Trường THPT Quế Võ I ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM 2010 - 2011 MÔN : TOÁN Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu I: ( 3 điểm ) Cho hàm số 2 4 3y x x= − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 4 5 0x x m− + − + = Câu II : ( 2 điểm ) 1. Không sử dụng bảng số và máy tính. Hãy tính giá trị của biểu thức 0 0 1 1 cos290 3sin 250 P = + 2. Giải phương trình sau: 3sin 2 cos2 4sin 1 0x x x− + + = Câu III : ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 3( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y  − + = −   + + = −   Câu IV : ( 3 điểm ) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác cân ABC đỉnh A, có trọng tâm 4 1 ; 3 3 G    ÷   , phương trình đường thẳng BC là 2 4 0x y− − = và phương trình đường thẳng BG là 7 4 8 0x y− − = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B,C. 2. Cho tam giác ABC có 7 8 ; ; ;cosBC a AC b AB c A= = = = và diện tích bằng 2 15 4 a . Gọi , , a c b h h h lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B,C. Chứng minh rằng a c b h h h= + Câu V : ( 1 điểm ) Cho a,b,c là các số thực dương sao cho ,a c b c≥ ≥ . Chứng minh rằng : ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu I:(3điểm ) 1(2điểm ) + TXĐ : D = R + Toạ độ đỉnh : I ( 2; - 1 ) + SBT: a > 0 hàm số đồng biến trên (2; )+∞ Hàm số nghịch biến trên ( ;2)−∞ + BBT: x -∞ 2 +∞ y +∞ +∞ -1 + Đồ thị: Nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng Giao với trục Oy tại điểm A( 0; 3) Giao với trục Ox tại điểm B( 1;0) và C ( 3;0) đồ thị là pa ra bol có bề lõm quay lên trên + Vẽ đúng đồ thị : 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 2.(1điểm) Biến đổi phương trình 2 2 4 5 0 4 3 2 x x m x x m − + − + = ⇔ − + = − đặt 2 1 4 3y x x= − + có đồ thị là ( P ) đã vẽ 2 2y m= − là đường thẳng d song song hoặc trùng trục Ox Vậy số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( P ) và đường thẳng d . Do đó : m < 1 đường thẳng d không cắt ( P) . phương trình vô nghiệm m = 1 đường thẳng d tiếp xúc với ( P ). Phương trình có 1 nghiệm m > 1 đường thẳng d cắt ( P) tại 2 điểm . phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0.25đ 0.25đ 0.5đ Câu II(2điểm) 1. (1điểm) 0 0 0 0 1 1 1 1 cos290 cos110 3sin 250 3( sin70 ) P = + = + − − 0.25đ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 sin 20 3cos20 3cos20 sin 20 3sin 20 cos20 4 sin 60 cos20 cos60 sin 20 4 3sin 40 3 = − − = − = = 0.25đ 0.5đ 2. ( 1điểm) 2 2 3sin cos 4sin 2sin 0 sin ( 3 cos sin 2) 0 sin 0 sin 0 cos 1 3cos sin 2 6 ( ) 7 2 6 x x x x x x x x x x x x x k k z x k π π π π ⇔ + + = ⇔ + + = =  =   ⇔ ⇔     − = − + = −  ÷      =   ⇔ ∈  = +  0.25đ 0.5đ 0.25đ CâuIII(1điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( ) 3( ) 7( ) ( ) 3 7( ) x xy y x y x y xy x y x xy y x y x y xy x y   − + = − − + = −   ⇔   + + = − − + = −     đặt x y u xy v − =   =  hệ trở thành 2 2 2 3 3 7 u v u u v u  + =   + =   0 u o v =  ⇔  =  hoặc 1 2 u v =   =  Suy ra nghiệm của hệ ( 0;0); ( 2;1) ; (-1; - 2) 0.25đ 0.25đ 0.5đ CâuIV:(3điểm) 1. ( 2điểm) + Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 0 0 (0; 2) 7 4 8 0 2 x y x B x y y − − = =   ⇔ ⇒ −   − − = = −   đường thẳng d vuông góc hạ từ G xuống BC là 2 3 0x y+ − = Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và BC . suy ra toạ độ điểm H ( 2;-1). 0.5đ 0.5đ Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên d vừa là đường cao vừa là trung tuyến đi qua A. Vậy H là trung điểm của BC suy ra C( 4; 0 ) Gọi toạ độ đỉnh A ( x; y ) . 3 (0;3)HA HG A= ⇒ uuur uuur 0.5đ 0.5đ 2. ( 1điểm) + 7 sin 8 15 cos 8 AA ⇒ == Ta có 1 15 sin 2 16 bc S bc A= = mà theo đầu bài S= 2 15 4 a 2 4bc a⇒ = (1) Mà 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 2 7 4 15 ( ) ( ) 15 4 b c bc b c bc b c a = + − = + − = + − 4b c a⇒ + = (2) Từ (1) và (2) 1 1 1 1b c bc a b c a + ⇒ = ⇔ + = a b c S S S h h h b c a ⇔ + = ⇔ = + 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu V ( 1 điểm) ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ . . 1 c a c c b c b a a b − − ⇔ + ≤ Áp dụng BĐT côsi tao có 1 1 . 1 2 2 c a c c a c c c b a b a b a − −     ≤ + = + −  ÷  ÷     1 1 . 1 2 2 c b c c b c c c a b a b a b − −     ≤ + = + −  ÷  ÷     1 c a c c b c b a a b − − ⇒ + ≤ dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ab c a b = + 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ . Trường THPT Quế Võ I ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM 2010 - 2 011 MÔN : TOÁN Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu I: ( 3 điểm ) Cho. giao đề ) Câu I: ( 3 điểm ) Cho hàm số 2 4 3y x x= − + 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số. 2. Dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm