RÚT GỌN BIỂU THỨC - CĂN THỨC BẬC HAI Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau 3 2 x 1 30 a) b) x 1 4x xy + − − Giải a) Phân thức 3 x 1 x 1 + − không xác định khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1. b) Phân thức 2 30 4x xy− không xác định khi 4x 2 – xy = 0 ⇔ x(4x – y) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 4x – y = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 4x. Vậy ĐKXĐ: x 0; y 4x≠ ≠ . Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau 2 2 2 4x 1 x x 20 A B 2x 1 x 5x − + − = = − + Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2x 1 2x 1 2x 1 4x 1 1 A 2x 1; x 2x 1 2x 1 2x 1 2 − − + −   = = = = + ≠  ÷ − − −   . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 5 x 4 x x 20 x 4 B ; x 5 x 5x x x 5 x + − + − − = = = ≠ − + + . Ví dụ 3.Thực hiện phép tính 2 2 2 x 1 x 2 x 1 a) b) x 1 1 x x 3x x 9 + + + − − − + − Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) x 1; x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 − + − + = − = = = + ≠ − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 2 x 3 x 1 x x 2 x 1 x 2 x 1 b) x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2 x 3 x 3x 2x 6 x x 2x 6 2 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3; x 0 + + − + + + + + − = − = + − + − + − + − + − + − − − − − − = = = = − + − + − + − ≠ ± ≠ . VD4: Thu gọn, tính giá trị các biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A 3 3 2 3 3 3 1 3 2 3 2 2 B 2 3 3 2 1 C 3 2 2 6 4 2 D 2 3 2 3 = − − + + + + = + − + + = − − + = + + − Giải A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + = ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 B 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 1 + + = + − − = + + − − = + ( ) ( ) 2 2 C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = − ( ) ( ) ( ) 2 2 D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6 = + + − = + + − = + + − ⇒ = + + − = ⇒ = VD5: Cho biểu thức 2 x x 2x x y 1 x x 1 x + + = + − − + a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b)Cho x > 1. Chứng minh y y 0− = c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y Giải a) ( ) ( ) ( ) 3 x x 1 x 2 x 1 y 1 x x 1 1 2 x 1 x x x x 1 x   + +     = + − = + + − − = − − + ( ) ( ) y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 0 x 2 x 4 = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ) b) Có y y x x x x− = − − − Do x 1 x x x x 0 x x x x y y 0 > ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = − ⇒ − = c) Có: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 y x x x x x 2. x. x 2 4 4 2 4 4   = − = − = − + − = + − ≥ −  ÷   Vy 1 1 1 1 Min y khi x x x 4 2 2 4 = = = = VD6:.So sỏnh hai s sau a 1997 1999= + v b 2 1998= Gii Cú ( ) 2 2 2 a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1 2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998 = + + = + + = + < + = Vy a < b. VD7: Cho biểu thức: b2ab2a2 ba1a ba 1 bbaa a3 baba a3 M ++ + ++ = ))(( :)( a, Rút gọn b, Tìm những giá trị của a để M nguyên Giải a, Rút gọn M = 1a 2 b, Để M nguyên thì a-1 phải là ớc của 2 a 1 = 1 => a = 2 a 1 = -1 => a = 0 ( loại ) a 1 = 2 => a = 3 a 1 = -2 => a = -1 ( loại ) Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3 VD8: Cho biểu thức: 1 1a 1 1a 1 A + + = Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên Giải 1 1a 2 1 1a 1a1a 1 1a 1a1a A + =+ ++ =+ + = )( Để A nguyên thì a 1 là ớc của 2 Tổng quát : Để giảI toán tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo các b- ớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện Bớc 2: Rút gọn về dạng )( )( xf a hay a xf Nếu a xf )( thì f(x) là bội của a Nếu )(xf a thì f(x) là ớc của a Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai VD9 : Tính 1281812226A ++= Ta có : 242424228412818 22 ===+= )( 1313132332423261326A 1313132341224122 2 2 ==+===+= +=+=++=+=++ )()( )( *MT S BI TP C BN 1.Tỡm iu kin xỏc nh ca cỏc phõn thc sau ( ) 2 2 2 3 2 x 2xy y x 2y 2x 1 7 a) b) c) d) x y 3x x x x 1 4 x y + + + + + 2.Cỏc biu thc sau cú ph thuc vo giỏ tr ca bin hay khụng? 2 2 2 4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1 A ; x , y . 2x 1 2y 1 2 2 x 1 2 B ; x 2 x 4 x 2 2 x + = + = + + + 3.Chng minh 2 2 x y x y 2x x y : 3x x y 3x x x y + = ữ + . 4.Cho biu thc 2 6x 2x 3xy y A 6x 3y + = a)Tỡm KX ca biu thc A. b)Rỳt gn A v tớnh giỏ tr vi x = - 0,5; y = 3. c)Tỡm iu kin ca x, y A = 1. d)Tỡm x, y biu thc A cú giỏ tr õm. 5.Thc hin phộp tớnh, rỳt gn biu thc A 4 3 2 2 57 40 2= + + B 1100 7 44 2 176 1331= + ( ) 2 C 1 2002 . 2003 2 2002= + 1 2 D 72 5 4,5 2 2 27 3 3 = + + ( ) 3 2 3 2 E 6 2 4 . 3 12 6 . 2 2 3 2 3 = + ữ ữ F 8 2 15 8 2 15= + G 4 7 4 7= + H 8 60 45 12= + + − I 9 4 5 9 4 5= − − + ( ) ( ) K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − − 2 5 14 L 12 + − = ( ) ( ) 5 3 50 5 24 M 75 5 2 + − = − 3 5 3 5 N 3 5 3 5 + − = + − + 3 8 2 12 20 P 3 18 2 27 45 − + = − + ( ) 2 2 1 5 2 5 Q 2 5 2 3   − = −  ÷ −   + R 3 13 48= + + 6.Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A khi a ; b a 1 b 1 7 4 3 7 4 3 = − = = + + + − 2 1 B 5x 4 5x 4 khi x 5 5 = − + = + 1 2x 1 2x 3 C khi x 4 1 1 2x 1 1 2x + − = + = + + − − 7. Chứng minh a) 1 1 1 5 1 3 12 2 3 3 2 3 6 + + − = b) 3 3 2 5 2 5 1+ + − = c) 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 + − + = + + − − d) 1 1 1 S . 1 2 2 3 99 100 = + + + + + + là một số nguyên. 8. Cho ( ) 3 x x 2x 2 2x 3 x 2 A ; B x 2 x 2 − + − − − = = − + a) Rút gọn A và B. b) Tìm x để A = B. 9. Cho x 1 A x 3 + = . Tỡm s nguyờn x A nhn giỏ tr nguyờn. 10. Tỡm x, bit: ( ) 2 x x 1 x 5 a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1 x x 4 + + = = = Phơng trình vô tỷ - PHƯƠNG TRìNH CHứA DấU GTTđ Ví dụ 1: Giải phơng trình: )1(75 = xx Cách 1: Bình phơng hai vế x 5 = x 2 14x + 49 x 2 14x x + 49 + 5 = 0 x 2 15x + 54 = 0 x 1 = 6 ; x 2 = 9 Lu ý : * Nhận định kết quả : x 1 = 6 loại vì thay vào phơng trình (1) không phải là nghiệm . Vậy phơng trình có nghiệm x = 9 * Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trình có nghiệm thì : 7 7 5 07 05 x x x x x kết hợp Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp Cách 2 Đặt ẩn phụ Đa phơng trình về dạng : 255 = xx Đặt 5 = xy phơng trình có dạng y = y 2 2 y 2 y 2 = 0 Giải ta đợc y 1 = - 1 ( loại) y 2 =2 Ví dụ 2: Giải phơng trình 2173 =++ xx 9 45 25 = = = x x x Giải: Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 01 073 + + x x x Chú ý : Không nên bình phơng hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà ta nên chuyển vế. 2173 ++=+ xx Bình phơng hai vế ta đợc : 121 +=+ xx Bình phơng hai vế (x + 1) 2 = 4( x+ 1) x 2 - 2x 3 =0 có nghiệm x 1 = -1; x 2 = 3 Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện Ví dụ 3: Giải phơng trình 0212 2 =++ xx Đặt điều kiện * Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x 2 ( 2x + 1 ) + 2 = 0 x 2 2x 1 + 2 = 0 x 2 2x +1 = 0 => x 1 = x 2 = 1 * Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x 2 ( -2x -1 ) + 2 =0 x 2 + 2x + 3 = 0 Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 1 PHNG TRèNH- H PHNG TRèNH VD1.Gii cỏc phng trỡnh sau a) ( ) ( ) 2 x 3 1 2 x 1 9 + = + b) ( ) 7x 20x 1,5 5 x 9 8 6 + = c) 2 2 13 1 6 2x x 21 2x 7 x 9 + = + + d) x 3 3 x 7 10 + = (*) Gii ( ) ( ) a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = − (Vô lý) Vậy phương trình vô nghệm. ( ) 7x 20x 1,5 b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6 8 6 + − − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm x = 6. c) 2 2 13 1 6 2x x 21 2x 7 x 9 + = + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 13 1 6 x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3 ⇔ + = − + + − + ĐKXĐ: 7 x 3; x 2 ≠ ± ≠ − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = + ( ) ( ) 2 x 3 DKXD x x 12 0 x 3 x 4 0 x 4 DKXD = ∉  ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔  = − ∈  Vậy phương trình có nghiệm x = - 4. d) Lập bảng xét dấu x 3 7 x – 3 - 0 + + x - 7 - - 0 + -Xét x < 3: (*) ( ) 7 3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x 2 ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ = (loại) -Xét 3 x 7≤ < : (*) ( ) x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ = (t/mãn) -Xét x 7≥ : (*) ( ) 17 x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x 2 ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 4. VD2.Giải và biện luận phương trình sau a) 2 2 x a b x b a b a a b ab + − + − − − = (1) b) ( ) 2 2 a x 1 ax 1 2 x 1 x 1 x 1 + − + = − + − (2) Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 (1) b x a b a x b a b a bx ab b ax ab a b a b a x 2 b a b a ⇔ + − − + − = − ⇔ + − − − + = − ⇔ − = − + -Nếu b – a ≠ 0 b a⇒ ≠ thì ( ) ( ) ( ) 2 b a b a x 2 b a b a − + = = + − -Nếu b – a = 0 b a⇒ = thì phương trình có vô số nghiệm. Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a). -Với b = a, phương trình có vô số nghiệm b) ĐKXĐ: x 1 ≠ ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1 ax ax x 1 2x 2 ax a a 1 x a 3 ⇒ + + − = + ⇔ + − − + − = + ⇔ + = + -Nếu a + 1 ≠ 0 a 1⇒ ≠ − thì a 3 x a 1 + = + -Nếu a + 1 = 0 a 1⇒ = − thì phương trình vô nghiệm. Vậy: -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất a 3 x a 1 + = + -Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm. VD3.Giải các hệ phương trình sau 1 1 5 x 2y 3z 2 x 5y 7 x y x y 8 a) b) c) x 3y z 5 3x 2y 4 1 1 3 x 5y 1 x y x y 8  + − = + =   + = + −    − + =    − =    − = − =   − +  Giải ( ) x 7 5y x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2 a) 3 7 5y 2y 4 3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1 = −  + = = − = − =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      − − = − = − = = =      hoặc x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1 3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2 + = + = = =     ⇔ ⇔ ⇔     − = − = − = =     b) ĐK: x y≠ ± đặt 1 1 u; v x y x y = = + − Khi đó, có hệ mới 5 1 2v 1 u v v 8 2 5 1 3 u v u u v 8 8 8   = + = =       ⇔ ⇔    + =    = − + =      Thay trở lại, ta được: x y 8 x 5 x y 2 y 3 + = =   ⇔   − = =   c) x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6 x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1 x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2 + − = = + = + =         − + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =         − = + − + = + = =     VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh        =+ =+ 1 y 10 x 6 36 13 y 3 x 4 Gi¶i : §Æt Èn phô : y Y x X 1 ; 1 == Ta cã hÖ :        =+ =+ 36 36 106 36 13 34 YX YX VÝ dô 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :      −=++ =++ =++ )3(232 )2(323 )1(1132 zyx zyx zyx Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3) VÝ dô 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: [...]... 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4) Nhn thy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 c Theo h thc Viet, cú: x1 = 1; x2 = = 4 a 2 b) cú: = b 4ac = 9 + 4m 9 > 0 9 + 4m > 0 m > 4 b + 3 + 9 + 4m b 3 9 + 4m x1 = = ; x2 = = 2a 2 2a 2 9 = 0 9 + 4m = 0 m = 4 b 3 x1 = x 2 = = 2a 2 9 phng trỡnh vụ nghim 4 c) Phng trỡnh (1) cú nghim x = -2, do ú: (-2)2 + 3(-2) m = 0 m = -2 -Tỡm nghim th hai cỏch 1: Thay m = -2... 2m) 9( 2m 1) = 2( 4m 2 ) 18m + 9 = 8m 2 18m + 9 => điều phải xx = c 1 2 a chứng minh b, Tìm m để A = 27 chính là giảI phơng trình 8m2 18m + 9 = 27 8m2 18m 18 = 0 4m2 9m 9 = 0 Phơng trình có hai nghiệm : m1 = 3 , m2 = -3/4 2.Tìm m để x1 = 2x2 Theo viet ta có : x1 + x2 = -b/a = 2m Hay 2x2 + x2 = 2m 3x2 = 2m x2 = 2m/3 x1 = 4m/3 Theo viet: c = 2m 1 a 2m 4 m => = 2m 1 3 3 8m 2 = 2m 1 9 8m... 2x1 + 3x2 = 13 0 b x1 + x 2 = a x1x 2 = c a 2x + 3x = 13 1 2 9 m 4 x + x = 3 1 2 gii h tỡm c x1 = -22; x2 = 19; m = 418 x1x 2 = m 2x1 + 3x 2 = 13 -Tng t ta tỡm c (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1) 1 x1 + x 2 3 1 x + x = x x = m 1 2 1 2 e) Ta cú m 1 1 = 1 = 1 x1 x 2 x1.x 2 m < 0 9 + 4m < 0 m < 2 4 9 + 4m 3 1 9 0 ữ 4 ữ= 2 + = m m2 m m m 1 1 Vy ; l hai nghim ca phng trỡnh... 2 a Chứng minh A = 8m2 18m + 9 b Tìm m sao cho A = 27 3, Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia Giải 1 Xét = ( m ) ( 2m 1) = m 2m + 1 = ( m 1) 0 m => Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m a A = 2( x12 + x 2 ) 5x1x 2 = 2x 12 + 2x 2 5x 1 x 2 2 2 ' 2 2 2 = 2x 12 + 2 x 2 + 4x 1 x 2 9 x 1 x 2 2 = 2( x 12 + x 2 + 2x 1 x 2 ) 9 x 1 x 2 2 = 2( x 1 + x 2 ) 9 x 1 x 2 2 b x1 + x 2 = 2... trờn mt ng thng (ng thng Simson) Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào 10 I Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai: Bài 1 Cho biểu thức: b Tìm a sao cho P>1 a Rút gọn P Hớng dẫn: a a 1 2 a : P = 1 + a 1 a a + a a 1 a +1 a + a +1 P= ; a 1 Bài 2 Cho biểu thức P= b a > 1 ; c c Cho 24 9 3 P= 3 3 x x + 26 x 19 2 x + x +2 x 3 x 1 a = 19 8 3 Tính P x 3 x +3 a Rút gọn P b Tính giá trị... để P= -1 d Với giá trị nào của x thì P >P 4x c Tìm các giá trị của 9 x 3 16 x 1 1 8 x 3 x 2 Bài 4 Cho biểu thức P = 3 x 1 3 x + 1 + 9x 1 : 1 3 x + 1 6 a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P = 5 Hớng dẫn: 9 b x = 4; 25 2 x 1 x Bài 5 Cho biểu thức P = x x x + x 1 x 1 : 1 + x + 1 Hớng dẫn: a P= b x >9 a Rút gọn P Hớng dẫn: a x= a P= x+ x 3 x 1 b Tìm các giá trị của... < a < 3 +1; 2 x 9 x 5 x + 6 3 a 1 x + 3 2 x +1 x 2 3 x b Tìm các giá trị của x để P 2 a Rút gọn P Hớng dẫn: a P = (1 a ) 2 Bài 9 Cho biểu thức x= b P = 0 x < 9; x +1 x 1 x 4 c x=1;16;25; 49 x 1 1 x 2 :... 1: x x 1 + x + x +1 x + x +1 P= x a Rút gọn P giá trị của x để P = P < b 0 x < 9 a Rút gọn P Hớng dẫn: a x 3x + 3 2 x 2 : x 3 1 x 9 x +3 b Tìm x để 3 x +3 P= x 2 x +3 P= b P>3 3x + 9x 3 x+ x 2 x +1 + x +2 x 2 1 1 x 1 x b Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên c Tìm các x x +1 x 1 b x=4 ;9 c x =3+2 2 Hệ phơng trình: *Giải hệ phơng trình: 3 x + 4 y = 7 2 x y = 1 1/ 5 x ... 3 4 Du = xy ra khi t = 2x 1 = 2x 1 = 2 2 2 x = 1 4 1 5 1 Vy minF = khi x = hoc x = 4 4 4 2 * KX: x 2 t t = 2 x 0 t 2 = 2 x x = 2 t 2 2 1 9 9 G = 2 t + t = t ữ + t 2 4 4 1 1 7 Du = khi v ch khi t = 2 x = x = 2 2 4 9 7 Vy maxG = khi x = 4 4 2 * KX: 1 x 1 H = 1 x + 1 + x H2 = 2 + 2 1 x2 Cú 0 1 x 2 1 0 2 1 x 2 2 2 H2 4 2 H 4 Du = th nht xy ra khi v ch khi... 5 3 2x y + 2x + y = 2 1 1 = 2 2 x y 2 x + y 15 2 x1+ 9/ 5 x1 1 =7 y+1 10/ 2 =4 y1 1 1 x+ y + x y =3 2 3 =1 x+ y x y x + 2y = 4 11) x2 + 4y2 = 8 15) 12) x 2 + xy 2 y 2 = 0 2 x + 2 y = 3 2 x y = 2 (2 2 ) x + y = 2 x 2 + y 2 = 1 16) x 2 x = y 2 y 1 1 4 + =3 y 20) 7) x x y = 9 x 5xy 2 y = 3 19) y 2 + 4 xy + 4 = 0 2 y 2 x + 3 = 0 13) y + x 3 = 0 2 ( . VD6:.So sỏnh hai s sau a 199 7 199 9= + v b 2 199 8= Gii Cú ( ) 2 2 2 a 199 8 1 199 8 1 199 8 1 199 8 1 2. 199 8 2 199 8 1 2. 199 8 2 199 8 2 199 8 = + + = + + = + <. có: 2 b 4ac 9 4m∆ = − = + 1 2 9 0 9 4m 0 m 4 b 3 9 4m b 3 9 4m x ; x 2a 2 2a 2 ∆ > ⇔ + > ⇔ > − − + ∆ − + + − − ∆ − − + = = = = 1 2 9 0 9 4m 0 m 4