Phơng pháp làm trội để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức A < B ta có thể chọn số C sau đó chứng minh A <C và C < B Có những bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều đại lợng trung gian để chứng minh Bài 1 : Cho các số dơng a, b ,c ,d.Chứng minh rằng: 1 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + > + + + + + + + + Giải: Vì a, b, c , d là các số dơng nên : b + c + d < a+ b + c +d c + d + a < a+ b +c + d d + a + b < a + b +c +d a + b + c < a + b + c + d Ta có: a a b c d a b c d > + + + + + b b c d a a b c d > + + + + + c c d a b a b c d > + + + + + d d a b c a b c d > + + + + + Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có : a b c d b c d c d a d a b a b c + + + > + + + + + + + + a b c a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + d a b c d+ + + = a b c d a b c d + + + + + + =1 Vậy 1 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + > + + + + + + + + (ĐPCM) Bài 2:Cho các số dơng a , b .Chứng minh rằng: 1 2 2 a b a b b a + < + + Giải: Do a, b là các số dơng => 2a + b > a + b và 2b + a > a + b => 2 a a a b a b < + + ; 2 b b b a a b < + + Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 2 2 a b a b a b a b b a a b a b a b + + < + = = + + + + + Bài 3: Cho a, b , c > 0 .Chứng minh rằng: 2 a b c a b b c c a + + < + + + Giải: Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Nếu x , y, z > 0 và x < y thì x x z y y z + < + Thật vậy xét hiệu: x x z y y z + + = ( ) ( ) ( ) x y z y x z y y z + + + = ( ) xy xz xy yz y y z + + = ( ) ( ) z x y y y z + <0 (Vì x < y => x - y < 0 ) Vậy : x x z y y z + < + Sử dụng kết quả này ta có: a a c a b a b c + < + + + ; b b a b c a b c + < + + + ; c c b c a a b c + < + + + Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có: a b c a c b a c b a b b c c a a b c a b c a b c + + + + + < + + + + + + + + + + + = 2( )a b c a b c + + + + = 2 Suy ra điều phải chứng minh. Bài 4: Cho ba số dơng a , b ,c .Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + Giải : Ta có : a 3 + b 3 - ab(a+b) = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) - ab(a + b) = (a + b)(a 2 - ab +b 2 - ab) = (a + b)(a 2 - 2ab + b 2 ) =(a + b)(a - b) 2 0 a 3 + b 3 ab(a + b) a 3 + b 3 + abc ab(a + b) + abc => a 3 + b 3 + abc ab(a + b + c) 3 3 1 1 ( ) ( ) c a b abc ab a b c abc a b c = + + + + + + Chứng minh tơng tự ta có : 3 3 1 1 ( ) ( ) a b c abc bc a b c abc a b c = + + + + + + 3 3 1 1 ( ) ( ) b c a abc ac a b c abc a b c = + + + + + + Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có: 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b abc b c abc c a abc + + + + + + + + ( ) c abc a b c+ + + ( ) a abc a b c+ + + ( ) b abc a b c+ + = ( ) a b c abc a b c + + + + = 1 abc Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 167 1 1 1 1 1 2008 . 335 2 3 4 2008 2009 2009 < + + + + + < Giải Số hạng tổng quát có dạng : 2 1 k với 2 k 2009 Ta có : 2 1 k < 1 ( 1)k k = 1 1 1k k áp dụng bất đẳng thức này với k = 2,3,4,.,2009 ta có: 2 1 1 1 2 1 2 < 2 1 1 1 3 2 3 < 2 1 1 1 2009 2008 2009 < Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2008 2009 + + + + + < 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 2007 2008 2008 2009 + + + + = 1008 2008 1 2009 2009 = Mặt khác 2 1 1 1 1 ( 1) 1k k k k k > = + + áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 ,3 ,4,, 2009 ta có : 2 1 1 1 2 2 3 > 2 1 1 1 3 3 4 > 2 1 1 1 4 4 5 > 2 1 1 1 2009 2009 2010 > 3 => 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2008 2009 + + + + + > 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 3 3 4 4 5 2008 2009 2009 2010 + + + + + = 1 1 1004 2 2010 2010 = Mà 1004 1002 6.167 167 2010 2010 6.335 335 > = = => 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2008 2009 + + + + + > 167 335 Ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh rằng: 2 2 1 1 1 1 5 13 2002 2003 2 + + + < + Giải: Nhận xét : 1 2 1 1 5 1 2 = + ; 2 2 1 1 13 2 3 = + Do đó số hạng tổng quát có dạng: 2 2 1 ( 1)k k+ + áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: k 2 + (k + 1) 2 > 2k(k +1) => 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 1k k k k k k < = ữ + + + + áp dụng kết quả trên với k = 1 , 2 , 3 ,.2002 ta có 2 2 1 1 1 5 13 2002 2003 + + + < + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 2 1 2 2 3 2001 2002 2002 2003 + + + + ữ = = 1 1 1 . 2 1 2003 ữ < 1 2 Bài 7: Chứng minh rằng: 87< 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2024 2025 + + + + + < 88 Giải Số hạng tổng quát là: 1 k với k > 1 Ta có : 2 1 2 1 1k k k k k < < + + + Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu,rồi thu gọn ta đợc: 2( 1k k+ ) < 1 k < 2( 1k k ) 4 áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 , 3 , 4 , , 2025 ta có 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2024 2025 + + + + + > 2( 3 2 4 3 . 2026 2025 + + + ) => 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2024 2025 + + + + + > 2( 2026 2 ) > 2(45 1,5) = 87 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2024 2025 + + + + + < 2( 2 1 3 2 . 2025 2024 + + + ) => 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2024 2025 + + + + + < 2( 2025 1 ) > 2(45 1) = 88 Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dơng n > 2 ta có: 1 1 1 1 . 2 3 2 4 3 ( 1)n n + + + + + < 2 Giải Số hạng tổng quát là : 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) k k k k k k k k = = ữ + + + = 1 1 1 1 1 1 k k k k k + ữ ữ + + = 1 1 1 1 1 k k k k + ữ ữ ữ + + < 2 1 1 1k k ữ + Vậy 1 1 1 2 ( 1) 1k k k k < ữ + + áp dụng bất đẳng thức này với k = 1,2,3,n ta có 1 1 1 1 . 2 3 2 4 3 ( 1)n n + + + + + < 2 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 1n n + + + ữ + = 2 1 1 1n ữ < 2 Bài tập tham khảo: 1) Cho các số dơng a , b , c .Chứng minh rằng : 2008 2008 2008 2009 2009 2009 a b c c a b b c a + + + + + > 1 2) Cho 3 số dơng a, b , c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + 5 3) Cho a, b , c > 0 . Chøng minh r»ng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + 4) Cho n lµ sè nguyªn d¬ng lín h¬n 2.Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 3 4 ( 1) n n n n n n − − < + + + + + < + − 5) Cho n lµ sè nguyªn d¬ng lín h¬n 2. Chøng minh r»ng: 2 2 1 1 1 1 1 1 . 9 25 49 (2 1) (2 1) 4n n + + + + + < − + 6) Chømg minh r»ng nÕu a , b ,c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c th×: 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + < + + 7)Cho n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng lín h¬n 2.Chøng minh r»ng: 2( 1 2n + − ) < 1 1 1 1 1 . 2 3 4 1n n + + + + + − < 2( 1n − ) 6 . Phơng pháp làm trội để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức A < B ta có thể chọn số C sau đó chứng minh A <C và C < B Có những. thức ta phải sử dụng nhiều đại lợng trung gian để chứng minh Bài 1 : Cho các số dơng a, b ,c ,d.Chứng minh rằng: 1 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + >