Phòng Giáo dục & Đào tạo ___________________ Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010 Môn toán 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) __________________________________ Đề thi gồm 01 trang Họ và tên thí sinh: . Chữ ký giám thị 1 Số báo danh: . Chữ ký giám thị 2 . Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức ( ) 5 2 3 2 4 3 7 12 x x x A x x x x + + = + với x 0; x 9; x 16 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số): 2 2 1 x ay ax y + = = a) Giải hệ phơng trình theo tham số a. b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x 0 , y 0 ) thoả mãn bất đẳng thức x 0 y 0 < 0. Bài 3 ( 3,5 điểm): Cho biết: 1 1 1 z x y = + ữ và x > 0; y > 0. Chứng minh rằng: x z z y x y + + + = + Bài 4 (5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. F là giao điểm của DC với đờng tròn tâm O (B và F cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AC). Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D, cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E. H là giao điểm của AF với BC, M là giao điểm của DH với AC. a) Chứng minh tứ giác AEDH là hình bình hành. b) Chứng minh tam giác BED là tam giác cân. c) Gọi N là giao điểm của DM với BF. Chứng minh BN.MF = NF.BM Bài 5 (3 điểm): Cho ABC , 2BAC = ( ) 0 0 0 90 < < ; AD là tia phân giác của BAC ( D BC ). Chứng minh rằng: a) 1 . .sin 2 ABD S AB AD = b) sin 2 . BC AB AC Chính thức ================== Hết ================= Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010 Môn toán 9 __________________________________ Bài 1 (4 điểm): a) Rút gọn biểu thức A. Với x 0; x 9; x 16 ta có: ( ) ( ) ( ) 5 2 3 2 4 3 4 3 x x x A x x x x + + = 0,5 đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 4 5 2 4 3 x x x x x x x + + = 0,5 đ ( ) ( ) 9 2 8 5 10 4 3 x x x x x x + + + = 0,5 đ ( ) ( ) 3 9 3 4 4 3 x x x x + = = 0,5 đ b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên. Với x là số nguyên và x 0; x 9; x 16 thì A có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi 4 x là ớc của 3 0,5 đ Do đó 4 x nhận các giá trị -3; -1; 1; 3 0,5 đ Khi đó x nhận các giá trị 49; 25; 9; 1 0,75 đ Vì x 9 nên a nhân các giá trị 1; 25; 49. 0,25 đ Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số): 2 2 1 x ay ax y + = = a) Giải hệ phơng trình theo tham số a. Từ pt (1) ta có x = 2 - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a 2 )y = 2a - 1 0,5 đ Vì a 2 + 2 0 với mọi a nên 2 2 1 a 2 a y = + 0,5 đ Tìm đợc 2 2 (2 1) 4 2 2 a 2 a 2 a a a x ay + = = = + + 0,5 đ Vậy với mọi giá trị của a. Hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất: 2 2 4 a 2 2 1 a 2 a x a y + = + = + 0,5 đ (1) (2) b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x 0 , y 0 ) thoả mãn bất đẳng thức x 0 y 0 < 0. Vì a 2 + 2 > 0 với mọi a, hệ phơng trình có nghiệm (x 0 , y 0 ) thoả mãn: x 0 y 0 < 0 (a + 4)(2a 1) < 0 0,5 đ 4 0 2 1 0 a a + < > (3) hoặc 4 0 2 1 0 a a + > < (4) 0,5 đ Giải (3) ta đợc 4 1 2 a a < > 0,5 đ Giải (4) ta đợc -4 < a < 1 2 0,5 đ Hệ phơng trình có nghiệm (x 0 , y 0 ) thoả mãn x 0 y 0 < 0 - 4 < a < 1 2 (5) 0,25 đ => Số nguyên lớn nhất thoả mãn (5) là a = 0 0,25 đ Bài 3 ( 3,5 điểm): Cho biết: 1 1 1 z x y = + ữ và x > 0; y > 0. Chứng minh rằng: x z z y x y + + + = + . 1 1 1 z x y = + ữ và x > 0; y > 0 => z < 0 và xy + yz + xz = 0 0,5 đ => z 2 = z 2 + xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1) 0,5 đ => (x + z)(y + z) > 0 0,25 đ Từ 1 1 1 z x y = + ữ => 1 1 1 0 y z x z y yz + = + = > ữ => 0 y z yz + < Mà yz < 0 nên y + z > 0 => x + z > 0 0,25 đ 0,25 đ Vì z < 0 nên từ (1) => ( ) ( ) x z y z z + + = 0,5 đ 2z + 2 ( ) ( ) 0x z y z + + = 0,5 đ (x + z) + (y + z) + 2 ( ) ( ) x z y z + + = x + y 0,25 đ Vì x + z và y + z là những số dơng nên ta có: ( ) ( ) 2 2 x z y z x y + + + = + 0,25 đ => x z y z x y + + + = + 0,25 đ D N M B C A y x E A N I B H M O C F D Bài 4 (5 điểm): a) Tứ giác AEDH là hình bình hành. Kéo dài DH cắt AC tại M Chỉ ra đợc ; ;EA AC DM AC AF DC (0,75 đ) Chỉ ra đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ) Suy ra tứ giác AEDH là hình bình hành. (0,25 đ) b) Tam giác BED là tam giác cân. Gọi I là trung điểm của BD. (0,25 đ) Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE = AH (0,25 đ) AD = 3AB và I là trung điểm của BD => AB = BI = ID (0,25 đ) Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE // AH => EDI HAB = (0,25 đ) Suy ra đợc EDI HAB = (0,25 đ) Suy ra DIE ABH = mà 0 90ABH = => 0 90DIE = => EI BD (0,25 đ) BED có EI vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên BED cân (0,25 đ) c) Chứng minh BN.MF = NF.BM Chứng minh DB DH DBH DMA DM DA = : DA DH DM DB = (0,5 đ) ADH và MDB có DA DH DM DB = ; Chung D => ADH MDB : (0,25 đ) => DAH DMB = (1) (0,25 đ) Tơng tự nh chứng minh trên ta có DMF DCH = (2) (0,25 đ) Mà DAH DCH = (cùng phụ với ADC ) (3) (0,25 đ) Từ (1); (2); (3) => DMF DMB = => MN là tia phân giác của góc BMF (0,25 đ) BMF có MN là đờng phân giác => . . BN BM BN MF NF BM NF MF = = (0,25 đ) Bài 5 (3 điểm): a) 1 . .sin 2 ABD S AB AD = Kẻ BM vuông góc với AD tại M AD là phân giác của BAC => BAD = DAC = 0,25 đ Chỉ ra đợc 1 . 2 ABD S BM AD = (1) 0,5 đ Chứng minh đợc BM = AB.sin (2) 0,25 đ Từ (1); (2) => 1 . .sin 2 ABD S AB AD = 0,25 đ b) sin 2 . BC AB AC Kẻ CN vuông góc với AD tại N Có đợc BM = AB.sin ; CN= AC.sin => BM + CN = (AB + AC).sin 0,5 đ Có đợc BM + CN BC 0,5 đ => (AB + AC).sin BC => sin BC AB AC + 0,25 đ Mà 2 .AB AC AB AC + 0,25 đ => 2 . BC BC AB AC AB AC + => sin 2 . BC AB AC 0,25 đ * Chú ý: 1, Trong từng câu: + Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng ứng. + Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn. . ___________________ Đề thi học sinh giỏi năm học 20 09 2010 Môn toán 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) __________________________________ Đề thi gồm. Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 20 09 2010 Môn toán 9 __________________________________ Bài 1 (4 điểm): a) Rút gọn biểu thức A. Với x 0; x 9; x 16