 NHỮNG CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ- CẤP SỐ - GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN GV:nguyÔn ®øc tuyªn---THPT nguyÔn bÝnh DÃY SỐ: 1/Dãy số ( n u ) :TĂNG Nếu n n 1 u u + < hay * n 1 n u u 0, n N + − > ∀ ∈ . Hoặc * n 1 n n u 1,u 0, n N u + > > ∀ ∈ . 2/Dãy số ( n u ) :GIẢM Nếu n n 1 u u + > hay * n 1 n u u 0, n N + − < ∀ ∈ . Hoặc * n 1 n n u 1,u 0, n N u + < > ∀ ∈ . 3/Dãy số ( n u ) :BỊ CHẶN TRÊN Nếu * n M : n N ,u M∃ ∀ ∈ ≤ . 4/Dãy số ( n u ) :BỊ CHẶN DƯỚI Nếu * n m : n N ,u m∃ ∀ ∈ ≥ . 5/Dãy số ( n u ) :BỊ CHẶN Nếu * n M,m : n N ,m u M∃ ∀ ∈ ≤ ≤ . CẤP SỐ CỘNG: 1/( n u ) :Cấp số cộng * n 1 n u u d, n N + ⇔ = + ∀ ∈ . 2/Số hạng tổng quát : n 1 u u (n 1)d= + − 3/Tổng n số hạng đầu tiên : [ ] 1 1 n n n 2u (n 1)d n(u u ) S 2 2 + − + = = 4/Tính chất : a,b,c :Cấp số cộng a c b 2 + ⇔ = . Tổng quát : k 1 k 1 k u u u ,k 2 2 − + + = ≥ . CẤP SỐ NHÂN: 1/( n u ) : Cấp số nhân * n 1 n u u q, n N + ⇔ = ∀ ∈ . 2/Số hạng tổng quát : n 1 n 1 u u q , n 2 − = ∀ ≥ . 3/Tổng n số hạng đầu tiên : n 1 n u (1 q ) S ,q 1 1 q − = ≠ − 4/Tính chất : a,b,c :Cấp số nhân: 2 b ac⇔ = . Tổng quát: 2 k k 1 k 1 u u .u ,k 2 − + = ≥ . GIỚI HẠN DÃY SỐ: 1/ * k n n 1 0 ; 0,k N n 1 lim lim n →+∞ →+∞ = = ∈ 2/ n n q 0 , q 1 lim →+∞ = < 3/ * 3 n n 1 0 ; 0,k N n 1 lim lim n →+∞ →+∞ = = ∈ . 4/Cho n n (u ),(v ) : n n n n u v , n lim v 0 lim u 0≤ ∀ ∧ = ⇒ = . 5/Nếu : n limu L= Thì : a/ 3 3 n n lim u L lim u L= ∧ = . b/ Nếu : n n u 0, n L 0 lim u L≥ ∀ ⇒ ≥ ∧ = . 6/Nếu n limu a= , n lim v b= Thì :  n n lim(u v ) a b± = ±  n n limu .v a.b=  n n u a lim (b 0) v b = ≠  n limkv kb= 7/Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn : 1 u S , ( q 1) 1 q = < − 8/ n n 1 lim u lim 0 u = +∞ ⇒ = . 9/ n n n n u limu a limv lim 0 v = ∧ = ±∞ ⇒ = 10/lim k * n ,n N= ∞ ∈ 11/ n limq ,q 1= +∞ > 12/ n n n n n u limu a 0,lim v 0 v 0, n lim v = > = ∧ > ∀ ⇒ = +∞ 13/ n n n. n limu lim v a 0 lim u v= +∞ ∧ = > ⇒ = +∞ GIỚI HẠN HÀM SỐ: 1/ 0 0 x x limx x → = ; 0 x x limC C → = 2/ k x limx →+∞ = +∞ 3/ [ ] 0 x x cL lim cf (x) → = 4/ { k x - ,k 2n ,k 2n 1 limx → ∞ +∞ = = −∞ = + 5/ * k k x x 1 1 0 ; 0,k N x x lim lim →+∞ →−∞ = = ∈ 6/Nếu 0 0 x x x x L M (L,M R) limf (x) limg(x) → → = ∧ = ∈ Thì :  [ ] 0 x x L M lim f (x) g(x) → = ± ±  0 x x L ,(M 0) M f(x) lim g(x) → = ≠  [ ] 0 x x L.M lim f (x).g(x) → =  0 k k 0 x x ax limax → =  0 0 x x x x f (x) 0 L L 0 L limf (x) lim f (x) → → ≥ ∧ = ⇒ ≥ ∧ = 7/Nếu 0 x x L limf (x) → = Thì :  0 x x L lim f (x) → =  0 3 3 x x L lim f (x) → = 8/ * k x ,k N limx →+∞ = +∞ ∈ 9/ k x ,k 2n limx →+∞ = +∞ = 10/ 0 0 0 x x x x x x L L limf (x) limf (x) limf (x) − + → → → = ⇔ = = . 11/Nếu 0 x x lim f(x) → = +∞ Thì 0 x x 1 0 f (x) lim → = 12/Các dạng vô định : 0 ; ; 0. ; 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ 13/MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC :  Nếu 0 0 x x x x 0 1 f(x) lim lim f(x) → → = +∞ ⇒ = . Quy tắc 1: Nếu [ ] 0 0 0 x x x x x x vµ L 0 f (x).g(x) : limg(x) limf(x) lim → → → = ±∞ = ≠ ⇒ 0 x x limf (x) → Dấu của L [ ] 0 x x f (x).g(x) lim → +∞ +∞ −∞ −∞ + - + - +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Nếu 0 0 x x x x L 0, 0 g(x) 0 limf (x) limg(x) → → = ≠ = ∧ > Hoặc g(x) 0< . Dấu của L Dấu của g(x) 0 x x f (x) g(x) lim → + + - - + - + - +∞ −∞ −∞ +∞ HÀM SỐ LIÊN TỤC: Hàm số f(x) liên tục tại x 0 nếu 0 0 x x f (x ) limf(x) → = . Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ] a;b và f (a).f (b) 0< thì ( ) c a;b :f (c) 0∃ ∈ = . Nếu : x a x a x a g(x) f (x) h(x) L limg(x) limh(x) limf(x)=L → → → ≤ ≤ ∧ = = ⇒ .  0 0 0 0 x x x x f (x ):liªn tôc bªn ph¶i f (x ):liªn tôc bªn tr¸i l imf(x) l imf(x) + − → → = • = f(x) liên tục trên đoạn [ ] 0 0 0 x x 0 x x f (x) f (x ) a;b f (x) f (x ) f (x)liªn tôc trªn (a;b) lim lim + − → → =    ⇔ =     ĐẠO HÀM: 0 0 0 0 0 x x x 0 x 0 0 f (x) f (x ) f (x x) f (x ) y f '(x ) x x x x lim lim lim → ∆ → ∆ → − + ∆ − ∆ = = = − ∆ ∆ Quy tắc tính đạo hàm: Tính 0 0 y f (x x) f (x )∆ = + ∆ − Tìm : 0 x 0 y f '(x ) x lim ∆ → ∆ ⇒ ∆ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại 0 0 0 M (x ;f (x )) (C)∈ là: 0 0 0 y f '(x )(x x ) f (x )= − + . Vận tốc tức thời: 0 0 0 0 t 0 s(t t) s(t ) v(t ) s'(t ) t lim ∆ → + ∆ − = = ∆ VI PHÂN :  0 0 df (x ) f '(x ). x= ∆  df (x) f '(x).dx hay dy y'dx= =  0 0 f (x x) f(x) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆ BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM  ' dcx bax       + + = 2 )dcx( bcad + −  0x 1 x xsin lim → =  0x e)x1lim( x 1 → =+  0x 1 x lim )x1ln( → = +  0x 1 x 1e lim x → = −  ∞→ =+ x e) x 1 1lim( x  BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM THƯỜNG DÙNG  1dx x C= + ∫  1du u C= + ∫  1 x x dx C ( 1) 1 α+ α = + α ≠ − α + ∫  1 u u du C ( 1) 1 α+ α = + α ≠ − α + ∫ (u +v+t)' = u' + v' + t' (uv)' = u'v+v'u (u-v-t)' = u' - v' - t' (uvt)' = u'vt +uv't +uvt'  ' v u       = 2 v u'vv'u − ,(v 0 ≠ )  (Cv)' = Cv' (C : hằng số )  ( ) ' x α = 1 x. −α α  ' x 1       = 2 x 1 − , (x 0 ≠ )  ( ) ' x = x2 1 , (x > 0)  (u )' α = 1 u −α α .u'  ' u 1       = 2 u 'u − , (u 0 ≠ )  ( ) ' u = 'u. u2 1 , (u > 0) (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (tan x)' = 2 2 1 1 tan x cos x = + , (cos x 0≠ ) (cotx) ' = - )xgcot1( xsin 1 2 2 +−= (sin x 0≠ ) (sin u)' = u'.cos u (cos u)' = -u'.sin u (tan u)' = 2 2 u ' u '(1 tan u) cos u = + ,(cos u 0≠ ) (cot u)' = 2 2 u ' u'(1 cot u) sin u − = − + ,(sin u 0 ≠ ) (e x )' = e x (a x )' =a x lna , (o < a 1 ≠ ) (e u )' = u' .e u (a u )' = a u u'lna (ln x )' = x 1 , (x 0 ≠ ) (ln x)' = x 1 , (x > 0) ( xlog a )' = aln.x 1 , (x > 0, 0 < a 1 ≠ ) ( xlog a )' = aln.x 1 , (x 0 ≠ , 0 < a 1 ≠ ) (ln u )' = u 'u , (u 0 ≠ ) (ln u)' = u 'u , (u > 0) ( ulog a )' = 'u. aln.u 1 , (u > 0, 0<a 1 ≠ ) ( ulog a )' = 'u. aln.u 1 , (u 0 ≠ ,0<a 1 ≠ ) Đạo hàm cấp cao : ( ) ( ) )]'x(f[)x(f 1nn − = , (n N,n 2)∈ ≥ x u x y' y' .u'• = :Đạo hàm hàm số hợp Vi phân: dy =y'dx u = u(x) ; v = v(x)  n giai thừa : n! =1.2.3 .n=(n-1)!n  1 dx ln x C (x 0) x = + ≠ ∫  1 du ln u C (u 0) u = + ≠ ∫  x x e dx e C= + ∫  u u e du e C= + ∫  x x a a dx C (0 a 1) lna = + < ≠ ∫  u u a a du C (0 a 1) ln a = + < ≠ ∫  cosx dx sinx C= + ∫  cosu du sinu C= + ∫  sinx dx cosx C= − + ∫  sinu du cosu C= − + ∫  2 1 dx tan x C cos x = + ∫  2 1 du tan u C cos u = + ∫  2 1 dx cotx C sin x = − + ∫  2 1 du cot u C sin u = − + ∫ Chú ý:  1 1 dx ln ax+b C ax+b a = + ∫  ax+b ax+b 1 e dx e C a = + ∫  1 cos(ax+b)dx sin(ax+b) C a = + ∫  1 sin(ax+b)dx cos(ax+b) C a = − + ∫  Đổi biến số trong tích phân : Nếu f(x) chứa 2 2 a x − → x = a.sint  Nếu f(x) chứa 2 2 a x+ → x = a.tant Nếu f(x) chứa 2 2 x a − → a x = cost .Đặcbiệt: 2 2 2 2 1 dx t x x a x a → = + + + ∫ Tích phân từng phần:  b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫  Dạng1: P(x). ax sin ax cosax dx e   →    Chọn : u =P(x)  P(x) là 1 đa thức của x  Dạng 2: P(x).ln(ax+b)dx → u = ln(ax+b),( Còn lại : Đặt dv).  . . + + = ≥ . CẤP SỐ NHÂN: 1/( n u ) : Cấp số nhân * n 1 n u u q, n N + ⇔ = ∀ ∈ . 2 /Số hạng tổng quát : n 1 n 1 u u q , n 2 − = ∀ ≥ . 3/Tổng n số hạng đầu. 4/Dãy số ( n u ) :BỊ CHẶN DƯỚI Nếu * n m : n N ,u m∃ ∀ ∈ ≥ . 5/Dãy số ( n u ) :BỊ CHẶN Nếu * n M,m : n N ,m u M∃ ∀ ∈ ≤ ≤ . CẤP SỐ CỘNG: 1/( n u ) :Cấp số