Căn thức và biến đổi căn thức- Phần I 1. Rút gọn biểu thức chứa căn không có điều kiện Bài 1. Tính 1. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2P = + + + − + 2. ( ) ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15P = + − − 3. 4 5 3 5 48 10 7 4 3P = + + − + 4. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2P = + + + − + 5. 5 3 29 12 5P = − − − 6. P = 8 + 2 10 + 2 5 - 8 - 2 10 + 2 5 7. P 2 + 3 2 - 3 = + 2 + 4 + 2 3 2 - 4 - 2 3 8. 2 3 3 13 48 6 2 P − + + = − 9. 2007 2007 2008 2008 2009 2009 P + = 10. 3 5 3 5 10 3 5 10 3 5 P + − = − + + + − 11. 3 5 3 5 2 3 5 2 3 5 R + − = + + + − − 12. 5 17 5 17 10 4 2 4 3 5 3 5 2 2 P + − − − − + = + − − + − 13. 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 6 2 4 3 2 6 3 6 12 12 P − − − −     + + +  ÷  ÷     =     + + +  ÷  ÷     14. 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 P + − = + + + − − 15. 2 2 2 5 1 . 3 12 3 3 6 P = + + − 16. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 3 5 4 : 3 1 5 1 P + − + − = + + 17. 10 24 40 60P = + + + 18. 6 2 2. 3 2 12 18 128P = + − + + − 19. 3 10 20 3 6 12 5 3 P + − − = − 20. 2 3 6 8 4 2 3 4 P + + + + = + + 21. (5 2 6) 5 2 6 3 2 P = + − + 22. 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 P - + = + - + + - 23. 5 3 2 3 5 5 3 3 5 P + − = − 24. ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 P − + = + + − 25. 2 3 2 2 3 2 2 3 2 6 2 3 P + = + + − + 26. 3 3 20 14 2 20 14 2P = + + − 27. 3 3 26 15 3 26 15 3P = + + − 28. 5 3 2 3 2 4 3 2 5 . .5 5 8 3 5 5 . . 4 24 3 P     − −  ÷  ÷     =       − − −  ÷  ÷  ÷       29. 4 3 3 3 3 3 4 7 54 15 128 32 9 162 P + = + 30. ( ) 4 4 4 7 48 28 16 3 . 7 48P = + − − + 31. 5 10 1 (19 6 10). 3 2 2 5 2 P = + − 32. ( 3 1) 6 2 2. 3 2 12 18 128P = − + − + + − 33. 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3P = + + + + + + − + + 34. ( ) ( ) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 P = 2 + + + − + − + 35. P = 2+ 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + − + + 36. 1 1 1 1 . 2 1 1 2 3 2 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000 P = + + + + + + + + 37. 3 (12 6 3) 3 2(1 2 3 4) 2 4 2 3 14 8 3 P = − − − − + + + − 38. 1 1 1 1 . 1 5 5 9 9 13 2001 2005 P = + + + + + + + + 39. ( ) P       ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷      2 3 2 + 3 3 2 3 = + + 2 - 24 + 8 6 + 3 2 4 2 2 + 3 2 + 3 2 - 3 40. 1 1 1 . 2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005 P = + + + + + + 41. ( ) 3 12 6 3 3. 2(1 4 2 3 2 4 2 3 ) 14 8 3 P = − − − − + + − 42.P = 2112 1 + + 3223 1 + + + 2006200520052006 1 + + 2007200620062007 1 + 43. 3 3 3 26 15 3.(2 3) 9 80 9 80P = + − + + + − 44. 4 4 4 4 4 4 1 7 2 6 7 7 7 7 1 343 1 7 7 7 7 7 P − = − − + +   − +  ÷   Bài 2: 1. Nêu một cách tính nhẩm 997 2 . 2. Tính tổng các chữ số của A, biết rằng 99 .96A = (có 100 chữ số 9). Bài 3. 1. Rút gọn biểu thức: 7 3 7 3 7 2 M − − + = − 2. Cho { { 10 10 99 .9400 .09 so so N = . Tính N 3. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 10 1 2 3 1 . : 9 6 4 2 1 4 2 3 M   + + =   − + −   −   Bài 4: Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )a b a b a b a b + + = + − + + Áp dụng tính 2 2 2 999 999 1 999 1000 1000 M = + + + Bài 5. So sánh hai số 3 5 3 5 2 2 3 5 2 2 3 5 R + − = + + + − − và 4 7 4 7 3 2 4 7 3 2 4 7 S + − = + + + − − Bài 6. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4= + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên Bài 7: Rút gọn biểu thức: 1. ( ) 2 3 2 3 3 , 0, 0, x x y y y xy y x P x y x y x y x x y y − + + − = + > > ≠ − + 2. 4 3 4 2 1. 3 2 2 ( 12) 6 8 2 1. 3 2 2 1 x x x P x x x − + + + − − = − − + − − 3. 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 8 2 1 : 2 . 2 2 2 2 x x x x P x x x x x x       − − = + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + + − +       , với x > 0 và x ≠ 9 4. 3 4 2 3 4 2 3 3 1 1 1 1 27 6 27 6 3 3 3 3 P a a a a a a a a= + + + + + + − + + Bài 8. Trục căn thức ở mẫu 1. 1 2 5 2 2 10+ + + 2. 15 10 20 40 5 80− + − + 3. 3 3 3 1 16 12 9+ + 4. 4 4 4 4 15 2 4 8 16+ + + 5. 3 3 3 3 3 1 9 3 24 243 375− + − + 6. 3 4 2 4 3 5 5 125− + − 7. 3 3 1 1 3 2 2 4+ − Bài 9: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau: 1. 1 2 A a b c = + + trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b. 2. 1 B a b c d = + + + trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d. 3. 1 ' ' ' M m n p m n p = + + + + + biết rằng ' ' ' m n p m n p = = Bài 10: Chứng minh rằng 2 . mn m n m n m n m n = + − + + + + Áp dụng tính 2 10 2 5 7+ + . Bài 11: Chứng minh rằng: 1 1 1 ( 1) 1 1n n n n n n = − + + + + với *n N ∈ . Áp dụng tính tổng: 1 1 1 . 2 1 1 2 3 2 2 3 400 399 399 400 S = + + + + + + Bài 12: 1. Chứng minh: ( )   ≠ ≠ ≠  ÷   2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = + - a 0; b 0;a + b 0 a b (a + b) a b a + b 2. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2009 -1 1+ + + 1+ + + .+ 1+ + = 1 2 2 3 k (k +1) 2009 Bài 13. Tìm phần nguyên của 3 3 3 6 6 . 6 6 6 . 6A = + + + + + + + Bài 14. Tìm x biết: 5 13 5 13 x = + + + + . Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần Bài 15: Với mỗi 1 n N ≤ ∈ ta đặt: 3 5 3 5 2 2 2 n n n a     + − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷     . 1. Chứng minh rằng n a Z∈ , ,1n n N∀ ≤ ∈ . 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 sao cho a n là số chính phương. Bài 16. Kí hiệu [a] chỉ phần nguyên của a. Tìm 2 2 2 4 27 17 7n n n n   + + + +     Bài 17: Tìm chữ số đứng ngay trước và đứng ngay sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của số ( ) 1992 2 3+ Bài 18. Tìm phần nguyên của 1. 6 1 1 1 1 . 2 3 10 A = + + + + 2. 2 2 2 4 36 10 3B x x x x= + + + + Bài 19: Cho p là số nguyên tố > 2. Chứng minh rằng ( ) 1 2 5 2 p p p +   + −     M . Bài 20: Cho 1 n N ≤ ∈ . Tìm lũy thừa của 2 trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số ( ) 1 3 n   +     . 2. Rút gọn biểu thức chứa căn có điều kiện Bài 1: Cho a,b,c là 3 số dương ,hãy rút gọn biểu thức: 2a b c ac bc a b+ + + + − + Bài 2: a. Cho x =         + a b b a 2 1 , trong đó a > 0, b > 0. Tính giá trị của biểu thức A = 1 12 2 2 −− − xx x . b. Rút gọn biểu thức 2 )1( 1 :) 1 1 ( x x x xx P − + − − = Tính giá trị biểu thức P khi 12 1 − = x Bài 3: Hãy tính giá trị của biểu thức 1. P 3 = x + 3x + 2 với x = 3 3 1 2 - 1 - 2 - 1 2. 5 2009 ( 1)P x x= − + , biết ( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + + − . 3. ( ) ( ) 2008 2007 3 4 1P x x= − + , biết ( ) 3 10 6 3 3 1 6 2 5 5 x + − = + − 4. P = (3x 3 + 8x 2 + 2) 1998 , biết ( ) 3 5 2 17 5 38 5 14 6 5 x + − = + − 5. ( ) 2007 3 2 3 8 2P x x= + + , biết ( ) 25 56145 38517 3 +⋅ −+ − = x Bài 4. Tính giá trị của biểu thức 1. A = (3x 3 – x 2 – 1) 2004 biết 3 3 3 26 15 3.(2 3) 9 80 9 80 x + − = + + − 2. B = (x 3 +12x - 9) 2005 , biết 3 3 4( 5 1) 4( 5 1)x = + − − 3. C = x 3 + ax + b, biết 2 3 2 3 3 2 4 27 2 4 27 b b a b b a x = − + + + − − + Bài 5: Tìm giá trị của biểu thức: P = x 3 + y 3 – 3(x + y) + 2004. Biết rằng: 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2; 7 12 2 7 12 2x y= + + − = + + − Bài 6: a. Tính giá trị của biểu thức : 3 3 3( ) 2006P a b a b= + − + + Biết rằng : 3 3 3 2 2 3 2 2a = + + − và 3 3 17 12 2 17 12 2b = + + − b. Hãy tính giá trị của biểu thức P = a 3 + b 3 – 3(a + b) + 2008 Bết rằng: 3333 2121721217;625625 −++=−++= ba (Không sử dụng máy tính cầm tay). Bài 7: Xác định a, b biết: 7 5 7 11 3 7 11 4 7 2 11 a b+ = + + + Bài 8. a. Cho 2 2 16 2 9 2 1x x x x− + − − + = Tính A = 2 2 16 2 9 2x x x x− + + − + b. Cho 2 2 1 1S x y y x= + + + Hãy tính giá trị của biểu thức S biết rằng: 2 2 (1 )(1 )xy x y a+ + + = Bài 9: a. Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx . Tính giá trị biểu thức A = x + y b. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009x x y y− + − + − + − + = Tính giá trị của A = x + y c. Cho (x + 200620062006 22 =+++ )yy()x Hãy tính tổng: S = x + y d. Cho 2 2 ( 5 )( 5 ) 5x x y y+ + + + = . Tính giá trị của C = x + y Bài 10. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y z z x x y S x y z x y z + + + + + + = + + + + + Bài 11: Cho x,y,z là 3 số thực thoả mãn các điều kiện xy+yz+zx=0. Đặt a = 22 yxyx ++ ; b = 22 zyzy ++ ; c = 22 zzxz ++ . Với a, b, c là 3 số dương. Hỏi a, b, c có thể là 3 cạnh của một tam giác được không? Bài 12: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 4. Đặt 2 2 1 2 2 y x z P xy x yz y zx z = + + + + + + + + Tính P . Bài 13: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức: y x 10 z A xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10 = + + + + + + + + . 3. Các bài toán chứng minh Bài 1. Chứng minh các đẳng thức: a. 322 32 ++ + + 322 32 −− − = 2 b. 3 3 2 3 1 1 3 1 1 − = + − + + c. 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 + − + = + + − − . d. 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 3 + + − = + − − e. 3 3 3 3 3 1 2 4 2 1 9 9 9 − = − + Bài 2. Chứng minh rằng các số sau đều là các số nguyên a. 5 3 29 12 5A = − − − b. 4 5 3 5 48 10 7 4 3C = + + − + c. 2 3 5 13 48 6 2 E + − + = + d. (5 2 6)(49 20 6) 5 2 6 9 3 11 2 B + − − = − e. ( 3 1) 6 2 2. 3 2 12 18 128D = − + − + + − f. 3 3 84 84 1 1 9 9 P    ÷ = + + −  ÷   g. 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 P = + + − − + + h. = + + − − + + 3 3 125 125 P 3 9 3 9 27 27 Bài 3: Chứng minh đẳng thức : b a a b b b b a a a − − = − − với a, b trái dấu Bài 4. Cho ,A B Z∈ . Chứng minh rằng số 9999 1111 3+ không thể biểu diễn dưới dạng ( ) 2 3A B+ Bài 5. Cho 1 1 1 . 1 2 100 S = + + + . Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên Bài 6. Cho 33 3232 ++−= a .Chứng minh rằng a a 3 )3( 64 32 − − là số nguyên. Bài 7: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 1 3 4 1 1998 1999 1 1999 2000 A = + + + + + + + + + + + + . là một số hữu tỷ. Bài 8. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 A a b b c c a = + + − − − là số hữu tỉ Bài 9. Chứng minh rằng số : n = 2( 5 1) 3 5+ − là số hữu tỷ Bài 10. Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 và a = b + c Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 a b c + + là một số hữu tỉ Bài 11: Chứng minh hằng đẳng thức: a b a ba b a b ab − − = − − Trong đó a và b trái dấu Bài 12. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2 2 a b a b a b b a a b ab a ab b ab ab ab − − − −     + + +  ÷  ÷     =     + + +  ÷  ÷     Bài 13. Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 5 4 5 2 1 2 1 1.( 8 ) 2 2 . 10 (5 4 ) (4 5) x x x x a ax x a x x − − − − + + − − − + = + − + Với a > 0, x > 0 Bài 14: Cho 1 1 1 . 1 2 2 3 120 121 A = + + + + + + . 1 1 1 . 1 2 35 B = + + + . Chứng minh rằng A < B. Bài 15. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 997. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (997 )(997 ) (997 )(997 ) (997 )(997 ) (997 ) (997 ) (997 ) y z z x x y N x y z x y z + + + + + + = + + + + + Bài 16. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến 3 3 1 1 1 20 14 2. 6 4 2 ( 3) 3 1 : 1 2 2 2( 1) a Q a a a a   −   = + − + + − − +     +     Bài 17: Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x: 3 6 4 2 3. 7 4 3 9 4 5. 2 5 x A x x − + − = + − + + Bài 18: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y P x y x z y z y x z x z y = + + − − − − − − Bài 19: Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . Chứng minh rằng : + + + = = xy 1 yt 1 xt 1 NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 y t x Bài 20: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 a b c 2 (1) a b c 2 (2) + + =   + + =  Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a b c 2 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + + . Bài 21. Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 5 4 5 2 1 2 1 1.( 8 ) 2 2 . 10 (5 4 ) (4 5) x x x x a ax x a x x − − − − + + − − − + = + − + Với a > 0, x > 0 Bài 22: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có: ca cbba + = + + + 211 Bài 23. Chứng minh rằng nếu: 3 3 3 3 a b c a b c+ + = + + thì với mọi số nguyên dương n lẻ ta đều có n n n n a b c a b c+ + = + + Bài 23. Chứng minh rằng nếu ax 3 = bx 2 = cx 3 và 1 1 1 1 x y z + + = thì 2 2 2 3 3 3 3 ax by cz a b c+ + = + + Bài 25: Chứng minh rằng nếu: , , , , , , aa bb cc (a b c)(a b c )+ + = + + + + trong đó a, b, c, a', b', c' > 0 thì , , , a b c a b c = = Bài 26. Chứng minh rằng nếu: 1 2 1 2 . n n x x x y y y = = = thì 1 1 2 2 1 2 1 2 ( . )( . ) n n n n x y x y x y x x x y y y+ + = + + + + + + với x k > 0, y k > 0, k = 1, 2, 3 … n Bài 27: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c. Chứng minh rằng: ))(( SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa ++++=++ Bài 28: Chứng minh rằng: 1. 2 2 2 2 )x y x y x x y x x y y+ + − = + − + − − ≥ ( x . 2. ( ) 2 2 x y x y xy xy x y + + − + + = + ≥ xy 0 . Bài 29: Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương đương. 1. c ≠ 0 và a b a c b c+ = + + + . 2. a > 0, b > 0 và 1 1 1 0. a b c + + = Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1. 1 4 2n n n     + + = +     2. 1 2 9 8n n n n     + + + + = +     Bài 31: Cho a, b, c ∈ Z, c > 0, c là số chính phương. Chứng minh rằng ,1n n N∀ ≤ ∈ ta có: 1. ( ) n n n a b c a b c+ = + 2. ( ) n n n a b c a b c− = − ở đó a n , b n ∈ Z. Bài 32: Chứng minh rằng ,1n n N∀ ≤ ∈ ta có: ( ) 2 2 1 1 n n n a a− = − − , trong đó a n ∈ N. Bài 33: Chứng minh rằng ( ) 2 3 n   +     là số lẻ ,1n n N∀ ≤ ∈ Bài 34: Chứng minh rằng ,1n n N∀ ≤ ∈ số ( ) { } 5 26 n + bắt đầu từ n chữ số giống nhau sau dấu phẩy. Bài 35: Cho 100 số tự nhiên 1 2 100 , , .,a a a thỏa mãn điều kiện: 1 2 100 1 1 1 . 19 a a a + + + = Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 36: Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có. 3 3 3 3 72 1 9 9 1 72 7n n n n       + = + + = +       Bài 37 : Chứng minh rằng 6 1 < 6 .663 6 .663 ++− +++− < 27 5 ( Có 2007 dấu căn trên tử số và 2006 dấu căn ở dưới mẫu số ) Bài 38: 1. Cho A a a ab ab= + +; B = b b với a > 0; b > 0. So sánh A + B với tích AB khi 3a b+ = và 1.ab = Chứng tỏ rằng nếu a b+ và ab là những số hữu tỉ thì tổng A + B và tích AB cũng là số hữu tỉ. 2. Chứng minh rằng số 99999 111111 3+ không thể viết dưới dạng ( ) 2 3A B+ trong đó A, B là các số nguyên. Bài 39: Chứng minh rằng: 1 2( 1 ) 2( 1)n n n n n + − < < − − với *n N ∈ . Áp dụng: Cho 1 1 1 1 . 2 3 100 S = + + + + . [...]...Chứng minh rằng 18 < S < 19 1 < n + 1 − n với n ∈ N 2 n +1 1 1 1 + + + < 100 Áp dụng chứng minh rằng: 1 + 2 3 2500 1 1 1 1 + + + + Bài 41 Cho biểu thức A = 1.199 2.198 3.197 199.1 Bài 40: Chứng minh rằng: Chứng minh rằng A > 1,99 Bài 42 1 a Cho a > 0 Chứng minh rằng nếu ta có: a − = a + thì ta cũng có: a + a− 1 = 5 a 1 = 3 (2) a (3) 1 (1) a . phân của số ( ) 1992 2 3+ Bài 18. Tìm phần nguyên của 1. 6 1 1 1 1 . 2 3 10 A = + + + + 2. 2 2 2 4 36 10 3B x x x x= + + + + Bài 19: Cho p là số nguyên. + − − − − − − Bài 19: Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . Chứng minh rằng : + + + = = xy 1 yt 1 xt 1 NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 y t x Bài 20: Cho ba