PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐỐP ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (3điểm): Giải các phương trình sau: a) 2 6 9 3 2x x x− + − = b) 8 5 5x x+ + − = c) 2 2 2 4 2x x x− + + + − = Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x 2 − 2(m 2 + 3m)x + m 3 + 12 = 0 (1) trong đó m là tham số. a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b)Kí hiệu x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x 1 2 + x 2 2 là một số nguyên. Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng 3 ( 17 ) 6n n+ M với mọi số tự nhiên n Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. 2 9B x x= − với 3 3x− ≤ ≤ Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có BC 2= , đường cao 2 AH 2 = . Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH. a)Điểm M chạy trên đường nào? b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào? HẾT HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 điểm a) 2 6 9 3 2x x x− + − = 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 x x x x x x x  ≥−   ⇔ − = + ⇔  − = +     − =− −   0,5điểm 0,5điểm b) 8 5 5x x+ + − = điều kiện: 0 5x t≤ = ≤ Phương trình đã cho trở thành: 8 5 5t t+ + − = ⇔ (8 )(5 ) 6t t+ − = ⇔ t 2 + 3t − 4 = 0 0,5điểm 1 4 t t =  ⇔  =−  Kết hợp với điều kiện ta có t = 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,5điểm c) 2 2 2 4 2x x x− + + + − = Điều kiện: 2 2x− ≤ ≤ Đặt 2 2t x x= − + + 2 2 4 4 ( 0) 2 t x t − ⇒ − = ≥ 0,5điểm Phương trình đã cho có dạng: t 2 + 2t − 8 = 0 ⇒ t = − 4 (loại) hay t = 2 Với t = 2 ta có 2 4 0 2x x− = ⇔ =± Thử lại ta thấy 2x=± là hai nghiệm của phương trình 0,5điểm Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x 2 − 2(m 2 + 3m)x + m 3 + 12 = 0 (1) trong đó m là tham số. a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b)Kí hiệu x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x 1 2 + x 2 2 là một số nguyên. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ' 0 0 a≠  ⇔  ∆ >  0,5điểm 2 2 3 3 ( 3 ) ( 3)( 12) 0 m m m m m ≠ −  ⇔  + − + + >  2 3 5 1 2 4 1 4 x x x x  ≥−    ⇔ =− ⇔ =    =   2 3 3 ( 3)( 3) ( 3)( 12) 0 m m m m m m ≠ −  ⇔  + + − + + >  3 2 3 3 ( 3)( 3 ) ( 3)( 12) 0 m m m m m m ≠ −  ⇔  + + − + + >  0,5điểm 2 ( 3)(3 12) 0m m⇔ + − > 2 2 3 3 0 2 3 12 0 2 2 3 3 3 0 2 3 12 0 m m m m m m m m m m  > −  + >        > − > >       ⇔ ⇔    − > > − < − + <           < − <      0,5điểm Vậy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn là m=3 0,5điểm b)Theo định lý Viet ta có: 3 1 2 1 2 m 12 x + x = 2m; x x = m 3 + + 0,5điểm (Điều kiện 2m≥ hoặc 2 3m− ≥ ≥− ) 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2( 12) ( ) 2 4 3 m x x x x x x m m + + = + − = − + 0,5điểm 3 3 2 2 2 2( 3 ) 30 2( 3)( 3 9) 30 4 4 3 3 3 m m m m m m m m m + − + − + = − = − + + + + 2 2 30 4 2( 3 9) 3 m m m m = − − + + + 0,5điểm Ta có: m∈¢ và 2 2 1 2 x x+ ∈¢ nên 3m + ∈ Ư(30) Mà 2 2 3 m m ≥   − ≥ ≥−  nên m lớn nhất thoả mãn các điều kiện này là m = 27 0,5điểm (m + 3 = 30 ⇔ m = 27) Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng 3 ( 17 ) 6n n+ M với mọi số tự nhiên n Ta có: n 3 + 17n = n 3 − n + 18n = (n − 1)n(n + 1) + 18n 1điểm Có: n và (n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên ( 1) 2n n + M n − 1; n; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ( 1) ( 1) 3n n n− + M 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ( 1) ( 1) 3.2 = 6n n n− + M 1điểm Lại có 18 6nM nên ( 1) ( 1) 18 6 ( )n n n n n− + + ∀ ∈M ¥ 1điểm Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. 2 9B x x= − với 3 3x− ≤ ≤ Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có: 2 2 2 9 9 9 2 2 x x B x x + − = − ≤ = 1điểm Dấu “=” xảy ra 2 2 2 3 2 9 9 2 x x x x x⇔ = − ⇔ = − ⇔ =± 1điểm Vậy Giá trị lớn nhất của B là 9 2 khi 3 2 2 x=± 1điểm Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có BC 2= , đường cao 2 AH 2 = . Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. Vẽ Trung tuyến AM. Ta có: Vì AH BC⊥ nên AM AH≥ , Dấu “=” xảy ra ⇔ M H≡ 1điểm Ta có: BC 2 AM= AH M H 2 2 = = ⇒ ≡ 1điểm Do đó tam giác ABC vuông cân tại A 1điểm Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH. a)Điểm M chạy trên đường nào? b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào? Giải: a) µ OM = OH OChungΔOMB=ΔOHC(c.g.c) OB=OC   ⇒    1điểm · · 0 OMB=OHC 90⇒ = . Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB. 1điểm b)Vì · 0 C (O) ACB 90∈ ⇒ = hay AC BD⊥ Mà CD = CB ⇒ Δ ADB có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên Δ ADB cân tại A ⇒ AD = AB = 2R. 1điểm Vì vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R) 1điểm . đó. 2 9B x x= − với 3 3x− ≤ ≤ Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có: 2 2 2 9 9 9 2 2 x x B x x + − = − ≤ = 1điểm Dấu “=” xảy ra 2 2 2 3 2 9 9 2 x x. PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐỐP ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 - 20 09 MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)