NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A/ NGUYÊN HÀM 1. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số xác đònh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C 2. TÍNH CHẤT: + Tính chất 1: ' ( ) ( )f x dx f x C= + ∫ + Tính chất 2: ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠ ∫ ∫ + Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ 3. Bảng các nguyên hàm cơ bản: Họ nguyên hàm F(x)+C Họ nguyên hàm F(x)+C ∫adx = ax + C ∫ x α dx = 1 1 x C α α + + + ∫cotgxdx = ln sin x C+ ∫ 1 x dx = ln x C+ ∫ ( )ax b α + dx = a 1 1 ( ) 1 ax b C α α + + + + ∫ x a dx = ln x a C a + ∫ 1 ax b+ dx = 1 ln ax b C a + + ∫ x e dx = e x + C ∫sinxdx = -cosx + C ∫ ax b e + dx = 1 ax b e C a + + ∫cosxdx = sinx + C ∫sin(ax+b)dx = 1 cos( )ax b C a − + + ∫ 2 1 cos x dx = tanx + C ∫cos(ax+b)dx = 1 sin( )ax b C a + + ∫ 2 1 sin x dx = -cotx + C ∫ 2 1 cos ( )ax b + dx = + + 1 tan( )ax b C a ∫ ' ( ) ( ) u x u x dx = ln ( )u x C+ ∫ 2 1 sin ( )ax b + dx = − + + 1 cot( )ax b C a ∫tgxdx = ln cos x C− + ∫ 2 2 1 x a− dx = 1 ln 2 x a C a x a − + + 4. Các phương pháp tính nguyên hàm: Tính I = ∫f(x)dx Phương pháp 1: Đổi biến số Phương pháp 2: Nguyên hàm từng phần Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= (Một biểu thúc chứa biến x) Bước 2: Chuyển nguyên hàm đã cho sang nguyên hàm theo biến t ta được ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C (*) Bước 3: Thay t = u(x) vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm. Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì : ∫ u.v'dx = u.v - ∫ u'vdx Hoặc ∫ udv = uv - ∫ vdu Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm 1. ∫ +− . 154 3 34 dx x xx 2. ∫ ax dx + 3. ∫ (3- x 2 ) 3 dx 4. ∫ xx ee dx − + 5. ∫ dx x x 2 ) 1 ( − 6. ∫ sin 2 xdx. 7. ∫ x dx . 8. ∫ (a + bx) 2 dx - ∫ (a - bx) 2 dx. 9. ∫ (1 - sinx) 2 dx + ∫ (1 + cosx) 2 dx 10. ∫ . 52 x dx − 11. ∫ dxx.31 3 − . 12. ∫ 2 2 −+ xx dx 13. ∫ 2 5 )25( − x dx 14. ∫ (sin5x - sin5 α )dx. 15. ∫ 9 2 − x dx 16. ∫ dx x x 1 3 + 17. ∫ xx dx 5 ln 18. ∫ dx e e x x 1 2 2 + 19. ∫ (e 2x +5) 2 e 2x dx 20. ∫ cos(3e x +1)e x dx 21. ∫ . cos 2 dx x e tgx Bài 2 : Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số): 1. ∫ (2x - 5) 5 dx 2. ∫ x(1 + x 2 ) 4/3 dx 3. ∫ x 2 (8 - x 3 ) 4 dx 4. ∫ sin 3 xdx 5. ∫ cos 3 xdx 6. ∫ sinxcos 4 xdx 7. ∫ cosxsin 5 xdx 8. ∫ sin 3 x.cos 2 xdx 9. ∫ (e sinx - cosx)cosxdx 10. dxxe x ∫ 2 11. ∫ cos 3 xsin 2 xdx 12. dx x x ∫ ln 13. ( ) ∫ dx x x 2 ln 14. dx x x ∫ + ln1 15. dx x x ∫ + 2 ln1 16. dx x x ∫ + sin21 cos 17. ∫ x(4-x) 3 dx 18. ∫ x x52 − dx 19. ∫ +− − dx xx x 53 32 2 20. ∫ x 2 (x 3 - 8) 3 dx Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp tứng phần: 1. ∫ (1 - 3x)e x dx 2. ∫ xe 2x dx 3. ∫ x.e -x dx 4. ∫ lnxdx 5. ∫ x 2 lnxdx 6. ∫ x 2 e x 7. ∫ xsinxdx 8. ∫ xcosxdx 9. ∫ (2x-1)sinxdx 10. ∫ (1- 4x)cosxdx 11. dx x x ∫ 2 cos 12. dx x x ∫ 2 sin 13. ∫ (x 2 - 4x + 3)e x dx 14. ∫ e x sinxdx 15. ∫ e x cosxdx 16. ∫ xlnxdx 17. ∫ xln(x+1)dx 18. ∫ xsinx5xdx 19. ∫ xcos3xdx 20. ∫ ln(5x+1)dx Bài 4: Tính các tích phân sau (dùng đònh nghóa, Tính chất và bảng nguyên hàm): 1. ( ) 1 3 0 1I x x dx= + ∫ 2. ∫ − 2 1 2 )1( dxxx 3. ∫ 3 0 3cos π xdx 8. ∫ 2 0 3coscos π xdxx 9. ∫ − 2 2 3cos5sin π π xdxx 15. ∫ + 4 2 2 3 1 dx x x 16. ∫ + 5 1 3 1 dx x x 17. ∫ 5 1 3 2 1 dx x 23. dx xx ∫ + 1 2 1 )2( 1 24. ∫ −+ 5 3 2 2 1 dx xx 25. dxx ∫ − 3 0 2 4. ∫ − 0 2 4sin π xdx 5. ∫ + 2 0 ) 3 sin( π π dxx 6. ∫ − 2 0 ) 4 cos( π π dxx 7. ∫ 2 0 4sin2sin π xdxx 10. ∫ 2 0 2 sin π xdx 11. ∫ 2 0 2 cos π xdx 12. ∫ + 1 0 2 1 dx x x 13. ∫ + 2 1 2 2 2 2 dx x x 14. ∫ + 3 1 3 3 4 dx x xx 18. ∫ + 2 1 2 ) 1 1( dx x x 19. ∫ 3 2 1 1 dx x 20. ∫ +− 2 1 3 34 154 dx x xx 21. ∫ − 2 0 2 9x dx 22. ∫ +− 1 0 2 65 2 xx dx 26. dxx ∫ − + 1 1 12 27. dxx ∫ − 5 0 24 28. ∫ − − 2 2 1 dxx 29. dxx ∫ − 2 1 32 Bài5: Tính các tích phân sau (Bằng phương pháp đổi biến số ): 1. ∫ 2 0 3 sincos π xdxx 2. ∫ 2 0 3 cossin π xdxx 3. ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 4. 2 5 0 cos xdx π ∫ 5. dxx ∫ − 0 2 3 sin π 6. ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 7. 4 2 0 1 sin 2x dx cos x π + ∫ 8. ∫ + 1 0 2 )3( dx x x 9. ∫ − 2 1 3 )2( dxx 10. 1 3 4 3 0 (1 )I x x dx= + ∫ 11. 1 2 2 0 5 ( 4) x I dx x = + ∫ 12. ∫ + 1 0 3 )1( dxxx 13. dxx ∫ + 3 22 1 3 53 14. ∫ + 4 0 12 1 x 15. ( ) dxx 3 4 1 0 41 ∫ + 16. ∫ + 1 0 6 )2( dxxx 17. 1 0 x 1 xdx− ∫ 18. 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 21. ∫ + 8 3 1 dx x x 23. ∫ e dx x x 1 ln 24. ∫ − 2 1 1 dx e e x x 26. ∫ + e dx x x 1 ln1 29. ∫ + 2 0 2 1 dx e e x x . u.v - ∫ u'vdx Hoặc ∫ udv = uv - ∫ vdu Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm 1. ∫ +− . 154 3 34 dx x xx 2. ∫ ax dx + 3. ∫ ( 3-. dx x x 2 ) 1 ( − 6. ∫ sin 2 xdx. 7. ∫ x dx . 8. ∫ (a + bx) 2 dx - ∫ (a - bx) 2 dx. 9. ∫ (1 - sinx) 2 dx + ∫ (1 + cosx) 2 dx 10. ∫ . 52 x dx − 11. ∫ dxx.31