Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG ĐỀ CƯƠNG ÔN THI H.S.G - PHẦN ĐẠI SỐ Bài1: a) Cho a,b,c∈[0 ; 2]và a + b + c = 3. C/m BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5. b) Cho x,y,z ∈[ 1; 3 1 − ] và x + y + z = 1. Tìm GTLN biểu thức: P = x 2 + y 2 + z 2 . Bài 2: Cho A = 2 20072 .52321 ++++ ; B = 2 200820062 .62422 +++++ (mỗi tổng có 1004 số hạng). So sánh A và B ? Bài 3: a) C/minh BĐT: 3333 1 . 4 1 3 1 2 1 n ++++ < 4 1 (với n ∈ N ; n ≥ 2). b) C/minh BĐT: 10 1 100 99 6 5 . 4 3 . 2 1 < . (vế trái là tích 50 phân số ) c) C/minh BĐT: 27 5 6 .663 6 .663 6 1 < +++− +++− < (tử nhiều hơn mẫu một dấu căn bậc hai). Bài 4: C/minh BĐT: 5 2 1000 1 999 1 . 5 1 4 1 3 1 2 1 <+−+−+− . Bài 5: a) Cho a,b,c ∈[0 ; 1]. C/minh BĐT: 2 111 ≤ + + + + + ab c ca b bc a . b) Cho a,b,c ∈[0 ; 2]. Tìm GTLN biểu thức: E = 444 + + + + + ab c ca b bc a . Bài 6: Cho hai phương trình bậc hai (ẩn x): ax 2 + bx + c = 0 ( 1 ) và cx 2 + bx + a = 0 ( 2 ) ( với a.c < 0 ). Gọi βα ; lần lượt là hai nghiệm lớn nhất của ( 1 ) và ( 2 ) . CMR: 2 ≥+ βα . Bài 7: Cho a ; b ; c là các số thực thõa điều kiện (a + c)(a + b + c) <0. C/minh BĐT: ( b - c ) 2 > 4a( a + b + c ). Bài 8: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; p là nửa chu vi ; r là bán kính đường tròn nội tiếp . C/minh BĐT: 2222 1 )( 1 )( 1 )( 1 rcpbpap ≥ − + − + − . Bài 9: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; x , y , z là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác đến các cạnh . C/minh BĐT: R cba zyx 2 222 ++ ≤++ . Bài 10: Cho a ; b ; c ; d là độ dài các cạnh một tứ giác và S là diện tích của nó . C/minh BĐT: a + b + c + d ≥ 4 S . Bài 11: Tìm GTNN biểu thức: T = 2008 .321 −++−+−+− xxxx . Bài 12: a) Cho x ; y ; z ≥ 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 27 . Tìm GTNN biểu thức: A = x 3 + y 3 + z 3 . b) Cho x ; y ; z ≥ -1 và x 2 + y 2 + z 2 = 12 . Tìm GTNN biểu thức: B = x 3 + y 3 + z 3 . Bài 13: Giải các phương trình vô tỷ sau: a) 211 222 +−=+−+−+ xxxxxx . b) x 3 + 1 = 2 3 12 − x . 1 Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG c) 225432 1 1312 3 2 +−= − − xx x x . d) 15209145 22 +=−−−++ xxxxx e) xxxx −+=+−+ 149 . f) 15242 2 −−=−+− xxxx . g) 431532373 2222 +−−−−=−−+− xxxxxxx . h) 2007200720072016 2 3 −−=−−− xxxx . i) x 2 + x − 2 = 2 xx − 2 2 . k) (x+3 x +2)(x+9 x +18)= 120x . l) 4 211 2 x xx −=++− . m) x 2 + x + 12 1 + x = 36 . n) 1111 423 −+=++++− xxxxx . p) 3 3 2 3 2 )7)(2(3)7()2( xxxx +−+=++− . q) 131 23 −−=+ xxx . r) 3121327687 3 23 23 2 =−−−+−++− xxxxxx Bài 14: Cho m ; n là các số nguyên dương thõa điều kiện 07 >− n m . C/minh BĐT: m mn 1 7 >− . Bài 15: Cho 25 số tự nhiên khác 0 là a 1 ; a 2 ; a 3 ; . . . ; a 25 thõa điều kiện: 9 1 . 111 25321 =++++ aaaa . CMR: Trong 25 số đó , tồn tại hai số bằng nhau . Bài 16: Cho x > 0 . Tìm GTNN các biểu thức sau: a) A = x + x x 1 2 + ; b) B = 27x + x x 1 729 2 + . Bài 17: Tìm GTNN các biểu thức : A = 22 23412 xxxx −+−−+ ; B = 22 1001200620028024 xxxx −+−−+ Bài 18: a) Cho x ≤ 4 . Tìm GTNN của biểu thức: T = x 2 ( 2 - x ) . b)Biết phương trình ẩn x: x 2 + ax + b + 142 = 0 có ngh/kép x 0 ≥ -6 . Tìm GTNN của biểu thức: K= a 2 - a 3 + 4b . Bài 19: Tìm số tự nhiên n (với n ∈ N * ) sao cho tích các chữ số của số tự nhiên n này bằng n 2 - 10n - 22 . Bài 20: Cho a + b + c = 6 . CMR tồn tại một trong ba phương trình sau có nghiệm: x 2 + ax + 1 = 0 (1) ; x 2 + bx + 1 = 0 (2) ; x 2 + cx +1= 0 (3) Bài 21: Cho a ; b ; c là các số thực dương thõa: a + 2b + 3c = 1. CMR Ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 4x 2 - 4(2a + 1)x + 4a 2 + 192abc + 1 = 0 (1) 4x 2 - 4(2b + 1)x + 4b 2 + 96abc + 1 = 0 (2) Bài 22: Cho x 2 + y 2 + xy = 1. Tìm GTLN & GTNN của biểu thức: A = 2x 2 - xy + 3y 2 . Bài 23: Tìm m để hệ sau có nghiệm:      =+++++ ≥ + + 0163216168 5 )2( 4 224 2 2 2 mmmxxx x x x Bài 24: Giải các phương trình vô tỷ sau: a) 0)1(13)1(2 3 2 3 2 3 2 =−+−++ xxx ; b) x 2 + 3x + 1 = (x + 3) 1 2 + x c) 218817 3 23 2 3 =−−+−−−+ xxxxx ; d) x 2 - 3x + 1 = 1 3 3 24 ++ − xx e) 2 3 4 2881 23 3 −+−=− xxxx ; f) 3121 3 22 =−+− xx 2 Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG g) 5181 3 23 2 =++− xx ; h) x x x x xx 21 21 21 21 2121 − + + + − =++− i) 6)3(9 3 3 +−=− xx ; k) 23222312 2222 +−+++=−−+− xxxxxxx . Bài 25: Giải bất phương trình: 21412 33 ≥++− xx . Bài 26: Giải các phương trình: a) 2x 2 - 11x +21 = 3 443 − x . b) 231034 −=−− xx . Bài 27: Cho x ;y ; z ; t ≥ 0 và 2 1 ) 4 1 () 4 1 () 4 1 () 4 1 ( ≤−+−+−+− ttzzyyxx . CMR: x + y + z + t ≤ 2 . Bài 28: Cho a ; b ∈ R . C/m BĐT: a 6 + b 6 ≥ 6a 2 b 2 - 8 . Bài 29: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm GTNN của biểu thức: T = 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc . Bài 30: Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4 . Tìm GTLN của biểu thức: A = 3x 2 + 2y 2 + z 2 . Bài 31: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác và S là diên tích của nó. C/m BĐT: 3a 2 + 2b 2 + 2c 2 ≥ 16.S Bài 32: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác; h a , h b , h c là độ dài ba đường cao. C/m BĐT: ( a + b + c ) 2 ≥ 4( 222 cba hhh ++ ) . Bài 33: Cho x.y > 0 và x 3 + y 3 + 3(x 2 + y 2 ) + 4(x + y) + 4 = 0. Tìm GTLN của biểu thức: M = (x + y):xy (trích thi HSG Tỉnh Bình Đònh) Bài 34: Cho x , y , z , t là các số thực dương . Tìm GTNN biểu thức: A = yx yxt xt xtz tz tzy zy zyx + +− + + +− + + +− + + +− 2222 Bài 35: Cho a , b , c là các số thực dương. C/m BĐT: a c c b b a a c c b b a ++≥++ 3 3 3 3 3 3 Bài 36: Cho x , y , z > 0 và xyz = 1. Tìm GTLN biểu thức: B = 7722 22 7722 22 7722 22 xzxz xz zyzy zy yxyx yx ++ + ++ + ++ Bài 37: Cho x , y , z ∈ R thõa xy + yz + xz = 0 còn a , b , c là các số dương được xác đònh:        ++= ++= ++= 22 22 22 xzxzc zyzyb yxyxa ; hỏi a , b , c có thể là độ dài ba cạnh một tam giác không ? Bài 38: Cho x , y thõa hệ:      ≥+ ≤− ≥+ yx yx yx 24 22 22 ; tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x 2 + y 2 . Bài 39: Giải hệ phương trình:      =+ =+ =+ xxz zzy yyx 2)1( 2)1( 2)1( 3 Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG Bài 40: Cho A = 333 3 216 1 . 6 1 5 1 4 1 ++++ ; chứng minh rằng A không là số tự nhiên . Bài 41: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền). Tìm GTNN biểu thức: P = abc cabcba )()( 22 +++ . Bài 42: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác. C/m BĐT: 3 3 33 3 33 3 33 42 < + + + + + ba c ac b cb a Bài 43: a) Cho a ; b ; c > 0 và abc = 1. Tìm GTLN biểu thức: T = 32 1 32 1 32 1 222222 ++ + ++ + ++ accbba . b) Cho x ; y ; z ; t > 0 và xyzt = 1. Tìm GTLN biểu thức:K = 623623623623 333333333333 +++ + +++ + +++ + +++ yxt t xtz z tzy y zyx x Bài 44: Cho a , b , c > 0 . C/m BĐT: 1 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + ≥ + + + + + abcaccbba . Bài 45: Cho △ABC có · BAC ≥ 90 0 ; BC = a ; CA = b ; AB = c . Tìm LTNN của biểu thức: P = abc accbba ))()(( +++ 4 . tổng có 100 4 số hạng). So sánh A và B ? Bài 3: a) C/minh BĐT: 3333 1 . 4 1 3 1 2 1 n ++++ < 4 1 (với n ∈ N ; n ≥ 2). b) C/minh BĐT: 10 1 100 99 . Bài 4: C/minh BĐT: 5 2 100 0 1 99 9 1 . 5 1 4 1 3 1 2 1 <+−+−+− . Bài 5: a) Cho a,b,c ∈[0 ; 1]. C/minh BĐT: 2 111 ≤ + + + + + ab c ca b bc a . b) Cho a,b,c