TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 9

Bíc 3 : KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn.. 8.[r]

tổng hợp kiến thức toán 9 1 Điều kiện để thức có nghĩa.

A cã nghÜa A 

2 Các công thức biến đổi thức. a

2 A A

b AB  A B (A0;B0)

c

( 0; 0)

A A

A B B  B   d

2 ( 0)

A B A B B

e

2 ( 0; 0) A B  A B A B

2 ( 0; 0) A B A B A B

f

1

( 0; 0)

A

AB AB B

B B  

i

( 0)

A A B B B

B  

k

2

( )

( 0; )

C C A B

A A B A B

A B     

m

( )

( 0; 0; )

C C A B

A B A B A B

A B     

 3 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt  a  a'

(d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b'

4 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)

(d) (P) cắt hai ®iĨm: nghiƯm ph©n biƯt (d) tiÕp xóc víi (P) điểm: có nghiệm kép (d) (P) điểm chung: vô nghiệm 5 Phơng trình bậc hai.

Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0)

C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän

 = b2 - 4ac

Nếu > : Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1=

− b+√Δ

2a ; x2=

− b −√Δ 2a NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép :

x1=x2=− b 2a

NÕu  < : Phơng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac víi b = 2b'

- NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

x1= b

'

+√Δ'

a ; x2=

− b'−√Δ' a - NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp:

x1=x2=− b

'

a

- NÕu ' < : Ph¬ng trình vô nghiệm 6 Hệ thức Viet ứng dụng.

- HƯ thøc Viet:

NÕu x1, x2 lµ nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

1

1

b S x x

a c P x x

a             

- Mét số ứng dụng:

+ Tìm hai số u v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)

+ Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =

c a NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 =

c a 7 Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình

Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình ( k)

Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán vµ kÕt ln

8 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0có 2 nghiệm phân biệt.

 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt

¿

a≠0 Δ>0

¿{

¿

hc

¿

a ≠0 Δ'>0

¿{

¿

9 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 1 nghiệm.

 §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:

¿

a=0 b≠0

¿{

¿

hc

¿

a ≠0 Δ=0

¿{

¿

hc

¿

a ≠0 Δ'=0

¿{

¿

10 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm kép.

 §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:

¿

a ≠0 Δ=0

¿{

¿

hc

¿

a ≠0 Δ'=0

¿{

¿

11 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = vơ nghiệm.

 §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

¿

a≠0 Δ<0

¿{

¿

hc

¿

a ≠0 Δ'<0

¿{

¿

12 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm dấu.

 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:

¿

Δ≥0 P=c

a>0

¿{

¿

hc

¿

Δ'≥0 P=c

a>0

¿{

¿

13 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm d ơng.

Điều kiện có hai nghiệm dơng:

Δ≥0 P=c

a>0 S=−b

a>0

¿{ {

¿

hc

¿

Δ'≥0 P=c

a>0 S=−b

a>0

¿{ {

¿

14 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm âm.

 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:

¿

Δ≥0 P=c

a>0 S=−b

a<0

¿{ {

¿

hc

¿

Δ'≥0

P=c a>0 S=−b

a<0

¿{ {

¿

15 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm trái dấu.  Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P <

16 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x = x1.  Cách giải:

- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị cđa m vµo (*)  x1, x2

17 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cú nghim x

1, x2 thoả mÃn các ®iỊu kiƯn:

a αx1+βx2=γ b x12+x22=k c x1+

1

x2=n d x1

+x22≥h

e x13+x23=t

Điều kiện chung: '  (*)

Theo định lí Viet ta có:

¿

x1+x2= −b

a =S(1) x1.x2=c

a=P(2)

¿{

¿

a Trêng hợp: x1+x2=

Giải hệ

x1+x2=b a αx1+βx2=γ

¿{

¿

Thay x1, x2 vµo (2) m

Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trờng hợp: x1+x2

2

−2x1x2=k

x12+x22=k ↔¿ Thay x1 + x2 = S = − b

a vµ x1.x2 = P = c

a vào ta có: S2 - 2P = k  Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*) c Trờng hợp:

x1+

x2=n ↔ x1+x2=nx1.x2↔− b=nc Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d Trờng hợp: x12+x22≥h S22P h 0

Giải bất phơng trình S2 - 2P - h  chän m tho¶ m·n (*) e Trờng hợp: x13+x23=t S33 PS=t

Giải phơng trình S33 PS=t chọn m thoả mÃn (*) 18 Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0

Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0

Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt

at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0

v« nghiƯm v« nghiƯm

2 nghiệm âm vô nghiệm

nghiệm kép âm vô nghiÖm

1 nghiệm dơng nghiệm đối

2 nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm

19 Giải phơng trình A(x2+

x2)+B(x+

x)+C=0 Đặt x+1

x = t  x2 - tx + = Suy t2 = ( x+1

x )2 = x

+

x2+2  x

+ x2=t

22

20.Giải phơng tr×nh A(x2+

x2)+B(x −

x)+C=0 Đặt x 1

x = t x2 - tx - = Suy t2 = ( x −1

x )2 = x

+

x2−2  x

+ x2=t

2 +2

21 Giải hệ phơng tr×nh

¿

ax+by=c a ' x+b ' y=c '

{

Các phơng pháp giải:

+ Phơng pháp cộng + Phơng pháp thÕ

+ Phơng pháp đặt ẩn phụ

22 Giải phơng trình dạng f(x)=g(x) (1)

Ta cã

√f(x)=g(x)↔

g(x)≥0(2)

f(x)=[g(x)]2(3)

¿{

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghim thớch hp nghim ca (1)

23.Giải phơng trình dạng f(x)+h(x)=g(x)

Điều kiện có nghĩa phơng trình

f(x)0 h(x)0 g(x)0

¿{ {

¿

Với điều kiện thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x 24 Giải phơng trình dạng |f(x)|=g(x)

 Phơng pháp 1: |f(x)|=g(x)

g(x)0

[f(x)]2=[g(x)]2 {

Phơng pháp 2: XÐt f(x)   f(x) = g(x) XÐt f(x) <  - f(x) = g(x)  Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) 25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)

 Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn. - Biến đổi hàm số y = f(x) cho:

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M Do ymax = M g(x) =

- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:

y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ymin = m h(x) =

 Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.  Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức 26 Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số

y = f(x) vµ y = g(x)

Hãy khảo sát tơng giao hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hồnh độ điểm chung: f(x) = g(x) (*)

- NÕu (*) cã nghiƯm th× (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung

27 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k.  Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*)

- Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình (D)

28 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)  Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b

(D) qua A B nªn ta cã:

¿ yA= axA+ b

yB= axB+ b

¿{

¿

Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D)

29 Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)  Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b

Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ ợc b suy phơng trình (D)

30 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

 Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) cã nghiƯm kÐp

Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***)  a b  Phơng trình đờng thẳng (D)

1 Hệ thức lợng tam giác vuông.

b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc

a2 = b2 + c2

h2= b2+

1 c2 2 TØ số lợng giác góc nhọn

0 < sin < < coss < tgα=sinα

cosα cotgα= cosα sinα sin2 + cos2 = 1

tg.cotg = 1+tg2α=

cos2α 1+cotg 2α

=

sin2α 3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông.

b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4 Đờng tròn.

- Quan h vng góc đờng kính dây.

+ §êng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây

ấy

+ Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm

vuông góc với dây

- Liờn hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây cách tâm

+ Hai dây cách tâm

+ Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn

a b' c'

b c

h

H B

C A

b a c

C B

A

PhÇn II:

- Liên hệ cung dây:

Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây bng

+ Hai dây căng hai cung b»ng

+ Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn 5 Tiếp tuyến đờng tròn

- TÝnh chÊt tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính ®i qua tiÕp ®iĨm

- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:

+ Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm đờng trịn đến đờng thẳng bán kính

+ Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vng góc với bán kính qua điểm

- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t nhau

MA, MB hai tiếp tuyến cắt th×: + MA = MB

+ MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB  Chú ý: Trong đờng trịn

- C¸c gãc néi tiÕp b»ng chắn cung

- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung

- Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn

- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung 6 Độ dài đờng tròn - Độ dài cung trịn.

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180

Rn l 7 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

360

R n lR S  8 Các loại đờng tròn

Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác Tâm đờng tròn

giao ba đờng trung trực tam

gi¸c

Tâm đờng tròn giao ba đờng phân giác

của tam giác

9 Các loại hình không gian.

a H×nh trơ.

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h

b H×nh nãn:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiƯn tÝch toµn phần: Stp = 2rl + r2

c Hình nón cơt:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V =

2 2

1

( )

3h r r r r d Hình cầu.

B O A

M

O

C B

A

O

C B

- ThĨ tÝch h×nh trơ: V =

1 r

3  h

- DiƯn tÝch mỈt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cÇu: V =

3

4 3R

10 Tø gi¸c néi tiÕp:

 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc  11 Chứng minh MT tiếp tuyến đờng trịn (O;R)

C¸ch chøng minh:

- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)

- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp

12 Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính:

- Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác