MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP HUYỆN Môn : toán 9 Năm học: 2010 - 2011 Chủ đề MỨC ĐỘ Tổng Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Số học C3a,b 4 C1 3 3 7 Đại số C2 3 C4 4 2 7 Hình học C6a 2 C6b,c 4 3 6 Tổng 1 2 5 11 2 7 8 20 Câu 1: (3 điểm) Chứng minh rằng { { 11 .1 22 2 − 2n chữ số n chữ số là một số chính phương. Câu 2: (3 điểm)Cho biểu thức: M = ) 1 1 1.( )1(4 )1(4)1(4 2 − − −− −++−− x xx xxxx a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa. b.Rút gọn M. Câu 3 (4 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giá trị biểu thức 2 2 4 1 3 2 1 1 n M n n n = + + − + không thể là một số tự nhiên. b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 2 3 2 18 73 0x y xy x y + + − + + = Câu 4 (4 điểm). a.Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? b.Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 1 2 x x + − với 0 < x < 2 Câu6: (3 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm) dây BC = 24cm. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC. a, Chứng minh rằng HB=HC. b,Tính độ dài OH. c, Tính dộ dài OA. Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu Đáp án Thang điểm 1 (3đ) Đặt { 11 .1 k = n chữ số Ta có { { 11 .1 22 2 − = k.10 n + k -2k 2n chữ số n chữ số = k(10 n -1) = k.9k = (3k) 2 = (33 .3) 2 n chữ số Vậy { { 11 .1 22 2 − 2n chữ số n chữ số là một số chính phương 1 1 0.75 0.25 2 (4đ) a) M có nghĩa khi: 2 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0 1 0 x x x x x x x  − − ≥   + − ≥  − − >   − ≠  ⇔ 1 < x < 2 hoặc x > 2 1.25 0.75 b) M 1 2 . 2 1111 1 2 )2( )11()11( 2 22 − − − +−+−− = − − − +−+−− = x x x xx x x x xx - Với 1 < x < 2, ta có: M xx x x xx − = − − − +−+−− = 1 2 1 2 . 2 1111 -Với x > 2, ta có: M 1 2 1 2 2 1111 − = − − − +−+−− = x x x x xx 0,5 0.75 0.75 3 (4đ) a. Ta có M = ( ) ( ) 2 4 1 3 1 1 1 n n n n + − + + = ( ) ( ) 2 4 3 1 4 1 3 1 1 3 1 n n n n n n + − − = − + − Giả sử M là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n. Suy ra: (4n–1) M (3n–1), ∀n ⇒ (12n –3) M (3n – 1), ∀n Mặt khác: (12n – 4) M (3n – 1 ) , ∀n Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)] M (3n -1),∀n Hay 1 M (3n – 1) , ∀n (vô lý) Vậy M không thể là số tự nhiên (đpcm) 0.5 0.5 0.5 0.5 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN b. Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 8 2x x y y y+ − + − = − ( ) 2 2 9 8 2x y y⇔ + − = − (*) Pt (*) có nghiệm nguyên khi: y∈Ζ, 8 – 2y 2 ≥ 0 ⇒ y∈Ζ và 2y ≤ ⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 } + Với y = 0, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 8 ( loại ) + Với y = ± 1, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 6 ( loại ) + Với y = ± 2, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 0 - Nếu y = 2 thì x = 7 (thỏa mãn) - Nếu y = -2 thì x = 11 (thỏa mãn) Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm: ( 7; 2) , (11; - 2) 0.5 0.5 0.5 0.5 4 (3đ) a. Ta có: a 2 – ab + b 2 ≥ ab, ∀a, b ≥ 0 ⇒ (a+b)( a 2 – ab + b 2 ) ≥ ab(a+b), ∀a, b ≥ 0 ⇒ a 3 +b 3 +1 ≥ ab(a+b+c), ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1) ⇒ 3 3 a+b+c a b 1 0 c + + ≥ > , ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1) ⇒ 3 3 1 1 c a b a b c ≤ + + + + (1) + Tương tự, ta chứng minh được: 3 3 1 1 a b c a b c ≤ + + + + (2) và 3 3 1 1 b c a a b c ≤ + + + + (3) + Cộng vế theo vế (1), (2) và (3): 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: ( a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ) ≥ (ax +by ) 2 Ta có: 2A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x x             + − + ≥ − +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷     − −           => 2A ( ) 22312 2 +=+≥ Suy ra: min 2A = 2 1 2 3 2 2 2 x x x x − + ⇔ = − ( ) 2 2 2 1 2 x x ⇔ = − 2 2 2 4 4x x x⇔ = − + 0.25 0.25 0.25 0.25 2 4 4 8⇔ + + =x x ( ) 2 2 8x⇔ + = 2 8x⇔ + = Vì 0 < x < 2 2 2 2x⇔ = − Vậy min A = 1,5 2 2 2 2x + ⇔ = − 0.25 0.25 5 (6đ) Vẽ hình, ghi Gt,kl : a. Tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của · BOC nên HB= HC . b. OH = 2 2 OB HB− = 2 2 15 12 9cm− = c. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam tam giác OBA ta có OB 2 = OH.OA => OA = 2 2 15 25( ) 9 OB cm OH = = 1 1 2 2 NGƯỜI RA ĐỀ Nguyễn Tiến Hải . Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Số học C3a,b 4 C1 3 3 7 Đại số C2 3 C4 4 2 7 Hình học C6a 2 C6b,c 4 3 6 Tổng 1 2 5 11 2 7 8 20 Câu 1: (3 điểm) Chứng. điểm)Cho biểu thức: M = ) 1 1 1.( )1 (4 )1 (4) 1 (4 2 − − −− −++−− x xx xxxx a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa. b.Rút gọn M. Câu 3 (4 điểm) a. Chứng minh rằng với