PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN THCS PHẠM HỒNG THÁI NĂM HỌC 2009-2010 ------------------------- MÔN THI : TOÁN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 2009 Bài 1 (4,0 đ) a/Tính 1.98 2.97 3.96 . 98.1 1.2 2.3 3.4 4.5 . 98.99 A + + + + = + + + + + b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: (a 3 + 11a ) M 6 Bài 2 (4,0 đ) Cho các biểu thức: 1 1 1 1 2 2 3 24 25 A = + + + + + + 1 1 1 1 1 2 3 24 B = + + + + a/ Tính giá trị của A b/ Chứng minh rằng B> 8 Bài 3 (4,0 đ) a/ Giải phương trình sau: x- 15 17x − = b/ Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình: 5x - y = 3x+2 - 2y-1 3 -1 Bài 4 (4,0 đ) Cho tứ giác ABCD Có ADC + DCB = 90 0 . AD = BC, CD = a ; AB = b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD và BD. S là diện tích của tứ giác MNPQ a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? b/Chứng minh S 2 ( ) 8 a b− ≥ Dấu “ =” xảy ra khi nào Bài 5 (4,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt la hình chiếu của H lên AC và AB. Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R ? 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TOÁN 9 Bài 1(4,0 đ) a/ Ta có: 1.98+2.97+3.96+…+98.1=1+(1+2)+(1+2+3)+….+(1+2+3+… +97+98)= (1,0đ) = 1.2 2.3 3.4 98.99 1 . (1.2 2.3 3.4 . 98.99) 2 2 2 2 2 + + + + = + + + + , Vậy A= 1 2 (1,0 đ) b/Ta có: a 3 + 11a = (a 3 - a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a (0.5đ) Vì a Z∈ nên a; a -1; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp ⇒ a(a– 1) M 2 ; a(a +1)(a – 1) M 3 (0,5đ) Vì (2, 3) = 1 nên a( a-1)( a+1) M 6; 12 a M 6 (0,5đ) ⇒ a( a -1)( a +1) + 12a M 6 Vậy (a 3 + 11a ) M 6 với ∀ a ∈ Z (0,5đ) Bài 2( 4,0 đ) a/ 1 1 1 1 2 2 3 24 25 A = + + + + + + = 2 1 3 2 25 24 . 1 1 1 − − − + + + (1,0 đ) = 25 1 4− = (1,0đ) b/ 1 1 1 1 . 1 2 3 24 B = + + + + = 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 24 24 + + + + + + + + (1,0đ) > 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 24 25 + + + + + + + + = 2A = 8 (1,0đ) Bài 3(4,0 đ) a/: x- 15 17x − = đk: x ≥ 15 ⇔ x – 15 - 15 2 0x − − = (1) Đặt 15x t− = (t ≥ 0) (1,0 đ) (1) ⇒ t 2 – t – 2 = 0 (1,0 đ) b/ 5x y 3x 2 2y 1 3 − = + − − - 1 ⇔ 5x 3x 2 2y 1 y 1 3 + − − = − + (1) (0,5 đ) Ta có vế trái là một số vô tỷ. Vế phải là số hữu tỷ nên để phương trình có nghiệm nguyên là cả hai vế của (1) bằng 0 3x 2 2y 1 0 5x y 1 0 3  + − − =   − + =   (1,0 đ) Giải hệ phương trình ta được nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ) Bài 4(4,0 đ) 2 1 2 1 ( ) 2 15 19 t loai t x x = −    = = − ⇒ =   D C A B Q N M. P P a/Chứng minh được MNPQ là hình thoi (0,75 đ) Chứng minh được MNPQ là hình vuông (0,75 đ) b/S(MNPQ)= 1 2 MP.QN= 1 2 QN 2 (0,5 đ) Gọi P là trung điểm của AD Ta có QN ≥ PN-PQ = (0,75 đ) S ≥ 1 2 ( ) 2 = ( ) 2 (0,75 đ) Dấu “=” xảy ra khi QN= PN-PQ Hay P; Q; N thẳng hàng khi đó tứ giác ABCD là hình thang (0,5 đ) Bài 5 (4,0 đ) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ) S (ADHE )= AD.AE ≤ 2 2 2 2 2 2 2 AD AE DE AH+ = = (1,0 đ) ⇒ S (ADHE) ≤ 2 2 2 2 2 2 AH AO R ≤ = (1,0 đ) Vậy Max S (ADHE )= 2 2 R Khi AD = AE Hay A là điểm chính giữa của cung AB (1,0 đ) 3 2 a b− 2 a b− 8 a b− O B C A H D E . ĐỀ TOÁN 9 Bài 1(4,0 đ) a/ Ta có: 1 .9 8+2 .9 7+3 .9 6+ +9 8.1= 1+( 1+2 )+( 1+2 +3 )+ .+( 1+2 + 3+ . . +9 7 +9 8)= (1,0đ) = 1.2 2.3 3.4 98 .99 1 . (1.2 2.3 3.4 . 98 .99 ). Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 09 Bài 1 (4,0 đ) a/Tính 1 .98 2 .97 3 .96 . 98 .1 1.2 2.3 3.4 4.5 . 98 .99 A + + + + = + + + + + b/ Chứng minh