GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang UBND THÀNH PHỐ RẠCH GIÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2010 – 2011 Khóa ngày 27/12/2010 ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề). Bµi 1: (3 ®iÓm) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 1000. a là số chính phương. Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Chứng minh rằng: Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c b) Tính giá trị của biểu thức: Q = 1 1 1 a b c b c a     + + +  ÷ ÷ ÷     biết a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Với a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 Bµi 3: (3 ®iÓm) Cho biểu thức: P = 1 3 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x x   − +   − −  ÷  ÷  ÷ − − − − − −     a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P b) Tính giá trị của P với x = 3 2 2− Bµi 4: (4 ®iÓm) Chứng minh đẳng thức sau: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) Áp dụng: Tìm x để giá trị của y = 6 2x x− + + lớn nhất. Bµi 5: (3 ®iÓm) Trong các tam giác ABC có chung cạnh BC và có cùng diện tích . Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bµi 6: (3 ®iÓm) Cho đường tròn O đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O. b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD c) Lấy điểm N cố định trên đường tròn (O). Gọi I là trung điểm MN, P là hình chiếu của I trên MB. Chứng minh rẳng P di động trên một đường tròn cố định. Chú ý: Phương án giải sẽ đưa lên sau Đ T : 091 69 69 0 96 d A 1 B 1 H C B A GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang Phương án giải toán thi học sinh giỏi cấp thành phố Rạch Giá năm 2010 - 2011 Bài 1: Cách 1: a chia hết cho 6 và a chia hết cho 1000 => a chia hết cho UCLN(6;1000) = 750 mà a là số nguyên dương nhỏ nhất và a là số chính phương nên a = 750.n(n nguyên dương nhỏ nhất) => n = 120 vậy a = 750.120 = 90000. Cách 2: 1000 = 10 2 .2.5; 6 = 2.3 => a là bội số (6; 1000) mà a là số chính phương nhỏ nhất => a = 10 2 .2 2 .5 2 .3 2 = 90000 Bài 2: a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 ⇔ (a + b) 3 + c 3 – 3ab(a + b + c) = 0 ⇔ (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac ) = 0 ⇔ 1 2 (a + b + c)[(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 ] = 0 ⇔ a + b + c = 0 hoặc a = b = c b) Nếu a = b = c thì Q = 8 Nếu a + b + c = 0 thì a + b = – c ; b + c = – a ; c + a = – b thì Q = – 1 Bài 3: a) ĐK: x ≥ 1 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3 A = 1 3 1 1 2 x x x x −   −  ÷ − − − −   = 1 ( 3)( 1 2) 2 1 3 x x x x x x x x   + − − − + − = −  ÷  ÷ − + −   B = 2 2 2 1 2 2 ( 2) x x x x x x x x + − − − = = − − − − => P = A.B = –1 + 2 x b) Nếu x = 3 – 2 2 thì 2 ( 2 1) 2 1x = − = − => P = – 1 + 2 2 1− = 1 + 2 . Bàn luận: với x = 3 2 2− thì từ bài ra biểu thức P có nghĩa không? Ta hảy tìm Đ/K của 1 2 2 2x O− = − < ? Bài 4: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ⇔ a 2 c 2 + b 2 d 2 – a 2 c 2 – a 2 d 2 – b 2 c 2 ≤ 0 ⇔ a 2 d 2 + b 2 c 2 ≥ 0 Bất đẳng thúc đúng => đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi ad = bc. Áp dụng: Đặt a = 6 x− ; b = 2x + ; c = 1; d = 1 Ta có y 2 ≤ 8.2 = 16 => y ≤ 4 . Vậy GTLN y = 4 khi đó x = 2. Bài 5; Đ T : 091 69 69 0 96 GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang Gọi AH = h ta có S abc = 1 2 BC.h. Vậy tập hợp các điểm A thuộc đường thẳng song song BC và cách BC một khoàng không đổi là h . Lấy B 1 đối xứng với B qua d , nối B 1 A ta có B 1 A = AB, nối B 1 với C cắt d tại A 1 . Vì BC không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AB + AC = B 1 A + AC nhỏ nhất mà theo bất đẳng thức trong tam giác thì B 1 A + AC ≤ B 1 C. Khi đó A trùng A 1 nên tam giác A bc cân tại A . Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tam giác ABC cân tại A. Bài 6 : I P K N H D C M O B A a) ∆ MOA cân tại O => · · OAM OMA= (1). Xét (O) có: · · OAM MAC= (T/c tt) (2).Từ (1) và (2) => OM // AC mà AC ⊥ MC => OM ⊥ CM (3). Tương tự ta chứng minh được OM ⊥ MD (4) Từ (3) và (4) => CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M. b) Theo t/c hai tiếp tuyến => AC + BD = AH + HB = AB (không đổi). Theo chứng minh trên AC + BD = AH + HB không đổi theo cô si tích AC.BD lớn nhất khi AH = HB ⇔ H trùng tâm O ⇔ M là điểm nẳm chính giữa cung AB. c) Gọi K là giao điểm IP và AN ta chứng minh được K là trung điểm AN . A, N cố định nên K cố định mà B cố định nên KB cố định. Vậy P nhìn KB cố định dưới một góc 90 0 nên P thuộc đường tròn cố định đường kính KB. Đ T : 091 69 69 0 96 . DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2 010 – 2011 Khóa ngày 27/12/2 010 ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) . Bµi 1: (3 ®iÓm) Tìm. giỏi cấp thành phố Rạch Giá năm 2 010 - 2011 Bài 1: Cách 1: a chia hết cho 6 và a chia hết cho 100 0 => a chia hết cho UCLN(6 ;100 0) = 750 mà a là số nguyên