Một số dạng toán về đa thức - phân thức Phân tích đa thức thành nhân tử. 1/ a 3 + b 3 + c 3 - 3abc 2/ a 3 (b - c) + b 3 (c - a) + c 3 (a - b) 3/ a 2 (b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b) 4/ )a 2 + b 2 ) 3 + (c 2 - a 2 ) 3 - (b 2 + c 2 ) 3 5/ (x 2 - x + 1)(x 2 - x + 2) - 12 6/ x 2 (y 2 - 4) - 6x(y 2 - 4) + 9 7/ bc(a + d)(b - c) - ac(b + d)(a - c) + ab(c + d)(a - b) 8/ 9a 3 - 13a + 6 9/ x 8 + x 4 + 1 10/ (a 2 + a + 4) 2 + 8a(a 2 + a + 4) +15a 2 11/ (x + y) 5 - x 5 - y 5 12/ (x + y) 7 - x 7 - y 7 13/ x 5 + x 4 + 1 14/ x 8 + x 7 + 1 15/ x 8 + x + 1 16/ x 10 + x 5 + 1 17/ a 3 + 4a 2 - 29a + 24 18/ x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 19/ x 3 + 6x 2 + 11x + 6 20/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x+ 7) + 15 Các bài toán về chia đa thức. a) Tìm a và b và c để 1/ Đa thức x 4 + x 3 + ax 2 + 4x + b chia hết cho đa thức x 2 - 2x + 2 2/ Đa thức x 5 + 32 chia hết cho đa thức x + a 3/ Đa thức x 4 + x 3 + 3x 2 + ax + 4 chia hết cho đa thức x 2 - x + b 4/ Đa thức ax 3 + ax + b chia hết cho x + 2 và khi chia cho x 2 - 1 thì d x + 5 5/ 6x 3 - 2x 2 - ax - 2 chia hết cho 2x - 3 6/ x 4 + ax 3 + 3x 2 - 4x - 4 chia hết cho x - 2 7/ Xác định số hữu tỉ k để đa thức: A = x 3 + y 3 z 3 + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm số d của các phép chia đa thức 1/ x 3 - 5x 2 + 7x - 3 cho x - 2 2/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2004 cho x 2 + 8x + 1 3/ 1 + x + x 19 + x 199 + x 1995 cho 1 - x 2 8/ Tìm một đa thức bậc ba biết. P 0 = 10 ; P 1 = 12 ; P 2 = 4 ; và P 3 = 1 9/ Tìm một đa thức bậc ba P (x) , cho biết khi chia P (x) cho các đa thức : (x - 1) ; (x - 2) ; (x - 3) đều đợc d là 6 và P (-1) = -18 10/ Cho đa thức bậc bốn P (x) thoã mãn: P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1) a/ Xác định P(x) b/ Suy ra giá trị của tổng sau đây. S = 1.2.3 + 2.3.4 + .+ n(n + 1)(2n + 1) 11/ Tìm một đa thức bậc hai biết : P(0) = 19 ; P(1) = 85 ; P(2) = 1985 12/ Cho đa thức P(x) = x 4 + x 3 - x 2 + ax + b và Q(x) = x 2 + x - 2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) 13/ Xác định a, b sao cho đa thức P(x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia hết cho Q(x) = (x - 1) 2 14/ Xác định a, b sao cho P(x) = 6x 4 - 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 chia hết cho Q(x) = x 2 - x + b 15/ Xác định đa thức P(x) biết : P(x) chia cho (x + 3) d 1 ; chia cho (x - 4) d 8 ; chia cho (x + 3) (x - 4) thì đợc thơng là 3x và còn d 16/ Xác định d của phép chia đa thức P(x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho Q(x) = x - 1 17/ Xác định d của phép chia đa thức P(x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho Q(x) = x 2 - 1 18/ Xác định d của phép chia . P(x) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x 81 cho Q(x) = x 3 - x 19/ Với giá trị nào của a và b thì đa thức x 3 + ax 2 + 2x + b chia hết cho x 2 + x + 1 Các bài toán chứng minh. 1/ Chứng minh rằng biểu thức A = a 4 (b - c) + b 4 (c - a) + c 4 (a - b) luôn khác 0 nếu ba số a, b, c phân biệt 2/ Chứng minh rằng nếu x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: B = 4x 2 y 2 - (x 2 + y 2 - z 2 ) 2 luôn luôn dơng 3/ Cho P (x) = x 1970 + x 1930 + x 1890 và Q (x) = x 20 + x 10 + 1 Chứng minh rằng khi x là một số nguyên thì P (x) chia hết cho Q (x) 4/ Chứng minh rằng A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 (n N) 5/ Chứng minh rằng các biểu thức sau là số nguyên N n với 6 n 2 n 3 n B chẵn n với 24 n 8 n 12 n A 3232 ++=++= 6/ Cho A = n 6 + 10n 4 + n 3 + 98n - 6n 5 - 26 và B = n 3 - n + 1 -Chứng minh rằng với mọi n Z thì thơng của phép chia A cho B là bội của 6. -Tìm n Z để A chia hết cho B 7/ Chứng minh rằng các đa thức sau luôn dơng với mọi x x 8 - x 7 + x 5 - x 3 + 1 và x 12 - x 9 + x 4 - x + 1 8/ Chứng minh rằng nếu x + y + z = -3 thì (x + 1) 3 + (y + 1) 3 + (z + 1) 3 = 3(x + 1)(y + 1)(z + 1) 9/ Cho ab = 1. C/m rằng a 5 + b 5 = (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) 10/ Cho x > 0 thoã mãn nnguyê số một là x 1 xrằng minh chứng 7 x 1 x 5 5 2 2 +=+ 11/ Cho a + b + c = 1 và 0 111 =++ cba chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 = 1 12/ Cho rằng minh chứng x; 2 1 1 2 44 =+ + =+ y bab y a x a/ bx 2 = ay 2 b/ 10001000 2000 1000 2000 )( 2 bab y a x + =+ 13/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thoã mãn. a + b + c= 2000 và 2000 1111 =++ cba thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2000 14/ Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng 2222444 )( 2 1 cbacba ++=++ 15/ Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì 1 1 1 1 1 1 1 = ++ + ++ + ++ zxzyzyxyx 16/ Chứng minh rằng nếu : ac a-c z ; + = + = + = cb c-b y ; ba ba x thì (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z) 17/ Cho a, b, c là ba số thực khác nhau. Chứng minh rằng. 1 . = + + + + + + + + ba ab ac ca cb cb ac ca cb cb ba ba 18/ Chứng minh rằng nếu : 2 11 2 111 22 =++=++=++ cb cba 2 a 1 có ta thiabc c b a và 19/ Cho +=+ +=+ 2222 bayx bayx C/m rằng với mọi số nguyên dơng n ta có x n + y n = a n + b n 20/ Cho x và y thoã mãn =+ =+ =+ cyx byx ayx 33 22 C/m rằng a 3 + 2c = 3ab 21/ Cho x, y thoã mãn =+ =+ =+ baycx acybx cbyax C/m rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 22/ Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : 222 )( 1 )( 1 )( 1 accbba N + + = là bình phơng của một số hữu tỉ 23/ Cho a + b + c + d = 0. C/m rằng a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)(ab - cd) 24/ Cho a, b, c thoã mãn: (a + b- 2c) 2 + (b + c - 2a) 2 + (c + a - 2b) 2 = (a - b) 2 + (b - c) 2 +(c - a) 2 Chứng minh rằng a = b = c 25/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết : (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. C/m tam giác đã cho là tam giác đều 26/ Cho a 2 - b 2 = 4c 2 . C/m rằng : (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b) 2 27/ C/m rằng nếu : (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 và x, y khác 0 thì y b x a = 28/ C/ rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 +z 2 ) = (ax + by + cz) 2 và x, y khác 0 thì z c y b x a == 29/ C/m các hằng đẳng thức sau : a/ (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 b/ x 4 + y 4 + (x + y) 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 30/ Cho a, b, c khác 0 và a + b+ c khác 0 thoã mãn đ/k cbacba ++ =++ 1111 chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau từ đó suy ra rằng: 200920092009200920092009 1111 cbacba ++ =++ 31/ Cho a, b, c khác 0 thoã mãn đ/k : a + b + c = 0. Chứng minh rằng cba cba 111111 222 ++=++ 32/ C/m rằng nếu 2 11 2 111 22 =++=++=++ cb cba 2 a 1 thi abc c b a và 33/ Cho b c a b c a a c c b b a ++=++ C/m rằng tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau 34/ Cho ba số a, b, c khác 0 thoã mãn abc = 1 và cba cba 111 ++=++ chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1. 35/ Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thoã mãn : 0 )()( 0 22 = + += + + ba c ac b ba c ac b cb a 2 c)-(b a : rằng minh Chứng . 36/ Cho 01 22 = + + + + + = + + + + + ba c ac b ba c ac b cb a cb a rằng minh Chứng 2 37/ Cho a + b + c = 0 , x + y + z = 0 và 0 cz by ax rằng minh Chứng 222 =++=++ 0 z c y b x a 38/ Cho ba số a, b, c khác 0 và ( a+ b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 . C/m abc cba 3 3111 333 =++ 39/ Chứng minh các bài toán sau 1 n 5 4 (1 Gg/ 2 n 6 2 -(1 Ff/ 2 n 2 1 Ee/ 1 n 1.3 1 (1 Dd/ 1 n 3 1 Cc/ 1 n 2 1 B 1n 2.4 3 -(1 A 2 22 < + +++=> + = <++++=< + +++= < + ++++=<++++= >> + = 6] )4( 4 1) [ 12 4 1)( 3 1 ] )1( 2 1) .[ 20 2 1)( 12 2 1)( 3 21 . 4 1 3 1 2] )2( 1 1) [ 4.2 1 1)( 4 1 )12( 1 . 7 1 5 1 2 1 )2( 1 . 6 1 4 1 / 4 1 ] )2( 3 1) .[ 6.4 3 1)( 5.3 3 1)(/ 222 222222 nnnn n nn nn b nn a Các bài toán về tính toán 1/ Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị biểu thức A = a 4 + b 4 + c 4 2/ Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 tính giá trị biểu thức B = (x - 1) 2007 + y 2008 + (z + 1) 2009 3/ Cho 2a - b = 7 Tính 72 23 73 5 + = b ab a ba P 4/ a) Cho 6a 2 - 15ab + 5b 2 = 0. Tính ba ab ba ba Q + + = 3 5 3 2 b) Cho 10a 2 + 5ab - 3b 2 = 0. Tính ba ab ba ba Q + + = 3 5 3 2 5/ Cho a > b > 0 thoã mãn 3a 2 + 3b 2 = 10ab. Tính giá trị biểu thức ba ba P + = 6/ Cho x, y thoã mãn 2x 2 + 2y 2 = 5xy. Tính yx yx E + = 7/ CHo x 2 - 2y 2 = xy. Tính giá trị của biểu thức yx yx E + = 8/ Cho 9x 2 + 4y 2 = 20xy. Tính yx yx A 23 23 + = 9/ Cho 3x - y = 3z và 2x + y = 7z. Tính giá trị của 22 2 2 yx xyx M + = 10/ Cho x + y = a + b và x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính giá trị các biểu thức sau. a/ x 3 + y 3 b/ x 4 + y 4 c/ x 5 + y 5 d/ x 6 + y 6 e/ x 7 + y 7 f/ x 8 + y 8 11/ Cho 3 1 =+ x x Tính giá trị các biểu thức sau: 5 5 4 4 3 3 2 2 x 1 d/ x x 1 c/ x x 1 b/ x x 1 x ++++ /a 12/ Cho a + b + c = 0. Tính giá trị các biểu thức sau: 222222222 111 bacacbcba A + + + + + = ) )(( 111 222222222 ac b cb a ba c b ac a cb c ba C bacacbcba B + + + + = + + = 13/ Cho ba số a, b, c khác 0 thoã mãn a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị biểu thức )1)(1)(1( a c c b b a A +++= 14/ a) Cho a, b, c khác nhau từng đôi một thoã mãn : b ac a cb c ba + = + = + Tính )1)(1)(1( c a b c a b B +++= b) Cho a, b, c khác nhau từng đôi một thoã mãn : b bac a acb c cba + = + = + Tính )1)(1)(1( c a b c a b B +++= 15/ 2 2 2 2 20 z c y b z c y b c z b y ++=++=++ 2 2 x a thức biểu trị giá Tính . x a và a x Cho 16/ Cho x 2 - 4x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức 7 7 x 1 x B và +=+= 5 5 1 x xA 17/ 22 0 11 b ca a bc cb ++==++ 2 c ab Pthức biểu trị giá Tính a 1 Cho 18/ Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời: ++= =++ =++ =++ 200020002000 zy x A Tính 012 012 012 2 2 2 xz zy yx 19/ Cho hai số x, y thoã mãn : xy + x+ y = -1 ; x 2 y + xy 2 = -12. Tính P = x 3 + y 3 20/ Cho x, y, z thoã mãn xyz = 1 ; x + y + z = zyx 111 ++ . Tính Q = (x 19 - 1)(y 5 - 1)(z 1890 - 1) 21/ =++ =++ =++ czyx 1111 2222 bzyx azyx Cho . Tính x 3 + y 3 + z 3 theo a, b, c 22/ == =++ =++ c z b y a x 1 c b a 1 c b a Cho 222 Tính R = xy + yz + zx 23/ =++ =++ =++ 1 z y x zyx 1zyx Cho 333 222 1 . Tính x 1998 + y 1999 + z 29000 24/ Cho a, b, c ®«i métkh¸c nhau vµ : 22 )()( 0 ba c ac b ba c ac b cb a − + − +== − + − + − 2 c)-(b a P TÝnh . 25/ Cho ba c ac b ba c ac b cb a + + + + + == + + + + + 22 1 cb a Q thøc biĨu trÞ gi¸ TÝnh . 2 26/ Cho 2 2 2 2 .01 c z b y z c y b c z b y a x ++==++=++ 2 2 a x Nthøc biĨu trÞ gi¸ TÝnh x a vµ 27/ Cho a, b, c tho· m·n abc = 2000. TÝnh 1200020002000 2000 ++ + ++ + ++ = cac c bbc b aab a H 28/ Cho a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh 222222222 111 bcaacbcba D −+ + −+ + −+ = 29/ Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau. TÝnh ))(())(())(( 222 acbc c abcb b caba a −− + −− + −− 30/ Tính giá trò của biểu thức: a. M = 1 1 1 650 4 4 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 − − + b. N = 1 3 546 1 4 2 . . 547 211 547 211 547.211 − − 31/ Cho biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . 32/ Tính giá trò của biểu thức: a. A = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 2 2 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . 33/ Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5: a. ( ) ( ) 2 2 2 65x x y y xy+ + − − + b. ( ) 2 2 75x y y x+ − + 34/ Tính giá trò của đa thức: ( ) ( ) 2 1 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q 35/ Tính giá trò của biểu thức: a. A = 4 3 2 17 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16. b. B = 5 4 3 2 15 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 2 10 10 10 . 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 2 8 8 8 . 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. 36/ TÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc sau. )423) .(411)(47)(43(145 143 113 111 . 19 17 . )]1([ 12 )3.2( 5 17 1 )17)(67( 7 15.8 7 )14)(34( 1 . 11.9 1 9.5 1 )12)(12( 1 . 7.5 1 5.3 1 44442 2 2 2 2 2 22 ++++ ++++ − − − − − − + + +++ + + +− +++ +− ++++ +− ++++ 4)4) .(214)(94)(5(1 k/ 1-5 1-3 h/ (1.2) 3 / d 1.8 7 c/ 1.5 1 b/ 1.3 1 a/ 4444 2 2 2 nn n nnn nnnn 37/ Cho x 2 - y 2 = 1, tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: A = 2(x 6 - y 6 ) - 3(x 4 + y 4 ) 38/ T×m x vµ y biÕt r»ng 4 11 2 2 2 2 =+++ y y x x 39/ TÝnh : 2009.2002.20072003.2010.20051995.1998.19931989.1996.1991/ 119 5 119 118 5. 117 116 1 119 1 4. 117 1 1 105 4 651.315 4 651 650 3. 105 1 651 1 . 315 1 2 −=− −−= +−−= r»ng mC B A . 5)(x+ 7) + 15 Các bài toán về chia đa thức. a) Tìm a và b và c để 1/ Đa thức x 4 + x 3 + ax 2 + 4x + b chia hết cho đa thức x 2 - 2x + 2 2/ Đa thức x 5 + 32. Đa thức x 5 + 32 chia hết cho đa thức x + a 3/ Đa thức x 4 + x 3 + 3x 2 + ax + 4 chia hết cho đa thức x 2 - x + b 4/ Đa thức ax 3 + ax + b chia hết cho