Chuyên đề : So sánh BD HSG Toán 6 (2010 - 2011) A. Phần I. so sánh hai luỹ thừa I. Một số t/c cần l u ý: 1. Để so sánh hai luỹ thừa , ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n thì a m > b n (a > 1) - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số hơn sẽ lớn hơn. . Nếu m > n thì a m > b n (a > 1) 2. Ngoài 2 cách trên ta còn sử dụng t/c bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân. II. Bài tập 1. So sánh : a. 16 19 và 8 25 b. 27 11 và 81 8 c. 625 5 và 125 7 d. 5 36 và 11 24 e. 3 2n và 2 3n (n * N ) f. 31 11 và 17 14 k. 3 500 và 7 300 Giải a. 16 19 = (2 4 ) 19 = 2 76 8 25 = (2 3 ) 25 = 2 75 Vì 2 76 > 2 75 16 19 > 8 25 b. 11 3 11 33 33 32 11 8 8 4 8 32 27 = (3 ) = 3 3 >3 27 81 81 (3 ) = 3 vi > = c. 5 4 5 20 21 20 5 7 7 3 7 21 625 = (5 ) = 5 5 >5 625 125 125 (5 ) = 5 vi > = d. 36 3 12 12 12 12 36 24 24 2 12 12 5 = (5 ) = 125 125 >121 5 11 11 = (11 ) = 121 vi > e. 3 2 = 9; 2 3 = 8 . Vì 9 > 8 . 3 2 > 2 3 (3 2 ) n > ( 2 3 ) n hay 3 2n > 2 3n (n * N ) f. 31 11 < 17 14 ; k. 3 500 < 7 300 2. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 5 23 và 6.5 22 b) 2 16 và 7.2 13 c) 21 15 và 27 5 .49 8 d) 8 5 và 3.4 7 Giải a) 5 23 = 5.5 22 < 6.5 22 b) 2 16 = 2 3 .2 13 = 8. 2 13 > 7.2 13 c) 21 15 = (3.7) 15 = 3 15 .7 15 ; 27 5 .49 8 =(3 3 ) 5 .(7 2 ) 8 =3 15 .7 16 3 15 .7 16 > 3 15 .7 15 27 5 .49 8 > 21 15 d) 8 5 = 2 15 = 2.2 14 ; 3.4 7 = 3.2 14 3.2 14 > 2.2 14 ) 3.4 7 > 8 5 3. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 199 20 và 2003 15 b) 3 39 và 11 21 http://violet.vn/sonhienhoa1981 1 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Gi¶i a) 199 20 < 200 20 = (8.25) 20 = (2 3 .5 2 ) 20 = 2 60 .5 40 2003 15 > 2000 15 = (16.125) 15 = (2 4 .5 3 ) 15 = 2 60 .5 45 V× 2 60 .5 40 > 2 60 .5 45 nªn 2003 15 > 199 20 b) 3 39 < 3 40 = (3 4 ) 10 = 81 10 11 21 > 11 20 (11 2 ) 10 = 121 10 V× 121 10 > 81 10 nªn 11 21 > 3 39 4. So s¸nh hai hiƯu, hiƯu nµo lín h¬n : 45 44 72 72− vµ 44 43 72 72− HD 45 44 44 44 45 44 44 43 44 43 43 43 72 72 72 (72 1) 72 .71 72 72 72 72 72 72 72 (72 1) 72 .71  − = − =  ⇒ − > −  − = − =   5. Cho 2 3 9 1 2 2 2 . 2S = + + + + + .H·y so s¸nh S víi 5.2 8 Gi¶i 2 3 9 1 2 2 2 . 2S = + + + + + 2 3 9 10 2 2 2 2 . 2 2S = + + + + + 2S – S = 2 10 – 1 hay S = 2 10 – 1 < 2 10 = 2 2 .2 8 = 4. 2 8 < 5.2 8 6. So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬n ? a) 99 20 vµ 9999 10 b) 3 21 vµ 2 31 c) 202 303 vµ 303 202 d) 3 500 vµ 7 300 e) 11 1979 vµ 37 1320 f) 10 10 vµ 48.50 5 k) 1990 10 + 1990 9 vµ 1991 10 Gi¶i A. PhÇn I. so s¸nh hai ph©n sè Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng ( & a c c m a m thì b d d n b n > > > ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng. PHẦN I : CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH . I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn Ví dụ : So sánh 11 17 & 12 18 − − ? Ta viết : 11 33 17 17 34 & 12 36 18 18 36 − − − − = = = − ; 33 34 11 17 36 36 12 18 Vì − − − > ⇒ > − Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương . II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . http://violet.vn/sonhienhoa1981 2 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Ví dụ 1 : 2 2 5 4; 5 4 vì> − < − − − 3 3 7 5 7 5 vì> > Ví dụ 2: So sánh 2 5 & 5 7 ? Ta có : 2 10 5 10 & 5 25 7 24 = = ; 10 10 2 5 25 24 5 7 Vì < ⇒ < Ví dụ 3: So sánh 3 6 & 4 7 − − ? Ta có : 3 3 6 6 6 & 4 4 8 7 7 − − = = = − − − ; 6 6 3 6 8 7 4 7 Vì − − > ⇒ > − − Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương . III/CÁCH 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d > b.c thì a c b d > + Nếu a.d < b.c thì a c b d < ; + Nếu a.d = b.c thì a c b d = Ví dụ 1: 5 7 5.8 7.6 6 8 vì< < Ví dụ 2: 4 4 4.8 4.5 5 8 vì − − < − < − Ví dụ 3: So sánh 3 4 & ? 4 5− − Ta viết 3 3 4 4 & 4 4 5 5 − − = = − − ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 3 4 4 5 > − − Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương vì chẳng hạn 3 4 4 5 − < − do 3.5 < -4.(-4) là sai IV/CÁCH 4 : Dùng số hoặc phân số làm trung gian . 1/ Dùng số 1 làm trung gian: a) Nếu 1&1 a c a c b d b d > > ⇒ > b) Nếu 1; 1 a c M N b d − = − = mà M > N thì a c b d > • M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho . • Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. c) Nếu 1; 1 a c M N b d + = + = mà M > N thì a c b d < • M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vò của 2 phân số đó. • Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 19 2005 & ? 18 2004 Ta có : 19 1 2005 1 1& 1 18 18 2004 2004 − = − = ; 1 1 19 2005 18 2004 18 2004 Vì > ⇒ > Bài tập 2: So sánh 72 98 & ? 73 99 http://violet.vn/sonhienhoa1981 3 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Ta có : 72 1 98 1 1& 1 73 73 99 99 + = + = ; 1 1 72 98 73 99 73 99 Vì > ⇒ < Bài tập 3 : So sánh 7 19 & ? 9 17 Ta có 7 19 7 19 1 9 17 9 17 < < ⇒ < 2/ Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai) Ví dụ : Để so sánh 18 15 & 31 37 ta xét phân số trung gian 18 37 . Vì 18 18 18 15 18 15 & 31 37 37 37 31 37 > > ⇒ > *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ). *Tính bắc cầu : & a c c m a m thì b d d n b n > > >  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72 58 & ? 73 99 -Xét phân số trung gian là 72 99 , ta thấy 72 72 72 58 72 58 & 73 99 99 99 73 99 > > ⇒ > -Hoặc xét số trung gian là 58 73 , ta thấy 72 58 58 58 72 58 & 73 73 73 99 73 99 > > ⇒ > Bài tập 2: So sánh * 1 & ;( ) 3 2 n n n N n n + ∈ + + Dùng phân số trung gian là 2 n n + Ta có : * 1 1 & ;( ) 3 2 2 2 3 2 n n n n n n n N n n n n n n + + < < ⇒ < ∈ + + + + + + Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau: a) 12 13 & ? 49 47 e) 456 123 & ? 461 128 b) 64 73 & ? 85 81 f) 2003.2004 1 2004.2005 1 & ? 2003.2004 2004.2005 − − c) 19 17 & ? 31 35 g) 149 449 & ? 157 457 d) 67 73 & ? 77 83 h) 1999.2000 2000.2001 & ? 1999.2000 1 2000.2001 1+ + (Hướng dẫn : Từ câu a → c :Xét phân số trung gian. Từ câu d → h :Xét phần bù đến đơn vò ) 1)Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. Ví dụ : So sánh 12 19 & ? 47 77 Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là 1 4 . Ta có : 12 12 1 19 19 1 12 19 & 47 48 4 77 76 4 47 77 > = < = ⇒ >  Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : http://violet.vn/sonhienhoa1981 4 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– 11 16 58 36 12 19 18 26 ) & ; ) & ; ) & ; ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 ) & ; ) & ; ) & . 79 204 103 295 63 55 a b c d e f h V/ CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m ≠ 0 : * 1 a a a m b b b m + < ⇒ < + * 1 . a a a m b b b m + = ⇒ = + * 1 a a a m b b b m + > ⇒ > + * . a c a c b d b d + = = + Bài tập 1: So sánh 11 10 12 11 10 1 10 1 & ? 10 1 10 1 A B − + = = − + Ta có : 11 12 10 1 1 10 1 A − = < − (vì tử < mẫu) ⇒ 11 11 11 10 12 12 12 11 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 A B − − + + + = < = = = − − + + + Vậy A < B . Bài tập 2: So sánh 2004 2005 2004 2005 & ? 2005 2006 2005 2006 M N + = + = + Ta có : 2004 2004 2005 2005 2006 2005 2005 2006 2005 2006  >   +   >  +  Cộng theo vế ta có kết quả M > N. Bài tập 3: So sánh 37 3737 & 39 3939 ? Giải: 37 3700 3700 37 3737 39 3900 3900 39 3939 + = = = + (áp dụng . a c a c b d b d + = = + ) Bài tập 4: So sánh 15 16 16 17 10 1 10 1 & ? 10 1 10 1 A B + + = = + + Ta có 16 16 16 10 10 9 10 1 10 1 10 1 A + = = + + + 17 17 17 10 10 9 10 1 10 1 10 1 B + = = + + + Vì 16 17 9 9 10 10 10 1 10 1 A B> ⇒ > + + . Vậy A > B . Bài tập 5: So sánh 7 8 7 8 10 5 10 6 & ? 10 5 10 7 A B + + = = − − 7 8 13 13 1 ; 1 10 8 10 7 A B= + = + − − . Vì 7 8 13 13 10 8 10 7 A B> ⇒ > − − Bài tập 6: So sánh 1992 1993 1991 1992 10 1 10 1 & 10 1 10 1 A B + + = = + + Bài tập 7: So sánh 8 8 8 8 10 2 10 & ? 10 1 10 3 A B + = = − − Giải: 8 8 3 3 1 & 1 10 1 10 3 A B= = − − mà 8 8 3 3 10 1 10 3 A B< ⇒ < − − VI/ CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vò ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. http://violet.vn/sonhienhoa1981 5 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– +Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo Bài tập 1: Sắp xếp các phân số 134 55 77 116 ; ; ; 43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần. Giải: Đổi ra hỗn số : 5 13 1 5 3 ;2 ;4 ;3 43 21 19 37 Ta thấy: 13 5 5 1 2 3 3 4 21 43 37 19 < < < nên 55 134 116 77 21 43 37 19 < < < . Bài tập 2: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37 ; ; ; 223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần. Giải: Xét các phân số nghòch đảo: 223 98 148 183 ; ; ; 47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là : 35 13 13 35 4 ;5 ;5 ;4 47 17 27 37 Ta thấy: 13 13 35 35 5 5 4 4 17 27 37 47 > > > ⇒ 17 27 37 47 ( ) 98 148 183 223 a c b d vì b d a c < < < < ⇒ > Bài tập 3: So sánh các phân số : 3535.232323 3535 2323 ; ; 353535.2323 3534 2322 A B C= = = ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ A<B<C. Bài tập 4: So sánh ( ) 2 2 5 11.13 22.26 138 690 & ? 22.26 44.54 137 548 M N − − = = − − Hướng dẫn giải:-Rút gọn 5 1 138 1 1 & 1 . 4 4 137 137 M N M N= = + = = + ⇒ > ( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 ) Bài tập 5: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58 ; ; ; 31 51 21 41 theo thứ tự giảm dần. PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HP Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý: 7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251 ) & ; ) & ) & ) & ) & 8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261 a b c d e (Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : 10 100 100 41 410 413 = > d)Chú ý: 53 530 57 570 = Xét phần bù đến đơn vò e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: 1 1010 1010 26 26260 26261 = > ) Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: 244.395 151 423134.846267 423133 ) & 244 395.243 423133.846267 423134 a A B − − = = + + Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267=… +Kết quả A=B=1 53.71 18 54.107 53 135.269 133 ) ; ; ? 71.52 53 53.107 54 134.269 135 b M N P − − − = = = + + + (Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1) Bài tập 3: So sánh 3 3 3 33.10 3774 & 2 .5.10 7000 5217 A B= = + http://violet.vn/sonhienhoa1981 6 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Gợi ý: 7000=7.10 3 ,rút gọn 33 3774 :111 34 & 47 5217 :111 47 A B= = = Bài tập 4: So sánh 2 3 4 4 2 3 4 3 5 6 5 6 4 5 5 & 5 ? 7 7 7 7 7 7 7 7 A B= + + + + = + + + + Gợi ý: Chỉ tính 2 4 4 2 4 4 3 6 153 6 5 329 . & . 7 7 7 7 7 7 + = = + = = Từ đó kết luận dễ dàng : A < B Bài tập 5:So sánh 1919.171717 18 & 191919.1717 19 M N= = ? Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M > N ⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… Bài tập 6: So sánh 17 1717 & ? 19 1919 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng . a c a c b d b d + = = + ; chú ý : 17 1700 19 1900 = +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101…. Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N * . Hãy so sánh : 10 10 11 9 & ? m n m n A B a a a a = + = + Giải: 10 9 1 10 9 1 & m n n m n m A B a a a a a a     = + + = + +  ÷  ÷     Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1 n a & 1 m a bằng cách xét các trường hợp sau: a) Với a=1 thì a m = a n ⇒ A=B b) Với a ≠ 0: • Nếu m= n thì a m = a n ⇒ A=B • Nếu m< n thì a m < a n ⇒ 1 1 m n a a > ⇒ A < B • Nếu m > n thì a m > a n ⇒ 1 1 m n a a < ⇒ A >B Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60 . . & 1.3.5.7 59 2 2 2 2 P Q= = ? 30 30 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) . . 2 2 2 2 2 2 .(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 2.4.6 60 P Q = = = = = = Vậy P = Q Bài tập 9 : So sánh 7.9 14.27 21.36 37 & ? 21.27 42.81 63.108 333 M N + + = = + + Giải: Rút gọn 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 :37 1 & 21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9 M N + + + + = = = = + + + + Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 21 62 93 ; & 49 97 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh . Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 1 1 18 12 9 4 x y < < < ? http://violet.vn/sonhienhoa1981 7 Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 3 4 9 36 36 36 36 x y < < < ⇒ 2 < 3x < 4y < 9 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2. Bài tập 12: So sánh 7 6 5 3 1 1 3 5 ) & ; ) & 80 243 8 243 a A B b C D         = = = =  ÷  ÷  ÷  ÷         Giải: p dụng công thức: ( ) . & n n n m m n n x x x x y y   = =  ÷   7 7 7 6 6 4 28 5 30 28 30 5 5 3 3 3 15 5 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) & ; 80 81 3 3 243 3 3 3 3 3 3 243 5 5 125 ) & . 8 2 2 243 3 3 a A B Vì A B b C D           = > = = = = = > ⇒ >  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                   = = = = = =  ÷  ÷  ÷  ÷         Chọn 15 125 2 làm phân số trung gian ,so sánh 15 125 2 > 15 125 3 ⇒ C > D. Bài tập 13: Cho 1 3 5 99 2 4 6 100 . . . & . . . 2 4 6 100 3 5 7 101 M N= = a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 1 10 M < Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số a)Và 1 2 3 4 5 6 99 100 ; ; ; . 2 3 4 5 6 7 100 101 < < < < nên M < N b) Tích M.N 1 101 = c)Vì M.N 1 101 = mà M < N nên ta suy ra được : M.M < 1 101 < 1 100 tức là M.M < 1 10 . 1 10 ⇒ M < 1 10 Bài tập 14: Cho tổng : 1 1 1 . 31 32 60 S = + + + .Chứng minh: 3 4 5 5 S< < Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trò của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trò của phân số sẽ tăng lên. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 31 32 40 41 42 50 51 52 60 S       = + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ⇒ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 30 30 30 40 40 40 50 50 50 S       < + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       hay 10 10 10 30 40 50 S < + + từc là: 47 48 60 60 S < < Vậy 4 5 S < (1) Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 40 40 40 50 50 50 60 60 60 S       > + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ⇒ 10 10 10 40 50 60 S > + + tức là : 37 36 60 60 S > > Vậy 3 5 S > (2). Từ (1) và (2) suy ra :đpcm. II. CÁCH NHẬN DẠNG ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ http://violet.vn/sonhienhoa1981 8 Chuyªn ®Ò : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– 1. So sánh hai phân số có cùng tử số hoặc cùng mẫu số. Ví dụ 1: So sánh hai phân số 6 11 và 12 25 Trên cơ sở học sinh đã biết cách so sánh hai phân số cùng mẫu số ( hoặc cùng tử số) , giáo viên hướng dẫn học sinh đưa về dạng hai phân số có cùng tử số hoặc cùng mẫu số Nhận xét: - Tử số của hai phân số có quan hệ với nhau như thế nào? ( 12 = 6x2) - Vậy phân số 6 11 bằng phân số nào có tử số là 12 ( 6 11 = 12 22 ) - Ta so sánh 2 phân số nào với nhau ( 12 22 và 12 25 ) Cách giải: Ta thấy 6 11 = 12 22 Vì 12 22 > 12 25 nên 6 11 > 12 25 Ví dụ 2: So sánh hai phân số 23 25 và 61 75 Nhận xét: - Mẫu số của 2 phân số có quan hệ với nhau như thế nào? ( 75=25x3) - Phân số 23 25 bằng phân số nào có mẫu số là 75 ( 23 25 = 69 75 ) - Ta so sánh 2 phân số nào với nhau ( 69 75 và 61 75 ) Cách giải: Ta thấy 23 25 = 69 75 Vì 69 75 > 61 75 nên 23 25 > 61 75 2. So sánh với 1: Ví dụ: So sánh hai phân số 17 19 và 21 20 Trên cơ sở học sinh đã biết cách so sánh phân số với 1. Giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh như sau: Vì 17 19 < 1 và 21 20 >1 nên 17 19 < 21 20 3. So sánh phần bù: Ví dụ 3: So sánh hai phân số 5 7 và 9 11 Nhận xét: 5 7 = 1- 2 7 Mà 1- 2 7 < 1- 2 11 Để so sánh hai phân số trên ta so sánh hai hiệu với nhau. Hai hiệu có cùng số bị trừ nên ta chỉ cần so sánh số trừ, số trừ càng lớn thì hiệu càng nhỏ và ngược lại. Vì 2 7 > 2 11 nên 1- 2 7 < 1- 2 11 hay 5 7 < 9 11 Từ cách giải trên ta còn có cách giải khác. Phần bù tới 1 đơn vị của phân số 5 7 là: 1- 5 7 = 2 7 Phần bù tới 1 đơn vị của phân số 9 11 là 1- 9 11 = 2 11 http://violet.vn/sonhienhoa1981 9 Chuyªn ®Ò : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– Vì 2 7 > 2 11 nên 5 7 < 9 11 ( phần bù càng lớn thì phân số càng bé và ngược lại) Bµi 1: So s¸nh . a) 57 53 vµ 571 531 ; b) 26 25 vµ 26261 25251 Híng dÉn : a) 57 53 = 570 530 = 1 - 570 40 ; 571 531 = 1 - 571 40 b) 26 25 = 1 + 26 1 = 1 + 26260 1010 ; 26261 25251 = 1 + 26261 1010 Bµi 2: Cho a , b , m ∈ N*. H·y so s¸nh mb ma + + víi b a . Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng hîp b a =1 ; b a < 1 ; b a > 1. a) Trêng hîp : b a = 1 ⇔ a = b th× mb ma + + = b a = 1 b) Trêng hîp : b a < 1 ⇔ a < b ⇔ a + m = b + m mb ma + + = 1 - mb ab + − ; b a = 1 - b ab − c) Trêng hîp : b a > 1 ⇔ a > b ⇔ a+m > b + m ⇒ 4. So sánh phần thừa Ví dụ: So sánh hai phân số 2002 1997 và 2006 2001 Cách giải: Vì 2002 1997 = 1 + 5 1997 ; 2006 2001 = 1 + 5 2001 Để so sánh hai phân số đã cho ta so sánh hai tổng. Hai tổng có một số hạng bằng nhau, tổng nào có số hạng còn lại lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. Vì 5 1997 > 5 2001 nên 1 + 5 1997 > 1 + 5 2001 hay là 2002 1997 > 2006 2001 5. So sánh với phân số trung gian: Ví dụ: So sánh hai phân số 15 37 và 14 39 Để so sánh hai phân số trên ta phải tìm ra một phân số trung gian có tử số là tử số của phân số thứ nhất và mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai ( hoặc ngược lại) Cách giải: Chọn phân số trung gian là 15 39 Ta thấy: 15 37 > 15 39 15 39 > 14 39 nên 15 37 > 14 39 . II. CÁCH NHẬN DẠNG: 1.Nếu hai phân số a b và c d mà b - a = d - c ( hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau) thì ta so sánh phần bù. 2. Nếu hai phân số a b và c d mà a - b = c - d (hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau) thì ta so sánh phần thừa 3. Nếu hai phân số a b và c d không thuộc hai dạng trên : http://violet.vn/sonhienhoa1981 10 [...]... 34 18 17 17.3 51 = Ta có = 18 18.3 54 31 51 Ta so sánh hai phân số và bằng cách so sánh phần bù 34 54 17 113 Ví dụ 3: So sánh hai phân số với 16 108 17 Ta nhân cả tử số và mẫu số của với 5 16 17 17.5 85 = Ta có = 16 16.5 80 85 113 Ta so sánh với bằng cách so sánh phần thừa 80 108 Tìm phần bù, phần thừa tới phân số trung gian để so sánh: 11 17 Ví dụ 4: So sánh hai phân số và 52 60 1 Chọn phân số trung... để so sánh + Nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên để đưa về ba dạng trên 11 45 Ví dụ 1: So sánh hai phân số và 23 91 Ta thấy hai phân số này khơng thuộc các dạng trên Để so sánh dễ dàng ta nhân cả tử số và mẫu số 11 của phân số với 4 23 11 11.4 44 = Ta có: = 23 23.4 92 44 45 Ta so sánh hai phân số và 92 91 44 45 Chọn phân số trung gian là hoặc để so sánh 91 92 31 17 Ví dụ 2: So. .. B a a http://violet.vn/sonhienhoa1981 12 Chuyªn ®Ị : So s¸nh – BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011) 1 1 < n ⇒ A >B m a a 31 32 33 60 Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: P = & Q = 1.3.5.7 59 ? 2 2 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) P = = = 2 2 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) = = 1.3.5 59 = Q 2.4.6 60 Vậy P = Q 7.9 + 14.27 + 21.36 37 &N = ? Bài tập 9: So sánh M = 21.27 + 42.81... 123123123=123.1001001 ;… 17 1717 & ? Bài tập 6: So sánh 19 1919 a c a+c 17 1700 ; chú ý : = Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng = = b d b+d 19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… 10 10 11 9 Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* Hãy so sánh : A = m + n & B = m + n ? a a a a  10 9  1  10 9  1 Giải: A =  m + n ÷+ n & B =  m + n ÷+ m a  a a  a a a 1 1 Muốn so sánh A & B ,ta so sánh n & m bằng cách xét các trường hợp... trung gian là 4 11 13 2 1 1 − = − = 52 52 52 4 26 17 15 2 1 1 = + = + 60 60 60 4 30 11 1 1 17 11 17 Vì < và < nên < 52 4 4 60 52 60 Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý: http://violet.vn/sonhienhoa1981 11 Chuyªn ®Ị : So s¸nh – BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011) 7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251 a) & ; b) & c ) & d) & e) & 8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261 10 100 100 > (Gợi ý: a) Quy đồng tử... M=N=1,P>1) 33.103 3774 &B = Bài tập 3: So sánh A = 3 3 2 5.10 + 7000 5217 33 3774 :111 34 &B= = Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A = 47 5217 :111 47 4 3 5 6 5 6 4 5 Bài tập 4: So sánh A = + 5 + 2 + 3 + 4 & B = 4 + 5 + 2 + + 3 ? 7 7 7 7 7 7 7 7 3 6 153 6 5 329 Gợi ý: Chỉ tính 2 + 4 = = 4 & 2 + 4 = = 4 7 7 7 7 7 7 Từ đó kết luận dễ dàng : A < B 1919.171717 18 &N = ? Bài tập 5 :So sánh M = 191919.1717 19 Gợi ý:... < N nên ta suy ra được : M.M < < 101 101 100 1 1 1 ⇒ M< tức là M.M < 10 10 10 1 1 1 3 4 Bài tập 14: Cho tổng : S = + + + Chứng minh: < S < 31 32 60 5 5 http://violet.vn/sonhienhoa1981 13 Chuyªn ®Ị : So s¸nh – BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011) Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trò của phân số sẽ giảm đi Ngược... xếp các phân số theo thứ tự tăng dần ? 49 97 140 Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh 1 x y 1 < < < ? Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 18 12 9 4 2 3x 4 y 9 ⇒ 2 < 3x < 4y < 9 < < < Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 36 36 36 36 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 Nếu m > n thì am > an ⇒ • 7 6 5 3  1   1  3  5  Bài tập 12: So sánh a ) A =  ÷ & B =  ÷ ; b )C =  ÷ & D =  ÷  80   243  8...Chuyªn ®Ị : So s¸nh – BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011) Trong đó a>c và b + + + (Cã 15 ph©n sè) 30 31 44 45 45 45 Tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh Bµi 16: So s¸nh: a, ( 1 7 1 6 ) víi ( ) 80 243 b, ( Híng dÉn: 3 5 5 3 ) víi ( ) 8 243 1 7 1 1 ) > ( ) 7 = 28 80 81 3 1 6 1 ) = 30 ( 243 3 3 5 243 b, ( ) = 15 8 2 5 3 243 ( ) = 15 243 3 a,( http://violet.vn/sonhienhoa1981 14 . 21 20 3. So sánh phần bù: Ví dụ 3: So sánh hai phân số 5 7 và 9 11 Nhận xét: 5 7 = 1- 2 7 Mà 1- 2 7 < 1- 2 11 Để so sánh hai phân số trên ta so sánh. II. CÁCH NHẬN DẠNG ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ http://violet.vn/sonhienhoa1981 8 Chuyªn ®Ò : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)– 1. So sánh hai phân số có