Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích
PDF by http://www.ebook.edu.vn 39Chương 3 HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC Trong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ khảo sát khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của một hàm số trong phần 1, 2 và 3. Cuối cùng, các hàm số sơ cấp cơ bản được giới thiệu và khảo sát trong phần 4. 1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Cho { }∈= +∞−∞Ua, và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a, có thể không xác đònh tại a, nghóa là f xác đònh trên một khoảng mở I, có thể không xác đònh tại a, với ()=−α+αIa ,a , α>0, khi ∈ a; ()=α+∞I,, α>0 khi =+∞a và ()=−∞−αI,, α>0 khi =−∞a. 1.1. Đònh nghóa. Ta nói hàm f có giới hạn ∈ l khi x tiến về a khi f biến mọi dãy ()nx các phần tử của I, có giới hạn a, ≠nxa, thành dãy ()()nf x hội tụ về l, ký hiệu ()→=xalim f x l hay ()→fx l khi →xa. Cho ∈a và f là hàm số xác đònh trên khoảng ()=−α1Ia,a, α>0. Ta nói f có giới hạn bên trái ∈ 1l khi x tiến về a, khi f biến mọi dãy ()nx các phần tử của 1I hội tụ về a thành dãy ()()nf x hội tụ về 1l, ký hiệu −→=1xalim l. Khi hàm số f xác đònh trên khoảng ()=+α2Ia,a , α>0, ta có đònh nghóa tương tự cho giới hạn bên phải 2l của f tại a, ký hiệu +→=2xalim f(x) l . Chú ý rằng, để khảo sát giới hạn bên trái cũng như bên phải của f tại a, ta lần lượt thay điều kiện ≠nxa trong đònh nghóa cho giới hạn của f tại a bằng điều kiện <nxa, >nxa. Ví dụ 1. i) →=xalim x a; →+∞=+∞xlim x; →−∞=−∞xlim x. ii) →=11xaxalim khi ≠a0; +→=+∞1xx0lim; −→=−∞1xx0lim; →+∞=1xxlim 0; →−∞=1xxlim 0. iii) Cho hàm số ()=xxfx với miền xác đònh { }∗=\0. Ta chứng minh rằng ()→x0lim f x không tồn tại. Thật vậy, xét dãy ()nx, với ()−=n1nnx, ∗∈ n. PDF by http://www.ebook.edu.vn 40Ta có ()∗⊂ nx, →∞=nnlim x 0 nhưng () ()→∞ →∞ →∞==−nnxnnxnnnlim f x lim lim 1 không tồn tại. Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách xét các dãy số ()nx và ()ny, với =−1nnx, =1nny, ∗∈n. Ta có ()nx, ()∗⊂ny, →∞ →∞==nnnnlim x lim y 0 nhưng ()→∞ →∞==−nnxnxnnlim f x lim 1 và ()→∞ →∞==nnynynnlim f y lim 1. Bằng cách dùng tính chất của giới hạn dãy số, ta được 1.2. Mệnh đề. Cho f và g là hai hàm số xác đònh trên một lân cận I của a, có thể không xác đònh tại a. Nếu →=xalim f (x) l và →=xalim g(x) k thì i) ()→+=+xalim f g (x) l k, ii) ∀λ ∈ , →λ=λxalim f (x) l, iii) →=xalim f (x) l, iv) ()→⋅=⋅xalim f g (x) l k, v) →→==111ff(x)lxa xalim (x) lim với điều kiện ≠l0, vi) Nếu ∀∈xI, ≤f(x) g(x) thì ≤lk, vii) Nếu →→==xa xalim f (x) lim g(x) l và ≤≤f(x) h(x) g(x), ∀∈xI, thì →=xalim h(x) l, với điều kiện là vế phải không xuất hiện dạng vô đònh, nghóa là không xuất hiện dạng ∞−∞ trong i) và dạng ⋅∞0 trong iv). Chú ý rằng nếu ()→=xalim f x l và ()→=xalim g x k với ∈l, k , thì ()()→=fxlkgxxalim nếu không xuất hiện dạng vô đònh 00 và ∞∞. Ta cũng nhận được kết quả tương tự cho giới hạn bên trái và giới hạn bên phải. 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho ∈a và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a. 2.1. Đònh nghóa. Ta nói f liên tục tại a khi →=xalim f (x) f(a). PDF by http://www.ebook.edu.vn 41Điều này bao hàm : − f xác đònh tại a; − giới hạn của f khi x tiến về a tồn tại; − giới hạn của f khi x tiến về a bằng với giá trò của hàm số f tại a. Ví dụ 2. Từ ví dụ 1, i), ta có hàm số ()=f x x liên tục tại mọi ∈a. Hơn nữa, bằng cách dùng mệnh đề 1.2, iv), ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng →=nnxalim x a , với mọi ∈ n. Do đó, hàm số ()=nfx x cũng liên tục tại mọi ∈ a. 2.2. Đònh nghóa. Cho f là một hàm số xác đònh trên (⎤−α⎦a,a, α>0. Ta nói f liên tục bên trái tại a khi −→=xalim f (x) f(a) . Tương tự, với hàm số f xác đònh trên )⎡+α⎣a,a , α>0, ta nói f liên tục bên phải tại a khi +→=xalim f(x) f(a). f liên tục bên trái tại a f liên tục bên phải tại a f không liên tục bên trái lẫn bên phải tại a Ví dụ 3. Hàm số ()⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xxkhi x 0fx1khix0 liên tục bên phải tại 0, hàm số ()⎧≠⎪=⎨⎪−=⎩xxkhi x 0gx1khix 0 liên tục bên trái tại 0 nhưng hàm số PDF by http://www.ebook.edu.vn 42()⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xxkhi x 0hx0khix0 không liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại 0. ª 2.3. Mệnh đề. f liên tục tại a nếu và chỉ nếu f liên tục bên trái tại a và f liên tục bên phải tại a. Kết hợp mệnh đề 1.2 và đònh nghóa 2.1, ta được 2.4. Mệnh đề. Cho ∈a và f, g là hai hàm số xác đònh trên một lân cận của a. Nếu f và g cùng liên tục tại a thì a) +fg liên tục tại a; b) ∀λ ∈, λf liên tục tại a; c) ⋅fg liên tục tại a; d) 1f liên tục tại a, với điều kiện ()≠fa 0. Nếu ()≠ga 0 thì bằng cách kết hợp (c) và (d), ta suy ra rằng hàm số fg liên tục tại a. Ví dụ 4. Từ ví dụ 2, ta suy ra hàm số ()=nfx x liên tục tại mọi điểm ∈a, với mọi ∈n. Do đó, mệnh đề 2.4 cho thấy mọi đa thức ()−−=+ +++nn1nn1 10Px ax a x . ax a, với −∈01 n1na ,a , .,a ,a, cũng liên tục tại mọi điểm ∈a. ª 2.5. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của . Ta nói rằng f liên tục trên J khi f liên tục tại mọi điểm của J. Nói khác đi, f liên tục trên ()a,b khi ()∀∈0xa,b, () ( )→=00xxlimfx fx . Ta nói hàm số f liên tục trên đoạn ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b khi f liên tục trên ()a, b , liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. Tương tự, ta nói hàm số f liên tục trên )⎡+∞⎣a, khi f liên tục trên ()+∞a, và liên tục bên phải tại a. Sự liên tục của f trên (⎤−∞⎦, b được đònh nghóa tương tự. Ví dụ 5. i) Hàm số ()⎧>⎪=⎨⎪=⎩xxkhi x 0fx1khix0 PDF by http://www.ebook.edu.vn 43liên tục trên )⎡+∞⎣0, . ii) Mọi đa thức đều liên tục trên .2.6. Đònh lý giá trò trung gian. Nếu f liên tục trên khoảng đóng và bò chận ⎡⎤⎣⎦a, b thì với mọi d giữa ()fa và ()fb, tồn tại ⎡ ⎤∈⎣ ⎦ca,b sao cho ()=fc d. Đònh lý này cho thấy rằng mọi điểm d nằm giữa ()f a và ()f b đều là ảnh của ít nhất một điểm c trong khoảng ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b . Điểm c này không nhất thiết duy nhất như trường hợp hàm f có đồ thò cho bởi hình sau : tồn tại ⎡⎤∈⎣⎦123c ,c ,c a, b sao cho () () ()===123fc fc fc d. Trường hợp hàm f không liên tục trên ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b , chẳng hạn như hàm số f xác đònh bởi đồ thò trong hình sau điểm () ()⎡⎤∈⎣⎦d f a ,f b không là ảnh của bất cứ điểm c nào trong khoảng ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b . 2.7. Đònh lý tối ưu của Weierstrass. Nếu hàm số f liên tục trên khoảng đóng và bò chận ⎡⎤⎣⎦a, b thì f đạt giá trò lớn nhất M và giá trò nhỏ nhất m trên ⎡⎤⎣⎦a, b, nghóa là : tồn tại ∗⎡ ⎤∈⎣ ⎦xa,b sao cho với mọi ⎡ ⎤∈⎣ ⎦xa,b, ()()∗≤=fx fx M và tồn tại ∗⎡ ⎤∈⎣ ⎦xa,b sao cho với mọi ⎡ ⎤∈⎣ ⎦xa,b, () ( )∗≥=fx fx m. Hai đònh lý trên có thể phát biễu chung lại thành một đònh lý như sau : PDF by http://www.ebook.edu.vn 442.8. Đònh lý. Nếu f liên tục trên khoảng đóng và bò chận ⎡⎤⎣⎦a, b thì tồn tại m và M trong sao cho ()⎡⎤⎡ ⎤=⎣⎦⎣ ⎦fa,b m,M. 2.9. Mệnh đề . Cho I là một khoảng trong . Nếu → f:I liên tục, đơn điệu ngặt trên I thì a) ()=fI J là một khoảng trong , đóng và bò chận khi I đóng và bò chận. b) f là một song ánh từ I lên J. c) ánh xạ ngược của f, ký hiệu −→1f:J I, xác đònh bởi ()−=1fyx nếu và chỉ nếu ()=yfx, cũng liên tục, đơn điệu ngặt trên J (cùng bản chất như của f). d) đồ thò của f và −1f đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất. Ví dụ 6. i) Hàm số ()=nfx x liên tục và tăng ngặt trên )+⎡=+∞⎣0,, ()++=f . Do vậy, hàm ngược của nó, ()−=n1fx x, cũng liên tục và tăng ngặt trên + . Xét một ứng dụng của hàm số liên tục trong việc khảo sát dãy xác đònh bằng hệ thức đệ quy cấp 1, ()+=n1 nufu, 1u cho trước, trong đó →f:I I là một hàm số liên tục và I là một khoảng trong . Chẳng hạn, dãy ()+=+ =n1 n nu1ufu, >1u0 cho trước, trong đó ()=+f x 1 x là hàm liên tục đi từ ()+∞0, vào ()+∞0, và dãy PDF by http://www.ebook.edu.vn 45()+==+nn1 nnuufuu3, >1u0 cho trước, trong đó ()+=xx3fx là hàm liên tục từ ()+∞0, vào ()+∞0, . Chú ý rằng khi f là hàm tăng thì ()nu là dãy đơn điệu. Cụ thể, bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng Nếu ≤12uu thì +≤nn1uu, với mọi ∈ n. Nếu ≥12uu thì +≥nn1uu, với mọi ∈ n. Tuy nhiên, nếu f là hàm giảm thì ()nu không là dãy đơn điệu (ta chỉ có ()2nu và ()+2n 1u là hai dãy đơn điệu, một tăng, một giảm). Hơn nữa, nếu →f:I I tăng và I bò chận thì ()nu đơn điệu và bò chận nên hội tụ. Khi đó, gọi a là giới hạn của dãy ()nu, ta có () ()+→∞ →∞== =n1 nnna lim u lim f u f a , khi f là hàm liên tục. Như vậy, giới hạn a thỏa phương trình ()=fx x mà ta có thể giải để tìm ra giá trò của a. Ví dụ 7. Hàm ()=+f x 1 x là hàm tăng nên dãy số ()+==+n1 n nufu1u, =1u1 tăng do =≤=121u u 2. Hơn nữa, ta có ()⎡⎤ ⎡⎤⊂⎣⎦ ⎣⎦f 0,2 0,2 và ⎡⎤∈⎣⎦1u 0,2 nên bằng phép chứng minh quy nạp, ta chứng minh được rằng ()⎡⎤⊂⎣⎦nu0,2. Dãy ()nu đơn điệu và bò chận nên hội tụ với giới hạn a thỏa phương trình =+x 1 x do hàm f là hàm liên tục. PDF by http://www.ebook.edu.vn 463. ĐẠO HÀM Cho ∈a và f là hàm số xác đònh trên một lân cận của a, nghóa là tồn tại α>0 sao cho f xác đònh trên khoảng ()=−α+αIa ,a . 3.1. Đònh nghóa. Ta nói f có đạo hàm tại a khi () ()−−→fx faxaxalim tồn tại. Khi đó, giá trò của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu ()′fa. Như vậy, khi f có đạo hàm tại a, ta có ()() ()−−→′=fx faxaxaf a lim , hay ()()()+−→′=fa h fahh0fa lim . Ví dụ 8. i) Xét hàm số ()=f x x . Tại mỗi điểm ∈ a, ta có () ()−−=fx faxa1, ∀∈x, ≠x a . Do đó, () ()()−−→′==fx faxaxalim 1 f a . ii) Xét hàm số ()=2fx x. Tại mỗi điểm ∈ a, ta có () ()−−=+fx faxaxa, ∀∈x, ≠x a . Do đó, () ()()−−→′==fx faxaxalim 2a f a . Biểu diễn hình học : Gọi Γ là đồ thò của hàm số f. Phương trình đường thẳng ()D đi qua hai điểm ()()A a,f a và ()()++M a h,f a h cho bởi ()()()()+−=−+fa h fayxafah. Khi “điểm M tiến về điểm A” trên Γ, đường ()D quay về đường thẳng ()T gọi là tiếp tuyến với Γ tại điểm A và do đó có phương trình ()()()()→⎛⎞+−⎜⎟=−+⎜⎟⎝⎠h0fa h faylim xafah, nghóa là ()( ) ()′=−+yfaxa fa. PDF by http://www.ebook.edu.vn 47Như vậy, đạo hàm của f tại a có thể biểu diễn như là độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với Γ tại điểm A.Trong kinh tế học, giá trò ()′f a được gọi là giá trò lề (giá trò biên, biên tế) của f tại a. Chẳng hạn, nếu ()Cq chỉ chi phí để sản xuất q sản phẩm thì khi đó ()′C q được gọi là chi phí lề ứng với mức sản lượng q. Các nhà kinh tế học ứng dụng xấp xỉ giá trò này với thương số ()()+−Cq 1 Cq1 khi q đủ lớn và khi đó chi phí lề chính là chi phí phát sinh khi sản xuất thêm một đơn vò sản phẩm.3.2. Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại a khi tồn tại số thực b và một hàm số ε xác đònh trên một lân cận của 0 sao cho với mọi h và +ah trong lân cận của a ()() ()+= + +εfa h fa bh h với ()→ε=h0lim h 0 . 3.3. Mệnh đề. f có đạo hàm tại a nếu và chỉ nếu f khả vi tại a. Chứng minh. Khi f có đạo hàm tại a, nghóa là ()()()→+−′=h0fa h falim f ah, thì bằng cách đặt ()()()()⎛⎞+−⎜′⎟ε= −⎜⎟⎝⎠fa h fahhfahh, ta được ()()()()+−′ε= − →fa h fahfa0h khi →h0 và ()()() ()′+= + +εfa h fa f ah h h nên f khả vi tại a. Ngược lại, khi f khả vi tại a, tồn tại ∈b sao cho với mọi h và +ah trong lân cận của a ()() ()+= + +εf a h f a bh h h với ()→ε=h0lim h 0 . Từ đó suy ra ()()()+−=+ εfa h fa hbhhh. Vì () ()ε=ε→hhhh0 khi →h0, ta được PDF by http://www.ebook.edu.vn 48()()→+−=h0fa h falim bh, nên f có đạo hàm tại a. ª Chú ý : Kết quả này không còn đúng đối với hàm nhiều biến (xem chương 6). 3.4. Đònh nghóa. Cho f là hàm số xác đònh trên khoảng dạng (⎤−α⎦a ,a , với α>0. Ta nói f có đạo hàm bên trái tại a khi () ()−→−−xafx falimxa tồn tại. Bấy giờ, giá trò của giới hạn được gọi là đạo hàm bên trái của f tại a, ký hiệu ()−′fa. Tương tự cho trường hợp f xác đònh trên )⎡+α⎣a,a , với α>0, ta nói f có đạo hàm bên phải tại a khi () ()+−−→fx faxaxalim tồn tại và giới hạn này được ký hiệu là ()+′fa. 3.5. Mệnh đề. f có đạo hàm tại a nếu và chỉ nếu f có đạo hàm bên trái tại a, f có đạo hàm bên phải tại a và () ()−+′′=fa fa. 3.6. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của . Ta nói f có đạo hàm trên J khi f có đạo hàm tại mọi điểm của J. Ta nói f có đạo hàm trên ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b khi f có đạo hàm trên ()a, b , có đạo hàm bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b. Ta cũng có các đònh nghóa tương tự cho trường hợp f xác đònh trên )⎡+∞⎣a, và (⎤−∞⎦,b . 3.7. Đònh nghóa. Khi f có đạo hàm trên khoảng mở J, ta đònh nghóa hàm đạo hàm ′f của f bởi ()′→′af:Jxfx “Hàm đạo hàm” của f còn được gọi vắn tắt là “đạo hàm” của f. Ta nói hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng mở J khi f có đạo hàm trên J và ′f liên tục trên J. Cho f là hàm có đạo hàm trên một khoảng mở J. Khi ′f có đạo hàm trên J, hàm đạo hàm của nó được gọi là “hàm đạo hàm bậc hai”, hay vắn tắt là “đạo hàm bậc hai” của f trên J , ký hiệu ′′f. [...]... Đònh lý (công thức Taylor-Young) Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên một lân cận của a thì với mọi h sao cho a + h nằm trong lân cận của a , ta có f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + + h n f (n) (a ) n! + hn ε ( h ) , với lim ε ( h ) = 0 h →0 Chứng minh Dùng công thức Taylor-Lagrange với b = a + h và đặt ε (h) = f ( n ) ( a + θh ) − f ( n ) ( a ) n! ta được công thức Taylor-Young do lim ε ( h ) =... giới hạn n∈ n →+∞ n ( n) = e x iii) Chứng tỏ lim (1 + r ) = er , với r > 0 , x x →+∞ tại vô cực, ta được lim 1 + 1 n →+∞ ( Do x →+∞ ⎛ lim ⎜ 1 + r x x →+∞ ⎜ ⎝ ( r r x ⎞ y⎞ ⎛ ⎛ r r ⎟ = ⎜ ⎛1 + 1 ⎞ ⎟ = f y r = ⎜ 1+ ( ) ⎜ ⎟ x ⎟ y⎠ ⎟ ⎜ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ lim f ( y ) = e và hàm mũ là hàm liên tục tại e, ta suy ra ) x r 1+ r x ) x ( ) ( ) r ⎞ ⎟ = er ⎟ ⎠ 5.5 Đònh lý (công thức Taylor-Lagrange cho hàm có đạo hàm cấp... được đẳng thức cần chứng minh ª Bằng cách đặt h = b − a , công thức Taylor trở thành : tồn tại θ ∈ ( 0,1) sao cho f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + h2 f ′′ ( a + θh ) 2! 5.6 Đònh lý (công thức Taylor-Lagrange) Nếu f là hàm có đạo hàm đến cấp n + 1 trên J và nếu a và b là hai điểm phân biệt của J thì tồn tại c giữa a và b sao cho f ( b ) = f ( a ) + ( b − a ) f ′ ( a ) + + ( b − a ) + (b − a) n +1... hàm lôgarít, y = log a x , với 0 < a ≠ 1 ; Hàm lượng giác, y = sin x , y = cos x , y = tan x , và hàm lượng giác ngược, y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x ; thông qua các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hợp nối các hàm số Do đó, để khảo sát các hàm số sơ cấp, ta lần lượt khảo sát ba cặp hàm sơ cấp cơ bản nêu trên 4.1 Hàm y = f ( x ) = xn và y = f −1 ( x ) = n x ≡ x1/ n , với n ∈ a) Hàm... 1 Chú ý rằng giá trò cực đại này đạt được ⎣ ⎦ tại điểm biên của khoảng xác đònh Chú ý rằng đònh lý tối ưu khẳng đònh sự tồn tại ít nhất một nghiệm của các bài toán ( Pm ) và ( Pm ) nhưng không chỉ ra giải thuật để tìm các nghiệm này Vì vậy, người ta cần thêm khái niệm về cực trò đòa phương như sau 6.2 Đònh nghóa Ta nói hàm f đạt cực đại (cực tiểu) đòa phương trên J tại a ∈ J khi tồn tại η > 0 sao cho... Mệnh đề (điều kiện cần với đạo hàm cấp 1) Cho f là hàm xác đònh trên khoảng mở I và a ∈ I Nếu f có đạo hàm tại a và đạt cực trò đòa phương trên I tại a thì f ′ ( a ) = 0 Chứng minh Dùng công thức Taylor-Young tới cấp 1, với mọi h sao cho a + h ∈ I , ta có f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hε ( h ) , 67 PDF by http://www.ebook.edu.vn với lim ε ( h ) = 0 h →0 Dùng phản chứng, giả sử rằng f ′ ( a )... có đạo hàm đến cấp hai trên một lân cận của a và đạt cực đại (cực tiểu) đòa phương trên I tại a thì f ′′ ( a ) ≤ 0 ( f ′′ ( a ) ≥ 0 ) PDF by http://www.ebook.edu.vn 68 Chứng minh Dùng công thức Taylor-Young tới cấp 2, f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + h2 f ′′ ( a ) 2! + h 2ε ( h ) , với lim ε ( h ) = 0 h →0 Do f đạt cực đại đòa phương tại a, mệnh đề 5.3 cho f ′ ( a ) = 0 và tồn tại η > 0 sao cho... trên một lân cận của a , f ′ ( a ) = 0 và f ′′ ( a ) < 0 ( f ′′ ( a ) > 0 ), thì f đạt cực đại (cực tiểu) ngặt đòa phương trên I tại a 69 PDF by http://www.ebook.edu.vn Chứng minh Dùng công thức Taylor-Young cho hàm số f, ⎛ f ′′( a ) ⎞ f ( a + h ) − f ( a ) = h2 ⎜ + ε (h) ⎟ , ⎝ 2! ⎠ với lim ε ( h ) = 0 h →0 Do f ′′( a ) 2! f ′′( a ) 2! ≠ 0 và lim ε ( h ) = 0 , tồn tại η > 0 sao cho với mọi h ∈ ( −η,... 1 + x xác đònh trên khoảng ( 0, +∞ ) a) Tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) và f ( 3) ( x ) b) Kiểm chứng đẳng thức 1+ x =1+ với lim ε ( x ) = 0 x x2 x3 − + + x3ε ( x ) , 2 8 16 x →0 7 Dùng công thức Taylor-Young, chứng tỏ a) ln (1 + x ) = x − n +1 x n x2 x3 + + + ( −1) + xn ε ( x ) , 2 3 n b) sin x = x − n x2n +1 x 3 x5 + + + ( −1) + x2n +1ε ( x ) , 3! 5! ( 2n + 1) ! c) cos x = 1 − n x2n x2 x4 + + + . PDF by http://www.ebook.edu.vn 3 9Chương 3 HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC Trong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của. →=11xaxalim khi ≠a0; +→=+∞1xx0lim; −→=−∞1xx0lim; →+∞=1xxlim 0; →−∞=1xxlim 0. iii) Cho hàm số ()=xxfx với miền xác đònh { }∗=. Ta chứng minh rằng ()→x0lim