đề thi học sinh giỏi Toán 8 .6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Chứng minh rằng với mọi n Z: A (n) = n(n 2 +1) (n 2 +4) 5 Bài 2: (2đ) Cho 4a 2 + b 2 = 5ab với 2a > b > 0 Tính số trị của phân thức: P= 22 4 ba ab Bài 3: (1,5đ) Phân tích thành nhân tử: x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz Bài 4: (2,5đ) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: ( c ba + a cb + b ac )( ba c + cb a + ac b =9 Bài 5: (2đ) Cho hình vuông ABCD, vẽ về phía trong của hình các góc ODC = OCD =15 0 (2 góc này cùng chung cạnh DC và 2 cạnh kia giao nhau ở O). Chứng minh tam giâc AOB đều ? -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 .6 Bài 1 : (2đ) Ta xét mọi trờng hợp khi chia n Z cho 5, ta có số d là 0, 1, 2 . Trờng hợp 1: r =0 n 5 0,5đ Trờng hợp 2: r = 1 n = 5k 1 n 2 = 25k 10k+1 n 2 +4 5 0,5đ Trờng hợp 3: r = 2 n = 5k 2 n 2 = 25k 20k+4 n 2 +1 5 0,5đ A (n) là tích của 3 thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A (n) 5, với mọi n Z (đpcm) 0,5đ Bài 2: (2đ) Từ 4a 2 + b 2 = 5ab, ta có: 4a 2 - 4ab ab + b 2 = 0 0,5đ 4a (a- b) b(a - b) = 0 (a- b)(4a - b) = 0 (*) 0,5đ Vì 2a > b > 0 nên 4a - b 0 Vậy từ (*) suy ra a - b = 0 tức là a = b 0,5đ Thay a = b vào P ta đợc: P= 22 4 ba ab = 22 2 4 aa a = 2 2 3a a = 3 1 (do a 0 ) 0,5đ Bài 3: (1,5đ) Phân tích thành nhân tử: x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz =( x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 )+ z 3 - 3xyz -3x 2 y-3xy 2 0,5đ = (x+ y) 3 )+ z 3 - 3xyz -3x 2 y-3xy 2 =[(x+ y) 3 )+ z 3 ]- (3xyz +3x 2 y+3xy 2 ) =(x+ y+ z)[(x+y) 2 - (x+y)z +z 2 ] - 3xy(x +y+z) 0,5đ =(x+ y+ z)(x 2 + 2xy+ y 2 - xz - yz + z 2 - 3xy) =(x+ y+ z)(x 2 + y 2 + z 2 - xz - yz xy) 0,5đ Bài 4: (2,5đ) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: ( c ba + a cb + b ac )( ba c + cb a + ac b =9 Đặt: x = c ba ; y = a cb ; z= b ac 0,5đ Vế trái của đẳng thức cần chứng minh sẽ trở thành: (x + y + z)( x 1 + y 1 + z 1 )= 3 + x zy + + y xz + + z yx + (*) 0,5đ Ta có: x zy + =( a cb + b ac ) ba c = ba c . ab aacbcb 22 + = ba c . ab acbcba )()( 22 = ba c . ab bacbaba )())(( ++ = ba c . ab cbaba ))(( + = ab c .(-a-b+c) hay = ab c .(-a-b+c-c+c) = ab c .(-a-b-c+2c) = ab c .[2c-(a+b+c)] theo bài ra: a+b+c = 0 nên: x zy + = ab c 2 2 0,5đ áp dụng hoán vị vòng y z x y c a b c ta đợc: x zy + + y xz + + z yx + = ab c 2 2 + bc a 2 2 + ca b 2 2 = )( 2 333 cba abc ++ 0,5đ Theo kết quả bài 3 x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x+ y+ z)(x 2 + y 2 + z 2 - xz - yz xy) Hay a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a+ b+ c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc ac) Bài ra a+ b+ c =0 nên a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 Hay a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Vậy x zy + + y xz + + z yx + = abc abc 3 2 = 6 Kết hợp với (*) ta đợc: (x + y + z)( x 1 + y 1 + z 1 )= 3 + 6 = 9 (đpcm) 0,5đ Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ Dựng BIC = DOC. Nh vậy OD=OC=IC=IB và DCO = ICB = 15 0 Suy ra ICO =60 0 , IOC cân có ICO =60 0 nên tam giâc này đều, do đó OI=IC=IB. Mặt khác : BIC = 180 0 - ( IBC + ICB ) = 15O 0 OIB = 360 0 60 0 - 150 0 = 150 0 Vậy OIB = BIC (cgc) BO=BC(*) OBC cân đỉnh B và có OBI =30 0 Ta lại có: AB=BC (cạnh hình vuông), kết hợp với (*) AB=BO nên AOB cân , tam giác này có = ABO 1V - 30 0 = 60 0 nên tam giác này đều (đpcm) 1,5đ --------------------------Hết đáp án------------------------------- B C A D O I Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . + y 3 + z 3 - 3xyz =( x 3 +3x 2 y+ 3xy 2 +y 3 )+ z 3 - 3xyz -3x 2 y- 3xy 2 0,5đ = (x+ y) 3 )+ z 3 - 3xyz -3x 2 y- 3xy 2 =[(x+ y) 3 )+ z 3 ]- (3xyz +3x 2 y+ 3xy. y+ 3xy 2 ) =(x+ y+ z)[(x +y) 2 - (x +y) z +z 2 ] - 3xy(x +y+ z) 0,5đ =(x+ y+ z)(x 2 + 2xy+ y 2 - xz - yz + z 2 - 3xy) =(x+ y+ z)(x 2 + y 2 + z 2 - xz - yz xy)