MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a b, + a lớn b , kí hiệu a b, 2) Một số tính chất bất đẳng thức: a) Nếu (tính chất bắc cầu) b) Nếu a>b c a+c>b+c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức khơng đổi chiều c) Nếu a>b+c a-c>b Tức là: Ta chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế sang vế phải đổi dấu số hạng d) Nếu a>b c>d a+c>b+d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a>b c a-c>b-d Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức chiều f) Nếu a>b c>0 ac>bc Nếu a>b cb>0 c>d>0 ac>bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dương ta bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều h) Nếu Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức k) Nếu a>b>0 n nguyên dương Nếu a>b n nguyên dưong Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh - Lưu ý : A2 (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với A ; dấu '' = '' xảy A = - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Cơsi hai số thực khơng âm ( cịn gọi bất đẳng thức Ơclit ) Dấu “ = “ xảy a=b Giải: Với a,b không âm Dấu “ = “ xảy a=b Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cuối bất đẳng thức hiển nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Ví dụ: Chứng minh Giải Bất đẳng thức xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên ý sử dụng phương pháp quy nạp tốn học - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Cơsi trường hợp tổng qt Với Giải: Dùng phương pháp quy nạp: + Với n = + Với n = k cần chứng minh (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cơ-sy: Với số a,b khơng âm ta có: Dấu "=" xảy a=b Chứng minh: Dấu "=" xảy a=b Dạng tổng quát bất đẳng thức Cơ-sy (Cauchy): Cho n số tự nhiên Dấu "=" xảy Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho số dương ta có: (1) (2) Nhân vế (1) (2) ta Dấu "=" xảy a=b=c Cách khác: Dấu "=" xảy a=b=c Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski Cho a, b, c số thực viết Dấu "=" xảy Tổng quát: Dấu "=" xảy Ví dụ: Cho Chứng minh rằng: Giải: Phương pháp phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vơ lý trái với giả thiết , điều trái nhược , từ suy đẳng thức cần chứng minh - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều + Phủ định suy hai điều trái ngược + Phủ định suy kết luận Ví dụ: Chứng minh khơng có số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức: Giải: Giả sử tồn số dương thỏa mãn bất đẳng thức Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: Mà theo bất đẳng thức Cơ-sy Điều mâu thuẫn với (1) nên không tồn số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức Phương pháp làm trội, làm giảm Dùng tính chất BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn Ví dụ: Với n số tự nhiên thì: Giải: Với số tự nhiên k>1 ta có: Thay k = 2,3,4 n cộng vế bất đẳng thức ta được: Phương pháp dùng miền giá trị hàm số: Để chứng minh b < f(x) < a với x ta đặt y = f(x) y - f(x) = có nghiệm b < f(x) < a Từ suy đpcm Ví dụ: Chứng minh rằng: Giải: Đặt (*) (x;y) thỏa mãn (*) phương trình: có nghiệm có nghiệm Với y= x = Với y khác Phương pháp dùng tính chất tỉ số: Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có: Nếu Nếu Nếu d > Ví dụ: Cho a,b,c > chứng minh rằng: Giải: Ta có: Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh 10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a/ b/ c/ d/ dấu = A.B >0 e/ dấu = A>B>0 A Cmr : Híng dÉn gi¶i Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ý khơng dùng bất đẳng thức Cosi khơng cho a, b không âm Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa tổng bình phương ln không âm Bài 3: Cách làm tương tự Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Bài : Biến đổi tương đương tạo thành tích số không âm Bài : Biến đổi tương đương Biến đổi tạo thành biểu thức không âm Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cosi phát xong : Bài 8: Tương tự Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử: (đã chứng minh 8) (p nửa chu vi ) Bài 10:Biến đổi lại áp dụng xong Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi lần cho số Bài 12: Cộng hai vế BĐT với BĐT cần chứng minh trở thành Áp dụng bất đẳng thức 11 xong ! Bài 13 : BĐT áp dụng 11 xong ! ... tra bất đẳng thức với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức. .. có tổng Chứng minh rằng: Chứng minh : Chứng minh : Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh: Bài 8: Cho Chứng minh: Bài 9: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:... vế bất đẳng thức với cung số dương thfbất đẳng thức không đổi chiều Nhân vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều g) Nếu a>b>0 c>d>0 ac>bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức