Đang tải... (xem toàn văn)
gioi han day so boi duong hoc sinh gioi toan pho thong
WWW.VIETMATHS.COM WWW.VIETMATHS.COM Gioi han cua dãy sô ( bôi dưỡng HSG §2 GIỚI HẠN CUA DAY SO Dãy số {z„} gọi có giới hạn ⁄ „—> +œ kí hiệu L= lim u, =a, n>+o với £ >0, tồn số nguyên duong n, cho với ? > mạ, ta có :_ H„ —d|+00 b) n-»>+o0 lim (u,-v, ) = n-> +0 lim u, lim v, =ab; n-»+œ n->+œ n+ u lim u, a lim -*#=”ˆ”—= c)Néu b#0, thi FO Nếu u, Sv,, Vn y, lim n>+0 v, 5b Và tồn : a= lim n> +00 u,; b= lim n~»+œ v,,thi alim+00 w„ L+œ (Nguyên lí kẹp") Néu v,+o0 Khiđó n>+oœ lim n—>+œ u, =a 15 Chương 2.- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀII — Xét dãy số {z„} xác định sau: Chứng minh dãy {u„} có giới hạn tim lim uw, n-po Bài giải Ta có : i Hạ Hy) + =u, -M“ 3+„„ = =! +3u, +] = 3+H, (1) * với moi n=0, 1, 2, Bay gid ta ching minh rang u, > (2) chứng minh quy nạp sau : - Với n=0, „y =1; với ø =1, =— Từ dễ dàng suy (2) ø = n = Ì — Giả sử kết luận (2) đến n=k, Khi : 84 3+ > -3+2/5 +3= tite u, > 345 -3+J5 * (2) Vậy (2) với k+l n Vi u, > -3+⁄5 3+u, >0 Do u, > Theo nguyên lí quy nạp suy (2) với với moi n, nén 3+u, > HH, tức véi moi n=0, 1, 2, -3+5 (theo (2)), nén theo dinh li thuan dấu tam thức bậc hai, : d2 +3, +1>0 với n=0, 1, 2, Vậy từ (1) có u, >u„.¡ với ø, nghĩa {u,} 1a day đơn điệu giảm bị chặn l =3 Suy tồn giới hạn {z„} noo, va dat: lim w„ = x no Ti u, = © lay gidi han vé n 3.0, tacé: n-| ‘ -1 n~»œ 3+ lim u,_, # : lm w¿=——————— no x= y -1 3+x Ẳ©x3 Ì+3x+l=0 Dé y rang u, > gees ` với n, nén x= lim u, >= = Sa (3) (4) Bây từ (3), (4) đến : : lim w„ = n->o -3+v5 85 BÀI2 Day s6 {z„} xác định sau: „+œ Bài giải Ta thấy với n>2, -1