SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔNG HIẾU ĐỀ THI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM 2010 Môn Toán. Khối 12 Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu I ( 3,5 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -2. Câu II ( 2,5 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4 2 ( ) 8 5f x x x = − + trên [-1;3] 2. Giải phương trình 2 3 3 28.3 1 0 x x + − + = Câu III ( 1 điểm) Chứng minh rằng nếu 0 2 x π < < thì sinx tanx 1 2 2 2 x + + ≥ Câu IV ( 3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là 2a, góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. -------------------------------HẾT------------------------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Chữ ký của giám thị 1: . Chữ ký của giám thị 1: . 1 ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔNG HIẾU ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM 2010 Môn Toán. Khối 12 (Đáp án – thang điểm này gồm 4 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM THI I. HƯỚNG DẪN CHUNG 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ điểm từng phần theo quy định. 2. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm, ( lẻ 0,25 làm tròn lên 0,5; lẻ 0,75 làm tròn lên 1,0 điểm). II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu I 1. ( 2,5 ĐIỂM) a. TXĐ D=R\{-1} 0.25 b. Sự biến thiên + Chiều biến thiên: 2 1 ' 0 x D ( 1) y x = > ∀ ∈ + + Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ 0.5 + Cực trị Hàm số đã cho không có trị + Tiệm cận 2 1 lim 2 1 x x x →+∞ + = + và 2 1 lim 2 1 x x x →−∞ + = + Suy ra y=2 là tiệm cận ngang 1 2 1 lim 1 x x x + →− + = −∞ + và 1 2 1 lim 1 x x x − →− + = +∞ + Suy ra x=-1 là tiệm cận đứng 0.5 ( 3,5 điểm) + Bảng biến thiên x -∞ -1 +∞ y' + + +∞ 2 y 2 -∞ 0.75 2 ĐỀ CHÍNH THỨC c. Đồ thị Giao Ox (-1/2; 0) Giao Oy ( 0; 1) 0.25 f(x)=(2*x+1)/(x+1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0.25 2. ( 1 điểm) + Tung độ y 0 của tiếp điểm là y(-2)=3 0.25 + Hệ số góc của tiếp tuyến là y'(-2)=1 0.25 +Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=x+5 0.5 Câu II (2,5 điểm) 1. ( 1 điểm) Ta có: f'(x)=4x 3 – 16x = 4x(x 2 – 4) F'(x)=0 <=> 4x(x 2 – 4)=0 <=> x=0 hoặc x=2 ( x=-2 loại) 0.5 Ta có: f(-1)=-2; f(0)=5; f(2)=-11; f(3)=14 0.25 Vậy [-1;3] 14 ax f(x)M = và [-1;3] 11 f(x)Min = − 0.25 2. ( 1,5 điểm) Đặt t = 3 x , t>0 phương trình trở thành 27.t 2 - 28t + 1 = 0 <=> t=1 hoặc t=1/27 0.75 t=1 => 3 x =1 <=> x=0 0.25 t=1/27 => 3 x = 1/27 <=> x=-3 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x=0 hoặc x=-3 0.25 Câu III 1 điểm 3 Áp dụng BDT cô si ta có: sin tan sin tan 2 2 2. 2 x x x x+ + ≥ 0.25 Ta chứng minh: sin tan 1 sin tan 2 2. 2 2 2 2 sin tan 2 x x x x x x x x x + + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ , với 0 (1) 2 x π < < 0.25 Đặt: ( ) sin tan 2f x x x x= + − , với 0; 2 x π   ∈ ÷    Ta có: 2 1 '( ) cos 2 cos f x x= + − Vì 0 2 x π ≤ < nên cosx ≥cos 2 x. Do đó: 2 2 1 '( ) cos 2 0 cos f x x≥ + − ≥ 0.25 Suy ra: f tăng trên 0; 2 π   ÷    mà f(0) = 0 nên: f(x) > f(0) => sinx + tanx > 2x; 0; 2 x π   ∈  ÷   Vậy ta có (1) tức là đpcm. 0.25 Câu IV ( 3 điểm) Vẽ hình 0.5 1. (1.5 điểm) Gọi H là giao điểm của AC và BD Vì S.ABCD là hình chóp đều => SH ┴(ABCD)  HB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD).  · 0 60SBH = 0.5 ▲SHB vuông tại H SH = tan60 0 .HB = 6a 0.5 Diện tích đáy là S ABCD = 4a 2 (đvdt) 0.25 Vậy thể tích khối chóp là V S.ABCD = 3 4 6 3 a 0.25 2. ( 1 điểm) 4 S C B D A H I K Trong mp(SBH), đường trung trực của SB cắt SH tại I: IS=IA=IB=IC=ID=R Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I bán kính R 0.25 Ta có▲SKI ~▲SHB vì hai tam giác vuông · · ChungKSI HSB= Nên ta có . SK SI SK SI SB SH SB SH = ⇒ = 0.25 Mặt khác 2 2 2 2 6 2 2 2SB SH BH a a a= + = + = 0.25 Vậy bán kính cần tìm là 2 4 2 6 2 2. 3 6 6 a a a R a a = = = 0.25 ---------------------------HẾT-------------------------- 5 . AN TRƯỜNG THPT ĐÔNG HIẾU ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM 2010 Môn Toán. Khối 12 (Đáp án – thang điểm này gồm 4 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM THI. Áp dụng BDT cô si ta có: sin tan sin tan 2 2 2. 2 x x x x+ + ≥ 0.25 Ta chứng minh: sin tan 1 sin tan 2 2. 2 2 2 2 sin tan 2 x x x x x x x x x + + + ≥