó a = Lop4.com (7) Vậy có cặp số (a; b) cần tìm là: {𝑎𝑏 == 04 {𝑏𝑎 == 5.8 ▲Ví dụ 8: Cho số tự nhiên n = 𝑎2𝑏 Tìm chữ số a và b để: a) n chia hết cho và 5? b) n chia hết cho và 9? Ví dụ 9: Cho n = 37𝑎7𝑏.Tìm chữ số a, b để: a) n ⋮ 25? b) n ⋮ 125? Lời giải: a) Để n ⋮ 25 thì 7𝑏 ⋮ 25 Do đó b = Vậy chữ số a và b = thỏa mãn bài toán b) Để n ⋮ 125 thì 𝑎7𝑏 ⋮ 125 Do đó a = 3; b = a = 8; b = Vậy có cặp số cần tìm là a = 3; b = a = 8; b = Ví dụ 10: Cho thêm vào trước và sau số 2014 để số có chữ số chia cho dư và chia cho dư Tìm số sau thêm? Lời giải: Giả sử viết thêm chữ số a vào trước, chữ số b vào sau để số n = 𝑎2014𝑏 thỏa mãn bài toán Do đó n chia cho dư và n chia cho dư Do n chia cho dư nên b chia cho dư hay b = b = + Nếu b = 2, tổng các chữ số n là: a + + + 1+ + = a + Do đó a + chia cho dư nên a = + Nếu b = 7, tổng các chữ số n là: a + + + 1+ + = a + 14 Do đó a + 14 chia cho dư nên a = Vậy có số cần tìm là 320142 720147 ▲Ví dụ 11: Thêm vào trước và sau số 2015 để số có chữ số chia cho dư và chia hết cho Lop4.com (8) Vận dụng kỹ tính toán và cấu trúc số tự nhiên Ví dụ 12: Cho A = 2013 × n + 378, với n là số tự nhiên a) Chứng minh A ⋮ b) Chứng minh A chia cho 11 dư Lời giải: Cách 1: Vận dụng tính chất chia hết, đồng dư a) Ta có A = × 11 × 61 × n + 378 Mà × 11 × 61 × n ⋮ và 378 ⋮ nên A ⋮ (đpcm) b) 2013 × n = × 11 × 61 × n ⋮ 11, và 378 chia cho 11 dư nên A chia cho 11 dư (đpcm) Cách 2: Vận dụng định nghĩa phép chia a) Ta có: A = × 671 × n + × 126 = × (671 × n + 126) Do đó A chia hết cho (đpcm) b) Ta có A = 11 × 183 × n + 11 × 34 + = 11 × (183 × n + 34) + Do đó A chia cho 11 dư (đpcm) ▲Ví dụ 13: Cho A = 66 × n + 420, với n là số tự nhiên Chứng minh A chia cho 11 dư cách Ví dụ 14: Cho A chia cho 135 dư 52 Hỏi số dư A chia cho 45? Lời giải: Do A chia cho 135 dư 52 nên có số tự nhiên n cho: A = 135 × n + 52 Do đó A = 45 × × n + 45 × + = 45 × (3 × n + 1) + Vậy A chia cho 45 dư ▲Ví dụ 15: a) Cho A chia hết cho 18 Hỏi số dư A chia cho 9? b) Cho B chia cho 120 dư 79 Hỏi số dư B chia cho 15? Ví dụ 16: Cho A chia cho dư 5, chia cho dư Hỏi số dư A chia cho 45? Lop4.com (9) Lời giải: Do A chia cho dư nên có số tự nhiên m cho A = × m + Đặt m = × n + r, r < Ta có: A = × (5 × n + r) + = 45 × n + × r + = × (9 × n + r + 1) + × r Do A chia cho dư nên × r chia cho dư hay r = Vậy A = 45 × n + 23, A chia cho 45 dư 23 ▲Ví dụ 17: a) Cho A chia cho dư 2, chia cho dư Hỏi số dư a chia cho 15? b) Cho A chia cho dư 5, chia cho dư Hỏi số dư a chia cho 72? Ví dụ 18: Cho số tự nhiên n = 32𝑎𝑎6, tìm chữ số a để: a) n ⋮ 7? b) n chia cho 13 dư 5? Lời giải: a) Ta có: n = 32𝑎𝑎6 = 110 × a + 32006 = (7 × 15 + 5) × a + (7 × 4572 + 2) = × (15 × a + 4572) + × a + Để n ⋮ thì (5 × a + 2) ⋮ 7, đó a = a = Vậy a = a = thỏa mãn bài toán b) Ta có: n = (13 × + 6) × a + 13 × 2462 = 13 × (8 × a + 2462) + × a Để a chia cho 13 dư thì × a chia cho 13 dư Do đó a = ▲Ví dụ 19: Cho số tự nhiên n = 10𝑎𝑎1, tìm n thỏa mãn: a) n chia cho dư 1? b) n chia hết cho 13? Ví dụ 20: Tìm số tự nhiên biết số đó chia cho dư 3, chia cho dư và hiệu các thương 27? Lời giải: Gọi số cần tìm là x, và k là thương phép chia số đó cho Ta có: x = × k + và k + 27 là thương phép chia số đó cho Lop4.com (10) Do đó: x = × (k + 27) + Vậy × k + = × (k + 27) + × k + = × k + 162 + (9 – 6) × k = 165 -3 × k = 162 k = 162 : k = 54 x = × 54 + = 489 Vậy số cần tìm là 489 ▲Ví dụ 21: Tìm số tự nhiên biết số đó chia cho 13 dư 9, chia cho 21 dư 20 và hiệu các thương 127 ▲Ví dụ 22: Tìm số tự nhiên biết số đó chia hết cho 9, chia cho dư và tổng các thương 149 Ví dụ 23: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số đó có chữ số hàng nghìn là và số đó chia cho 13 dư và chia cho 19 dư Lời giải: Gọi số cần tìm là n = 4𝑎𝑏𝑐 𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑐ℎ𝑜 13 𝑑ư (1) Theo đề bài ta có: 𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑐ℎ𝑜 19 𝑑ư (2) { Từ (2) có số tự nhiên k để: n = 19 × k + Đặt k = 13 × m + r, r < 13 cho n chia cho 13 dư Ta có: n = 19 × (13 × m + r) + = 13 × (19 × m + r) + × r + Do đó × r + chia cho 13 dư hay r = Vậy n = 19 × (13 × m + 8) = = 247 × m + 157 Lop4.com (11) Mà 4𝑎𝑏𝑐 = 247 × m + 157 nên 4000 ≤ 247 × m + 157 ≤ 4999 Do m là số tự nhiên nên m = 16; 17; 18; 19 Khi đó n tương ứng 4109; 4356; 4603; 4850 Vậy có số cần tìm là 4109; 4356; 4603; 4850 Ví dụ 24: Chứng minh với số tự nhiên n ≠ ta có: 66…6 (n chữ số 6) chia cho 30 dư Lời giải: Đặt A = 66…6 (n chữ số 6) Ta có A chia hết cho và A chia cho dư Do A chia hết cho nên có số tự nhiên m cho: A = × m Đặt m = × k + r, r < cho A chia cho dư Ta có A = × (5 × k + r) = × (6 × k + r) + r Do đó r chia cho dư nên r = Vậy A = × (5 × k + 1) = 30 × k + Vậy A chia cho 30 dư (đpcm) ▲Ví dụ 25: a) Chứng minh 77…7 ( số lẻ chữ số 7) chia cho 77 dư b) Tìm số dư số 44…4 ( 2014 chữ số 4) chia cho 45? Một số ví dụ khác Ví dụ 26: Chứng minh không thể có các chữ số a, b, c, d thỏa mãn: a) 𝑎𝑏𝑐𝑑 – (a + b + c + d) = 2014; b) 𝑎𝑏𝑐𝑑 - 𝑑𝑐𝑏𝑎 = 2014 Lời giải: a) Do 𝑎𝑏𝑐𝑑 có cùng số dư với a + b + c + d chia cho nên 𝑎𝑏𝑐𝑑 – (a + b + c + d) chia hết cho Mà 2014 ٪ nên không thể có chữ số a, b, c, d thỏa mãn bài toán (đpcm) b) Do 𝑎𝑏𝑐𝑑 và 𝑑𝑐𝑏𝑎 có tổng các chữ số là a + b + c + d nên (𝑎𝑏𝑐𝑑 - 𝑑𝑐𝑏𝑎) ⋮ Mà 2014 ٪ nên không thể có chữ số a, b, c, d thỏa mãn bài toán (đpcm) ▲Ví dụ 27: Chứng minh không thể có các chữ số a, b, c, d thỏa mãn: Lop4.com (12) 4𝑎𝑏𝑐𝑑210 - 𝑑𝑐𝑏𝑎70 = 31121986 Ví dụ 28: Cho tờ giấy xé tờ làm mảnh Lấy số mảnh và lại xé mảnh làm mảnh Hỏi làm có thể 2014 mảnh lớn nhỏ hay không? Lời giải: Ban đầu có tờ giấy, xé tờ làm mảnh 20 mảnh Số mảnh tăng thêm đó là 20 – = 16 mảnh, 16 ⋮ Sau lần xé số mảnh, xé mảnh thành mảnh thì số mảnh tăng thêm luôn chia hết cho Vậy sau nhiều lần xé số mảnh giấy tăng thêm luôn chia hết cho Mà 2014 – = 2010; 2014 ٪ Do đó không thể xé 2014 mảnh lớn nhỏ ▲Ví dụ 29: Cho ba tờ giấy Xé tờ làm mảnh Lấy số mảnh và lại xé mảnh làm mảnh Hỏi làm có thể 2014 mảnh lớn nhỏ hay không? Ví dụ 30: Viết các kí tự C, H, A, O, M, Ư, N, G, N, G, A, Y, N, H, A, G, I, A, O, V, I, Ê, T, N, A, M, 2, 0, “ - ”, 1, để thành dãy: CHAOMƯNGNGAYNHAGIAOVIÊTNAM 20 – 11…bằng Lop4.com (13) Lop4.com (14)