MơC LơC Hµm sè nhiỊu biÕn sè, hµm vÐc tơ nhiều biến số 1.1 Không gian Rn 1.1.1 ChuÈn khoảng cách Rn 1.1.2 Lân cận, tập đóng, tập mở tập bị chặn 1.1.3 Giới hạn dÃy điểm Rn 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 1.2.1 Giới hạn ánh xạ 1.2.2 Giới hạn lặp 1.2.3 Hàm liên tục 3 9 14 17 giải tích II Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng sinh viên tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật Ch-ơng Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Chuẩn khoảng cách Rn Phù hợp với kí hiệu giáo trình Đại số Giải tích I, sách ta kí hiệu R tập số thực, Rn không gian véc tơ với phép toán u + v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + ) αu = α(u1 , u2, , un) = (αu1 , αu2 , , αun) víi mäi α ∈ R, u = (u1 , u2, , un), v = (v1, v2, , vn) Rn Các véc tơ thuộc Rn , giáo trình đ-ợc gọi điểm không gian Rn kí hiệu ta th-ờng sử dụng chữ in đậm nh- a, b, u, v, ta kí hiệu chúng chữ in hoa nh- M, N, A, B, Không gian Rn không gian ơclit với tích vô h-ớng u, v = u1 v1 + u2v2 + · à à + un Độ dài véc t¬ u = (u1 , u2, , un) ∈ Rn , kí hiệu |u|, đ-ợc gọi chuẩn không gian Rn q |u| = u21 + u22 + · · · + u2n Chn cđa vÐc t¬ u tÝnh theo công thức đ-ợc gọi chuẩn ơclit Rn Thực chất chuẩn véc tơ ánh xạ từ Rn vào R, có tính chất Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số ã Với u ∈ Rn , |u| > 0, ®ång thêi |u| = u = ã |λu| = |λ| · |u| víi mäi λ ∈ R mäi u ∈ Rn • |u + v| |u| + |v| víi mäi u, v ∈ Rn (bÊt đẳng thức tam giác) Chú ý ánh xạ |x| : Rn R đ-ợc xác định |x| = max |xi| 16i6n x = (x1, x2 , , xn)
thoả mÃn tính chất nh- chuẩn ơclit, đ-ợc gọi chuẩn max Rn L-u ý r»ng ta cã thĨ cã nhiỊu chn kh¸c không gian Rn , giáo trình ta hạn chế xét chuẩn ơclit Để xây dựng khái niệm giới hạn, khái niệm giải tích Rn , nh- giải tích I, ta cần khái niệm khoảng cách hai điểm không gian Rn Khoảng cách hai ®iĨm x = (x1 , x2, , xn), y = (y1 , y2, , yn) Rn đ-ợc xác ®Þnh v u n uX d(x, y) = |x − y| = t (xi − yi )2 i=1 Tõ c¸c tÝnh chÊt cđa chn, ta suy c¸c tÝnh chÊt khoảng cách ã Với x, y Rn , d(x, y) > vµ d(x, y) = x = y ã d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ Rn • d(x, z) d(x, y) + d(y, z) víi x, y, z Rn (bất đẳng thức tam giác) Chú ý khoảng cách hai điểm x, y Rn đ-ợc xác định thông qua chuẩn max d0 (x, y) = |x − y| = max |xi yi | 16i6n Khoảng cách d thoả mÃn tính chất 1.1.2 Lân cận, tập đóng, tập mở tập bị chặn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a điểm thuộc Rn , > số thực d-ơng tuỳ ý Ng-ời ta gọi tËp hỵp Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} hc {x ∈ Rn | d(x, a) < } 1.1 Không gian Rn lân cận bán kính > điểm a Rn (hoặc gọi hình cầu mở tâm a bán kính ) Nếu V Rn V chứa lân cận bán kính > điểm a V đ-ợc gọi lân cận a Chú ý lân cận điểm Rn đ-ợc định nghĩa thông qua chuẩn max Ta dễ dàng chứng minh đ-ợc hệ thống lân cận điểm nh- cho dù đ-ợc xác định theo chuẩn (chuẩn ơclit hay chuẩn max) Rn Hiển nhiên hợp giao hai lân cận điểm a lân cận a Hoàn toàn giống nh- khái niệm tôpô R, ta nói đến điểm tụ, điểm cô lập, tập đóng, tập mở không gian Rn Giả sử H Rn tập Rn Điểm a Rn đ-ợc gọi điểm tụ tập H lân cận a chứa vô hạn phần tử H (®iĨm tơ cđa tËp H cã thĨ thc H cịng không thuộc tập H) Dễ dàng chứng minh a điểm tụ tập H mäi l©n cËn cđa a chøa Ýt nhÊt mét phần tử khác a thuộc H Chẳng hạn U (a) hình cầu mở tâm a bán kính Mọi ®iÓm x ∈ Rn tháa m·n tÝnh chÊt |x − a| = (hay d(x, a) = ) điểm tụ hình cầu H Rn đ-ợc gọi tập đóng Rn chứa điểm tơ (nÕu cã) cđa H (Ta quy -íc tËp ∅ tập đóng) Tập hợp gồm hữu hạn phần tử tập đóng, đặc biệt tập B (a) = {x ∈ Rn | |x − a| δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) δ}) lµ tËp đóng B (a) đ-ợc gọi hình cầu đóng tâm a bán kính Ta dễ dàng chứng minh đ-ợc ã Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng ã Giao hữu hạn vô hạn tập đóng tập đóng Điểm a H đ-ợc gọi điểm cô lập tập H Rn tồn lân cận U (a) cña a cho Uδ (a) ∩ H = {a} Điểm a Rn đ-ợc gọi điểm biên tập H lân cận a ®Ịu chøa Ýt nhÊt mét ®iĨm thc H vµ mét điểm không thuộc H Điểm b Rn đ-ợc gọi điểm tập H tồn l©n cËn Uδ (b) cđa b cho Uδ (b) H = Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số Điểm a A đ-ợc gọi điểm tập A Rn tồn lân cận U (a) a cho lân cận U (a) đ-ợc chứa tËp A (Uδ (a) ⊂ A) TËp A ⊂ Rn đ-ợc gọi tập mở phần tử A điểm A Nói cách khác với a A tồn lân cËn Uδ (a) cho Uδ (a) ⊂ A Ta quy -ớc tập tập mở Hình cầu mở Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) < }) tập mở Nh- hình cầu mở tập mở ví dụ ta đà biết hình cầu đóng tập đóng Tập hợp sau Rn viết d-ới dạng tích Đề n khoảng H = (a1, b1) × (a2, b2 ) × · · · × (an , bn ) < bi , , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, , n tập mở H đ-ợc gọi hình hộp Rn T-ơng tự tích Đề n đoạn thẳng [a1, b1] ì [a2, b2] ì · · · × [an , bn ] < bi, , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, , n tập đóng đ-ợc gọi hình hộp đóng Rn Ta dễ dàng chứng minh đ-ợc ã Giao hữu hạn tập mở tập mở ã Hợp hữu hạn vô hạn tập mở tập mở Cuối ta có định lí sau, chứng minh t-ơng tự nh- R Định lí 1.1.1 Phần bù (trong Rn ) tập mở tập đóng phần bù tập đóng tập mở Tập A Rn đ-ợc gọi bị chặn (hay tập giới nội) Rn tập đ-ợc chứa hình cầu nào
đó A đ-ợc chứa hình cầu tâm b¸n kÝnh K > 0, A ⊂ UK (0) Nói cách khác tồn số K > cho |a| K víi mäi a ∈ A 1.1.3 Giới hạn dÃy điểm Rn Cũng nh- giải tích hàm biến, giới hạn khái niệm sở ban đầu Mọi vấn đề giải tích dựa khái niệm giới hạn Để thuận tiện kí hiệu không gây nhầm lẫn, ta viết x(1), x(2), , x(k), hay {x(k)}∞ k=1 lµ d·y n điểm R 1.1 Không gian Rn n n Định nghĩa 1.1.2 DÃy {x(k) } k=1 R hội tụ có giới hạn a ∈ R , kÝ hiÖu: lim x(k) = a k→∞ hc x(k) → a, nÕu lim |x(k) − a| = k Ta nói đầy đủ x(k) → a k → ∞ nÕu cho tr-íc  > tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0 () ∈ N (n0 phơ thc vµo ) cho víi mäi k > n0 ta cã: |x(k) − a| <  D·y {x(k)}∞ kh«ng hội tụ đ-ợc gọi dÃy phân kì Định nghĩa t-ơng đ-ơng với khẳng định dÃy điểm (véc tơ) Rn có giới hạn chuẩn véc tơ dần tới Định nghĩa giới hạn dÃy điểm nêu diễn đạt theo ngôn ngữ lân cận nh- sau: lim x(k) = a vµ chØ mét lân cận điểm a chứa k số hạng dÃy {x(k)} k=1 trừ hữu hạn số hạng đầu Hoàn toàn giống nh- tập số thùc R, ta cã thĨ chøng minh d·y ®iĨm {x(k)}∞ k=1 cã giíi h¹n nhÊt nÕu d·y héi tơ Hơn định lí sau cho ta mối liên hệ giới hạn dÃy điểm giới hạn thành phần (k) (k) (k)
n Định lí 1.1.2 Víi mäi d·y {x(k)}∞ x(k) = (x1 , x2 , , xn ) k=1 R (k) lim x(k) = (a1 , a2, , an) ⇔ lim xi k→∞ k→∞ = ∀i = 1, 2, , n Chøng minh ThËt vËy, kÝ hiÖu a = (a1, a2, , an) theo định nghĩa chuẩn q (k) (k) (k) (k) |x − a| = (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an )2 , suy (k) (k) |xi − | |x(k) − a| |x1 − a1| + · · · + |x(k) n − an | Tõ bÊt đẳng thức thứ nhất, theo nguyên lí kẹp giới h¹n d·y sè nÕu lim x(k) = a k→∞ suy lim k→∞ (k) xi = ∀i = 1, 2, , n Ng-ợc lại theo bất đẳng thức thứ hai, n P (k) |xi − ai| → kÐo theo i=1 lim x(k) = a k→∞  Ch-¬ng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số n Định lí khẳng định việc tìm giới hạn dÃy điểm {x(k) } k=1 R (k) t-ơng đ-ơng với việc tìm giới hạn thành phần tọa độ xi x(k) Do ta nói hội tụ dÃy điểm x(k) Rn hội tụ theo tọa độ Nhvậy giới hạn dÃy điểm Rn (nếu tồn giới hạn) có tính chất tuyến tÝnh còng nh- d·y sè R lim (x(k) + y(k)) = lim x(k) + lim y(k) k→∞ k→∞ lim α · x (k) k→∞ k→∞ (k) = α · lim x , ∀α ∈ R k→∞ Trong kh«ng gian Rn , vấn đề t-ơng tự nh- nguyên lí kẹp, giới hạn dÃy số đơn điệu bị chặn R, ý nghĩa điểm Rn không đ-ợc thứ tự Tuy nhiên ta có khái niệm dÃy Cauchy n Định nghĩa 1.1.3 DÃy {x(k) } k=1 đ-ợc gọi dÃy Cauchy R nÕu cho tr-íc  > t ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0() ∈ N (n0 phơ thc vµo ) cho víi mäi k, m > n0 ta cã: |x(k) − x(m) | <  Râ rµng d·y {x(k) }∞ k=1 lµ d·y Cauchy dÃy thành phần (k) {xi } k=1 , ∀i = 1, 2, , n cịng lµ dÃy Cauchy R Do theo định lí 1.1.2 ta có n Định lí 1.1.3 DÃy {x(k)} k=1 R héi tơ vµ chØ nã lµ d·y Cauchy Kh¸i niƯm vỊ d·y cđa mét d·y điểm Rn khác với dÃy R Định lí 1.1.4 (Bolzano) Mọi dÃy giới nội Rn ®Ịu chøa mét d·y héi tơ (k) n ∞ Chøng minh Gi¶ sư d·y {x(k)}∞ k=1 R dÃy bị chặn DÃy số {x1 }k=1 (thành phần thứ {x(k) }) bị chặn, theo định lÝ Bolzano vỊ d·y sè, d·y ®ã (k ) chøa mét d·y {x1 }∞ k1 =1 héi tô XÐt mét d·y (víi c¸c chØ sè k1 võa đ-ợc phát hiện) dÃy {x(k1 )} k1 =1 Thành phần thứ hai bị chặn, áp dụng định lí Bolzano dÃy số, (k ) còng chøa mét d·y {x2 }∞ k2 =1 hội tụ Cứ nh- vậy, sau n b-ớc lặp lại, ta đ-ợc dÃy {x(kn )} kn =1 dÃy đà cho ban đầu, thành phần dÃy hội tụ Theo định lí 1.1.2, dÃy ®ã héi tơ Rn , ®.p.c.m  1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ¸nh x¹ 1.2.1 Giíi h¹n cđa ¸nh x¹ ¸nh x¹ f : A → Rm ®ã A ⊂ Rn đ-ợc gọi hàm véc tơ n biến Tr-ờng hợp riêng m = 1, ánh xạ f : A R đ-ợc gọi hàm số n biến, hay hàm thực n biến số
Ví dụ ánh xạ f : R+ × R → R3, f (x, y) = ln x + y, sin(x2 + y 2), x − y hàm véc tơ biến nhận giá trị R3 ánh xạ : R3 → R, π(x, y, z) = y lµ phÐp chiÕu lên thành phần thứ hai (trục tung) hàm thực ba biến số Tổng quát k : Rn → R, π(x1, x2, , xn) = xk , phÐp chiếu lên thành phần thứ k, hàm thực n biến số Với hàm véc tơ n biến f : A → Rm , A ⊂ Rn fk = πk f đ-ợc gọi thành phần thứ k f hiển nhiên f = (f1 , f2 , , fm) Hàm thành phần fk : A R hàm thực n biến số Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm véc tơ n biến f : A Rm , a điểm tụ A Ta nói giới hạn hàm f b Rm trình x a, kí hiệu lim f (x) = b nÕu x→a ∀ > 0, ∃δ > cho x tháa m·n < |x − a| < δ th× |f (x) − b| <  Nói cách khác với lân cận U (b) tuỳ ý b, tồn lân cận U (a) a cho x ∈ Uδ (a) ∩ A x 6= a ta có f (x) U (b) Cũng nh- giới hạn hàm thực biến số, ta dễ dàng chứng minh Định lí 1.2.1 Nếu hàm f có giới hạn trình x a giới hạn hàm Chứng minh hoàn toàn nh- chứng minh nguyên lí chuyển đổi giới hạn hàm thực biến số dÃy số, ta có định lí t-ơng tự Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số 10 Định lí 1.2.2 Điều kiện cần đủ ®Ĩ tån t¹i giíi h¹n lim f (x) = b với dÃy xa (k) điểm {x(k)} k=1 a, dÃy giá trị t-ơng ứng {f (x )}k=1 tồn giới hạn (Suy giới hạn phải b, lim f (x(k)) = b.) k Do hàm véc tơ n biến f = (f1, f2 , , fm) lµ mét bé có thứ tự gồm m hàm thành phần, theo định lÝ 1.1.2 víi mäi i = 1, 2, , m lim f (x) = b ⇔ lim fi (x) = bi xa xa số thực bi thành phần tọa độ b = (b1 , b2, , bm) Rm Tõ nhËn xÐt nµy, thực hành việc tìm giới hạn hàm véc tơ đơn giản đ-a toán tìm giới hạn hàm thành phần fi , chúng hàm thực n biến số Chú ý song song víi kÝ hiƯu lim f (x) = b, víi a = (a1, a2, , an) ng-êi ta x→a cßn sử dụng kí hiệu d-ới giới hạn hàm véc tơ n biến trình x = (x1 , x2, , xn) → a = (a1, a2, , an) lim f (x1 , x2, , xn) = b x1 a1 x2 a2 ÃÃà xn an Sử dụng định lí 1.2.2, ta dễ dàng chứng minh giới hạn hàm vÐc t¬ cã tÝnh tuyÕn tÝnh lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x), x→a x→a x→a lim (αf )(x) = α lim f (x) x→a x→a Với hàm thực nhiều biến số, sử dụng định lí 1.2.2 kết liên quan tới giới hạn dÃy số thực giải tích hàm biến, không khó khăn để chứng minh khẳng định sau ã Giả thiết f, g hàm thực n biến số, tồn giới hạn hữu hạn lim f (x) = u, lim g(x) = v Khi ®ã x→a x→a
lim f (x) · g(x) = u · v, x→a lim f (x) x→a g(x) = u v (v 6= 0) ã Nguyên lí kẹp víi hµm sè nhiỊu biÕn sè u, v : Rn → R u(x) f (x) v(x), lim u(x) = lim v(x) = L ⇒ x→a x→a lim f (x) = L xa 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 11 ã Đặc biệt tích cđa mét VCB vµ hµm giíi néi cịng lµ VCB trình Cụ thể hơn, giả thiết , f : Rn R, f hàm bị chặn lân cận a lim α(x) = 0, ®ã x→a
lim α(x) · f (x) = x→a L-u ý r»ng nÕu lim f (x) = 0, ta cịng nãi hµm vÐc tơ f (x) VCB trình xa x → a vµ kÝ hiƯu f (x) = o(x) Ng-êi ta đ-a vào khái niệm dÃy điểm dần vô nh- khái niệm giới hạn hàm biến tiến dần vô Định nghĩa 1.2.2 ã Ta nói dÃy điểm {x(k)} dần vô nÕu d·y sè {|x(k)|}∞ k=1 tiÕn tíi v« cïng lim |x(k) | = + k ã Ta nói giới hạn hàm f b Rm trình x dần vô cùng, kí hiệu lim f (x) = b nÕu |x|→∞ ∀ > 0, ∃K > cho x tháa m·n |x| > K th× |f (x) b| <  Hoặc t-ơng đ-ơng với nó, diễn đạt theo ngôn ngữ dÃy, với dÃy điểm {x(k)} dần vô cùng, dÃy giá trị hàm t-ơng ứng {f (x(k))} dần tới b (k) (k) NhËn xÐt r»ng d·y ®iĨm {x(k) = (x1 , , xn )} Rn dần vô vµ n P (k) (k) chØ d·y sè |xi | (hoặc max |xi |) có giới hạn vô i=1 16i6n Trong ví dụ về
giới hạn hàm hai biến (hoặc ba biến) trình x = (x, y) x = (x, y, z) dần vô th-ờng đ-ợc cho cụ thể Chẳng hạn giới hạn d-ới đ-ợc xét trình x tiến vô theo dạng khác lim f (x, y) hc x→x lim f (x, y) hc x→x lim f (x, y, z) x→+∞ y→−∞ y y+ z Giới hạn thứ đ-ợc xét trình hai thành phần tọa độ x y tiến vô cùng: x tiến ®Õn +∞, y tiÕn ®Õn −∞ Giíi h¹n thø hai đ-ợc xét trình y tiến vô x → x0 Giíi h¹n thø ba đ-ợc xét trình x x0 , đồng thời hai thành phần tọa độ y, z tiến vô Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số 12 Chẳng hạn giải tích hàm biến ta đà biết lim te−t = 0, suy t→+∞ lim (x + y)e−(x+y) = x+ y+ Tuy nhiên dễ dàng chứng minh không tồn giới hạn lim (x + y)ex x+ y+ Ví dụ 1.2.1 (Về giới hạn hàm véc tơ, hàm số nhiều biến số) Tìm giới hạn 2x4 + x − xy + y x→1 x2 + y y→0 lim L-u ý r»ng f lµ hàm thực hai biến, thay viết lim f (x, y) ng-êi (x,y)→(a,b) ta quen sư dơng kÝ hiƯu x→a lim f (x, y) viÕt c¸c biĨu thøc giíi hạn Điều yb xảy với hàm thực ba biến số Quay lại ví dụ trên, hàm x2 + y d-ới mẫu phân thức tiến đến 1, biểu thức tư cđa ph©n thøc, 2x4 + x − xy + y trình (x, y) (1, 0) Theo nhận xét 2x4 + x − xy + y = x→1 x2 + y y→0 lim Giíi h¹n lim (x + y)e−(x +y ) x→∞ y→∞ =0 x, y dần vô Thật lim (x + y)e−(x x→∞ y→∞ +y ) = x→∞ lim xe−(x y→∞ +y ) + x→∞ lim ye(x +y ) y số hạng cã giíi h¹n b»ng x → ∞, y → ∞ |y| −(x2+y2 ) |x| −(x2+y2 ) < xe x2 → 0, < ye y2 e e 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 13 Giới h¹n lim(x + 2y) sin x→0 y→0 x + 2y = x2 + 2y ThËt vËy lim(x + 2y) = 0, thõa sè thø hai lµ hàm bị chặn x0 y0 | sin xx+2y +2y | trªn R Chøng minh không tồn giới hạn xy x0 x2 + y y→0 lim ThËt vËy, kÝ hiÖu f (x, y) = x2xy hàm cần tìm giới hạn Chän d·y +y {an = (x(n), y (n) )} dÃy điểm tiến tới đ-ờng thẳng y = x (chẳng hạn x(n) = y (n) = n1 , dÃy giá trị hàm t-ơng ứng {f (an ) = 12 } dÃy số dần tới 12 Chọn dÃy điểm khác {bn } tiến tới đ-ờng thẳng y = 2x , dÃy giá trị hàm t-ơng ứng {f (bn ) = 25 } dÇn tíi 25 Nh- vËy giíi h¹n hai d·y sè lim f (an ) 6= lim f (bn ), theo định lí 1.2.2, giới n n hạn hàm đà cho không tồn Xét giới hạn hàm véc tơ lim  x0 y0 y4 x4 , x2 + y x2 + y  áp dụng định lí 1.1.2, toán đ-a tìm giới hạn thành phần x4 x2 + y x → ⇒ x4 =0 x→0 x2 + y y→0 y4 x2 + y y → ⇒ y4 =0 x→0 x2 + y y→0 4 lim lim Vậy giới hạn hàm véc tơ lim( x2x+y2 , x2y+y2 ) = (0, 0) x0 y0 Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số 14 Tìm giới hạn p x2 + (y 1)2 + − A = lim x→0 x2 + (y 1)2 y1 Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp 1 A = lim p = x→0 x2 + (y − 1)2 + + y1 1.2.2 Giới hạn lặp Trong hàm số nhiều biến có khái niệm gọi giới hạn lặp Để thuận tiện ta xét hàm thực hai biến f (x, y) xác định lân cận ®iĨm M(x0, y0 ) (cã thĨ trõ ®iĨm M), giíi hạn lặp hàm đ-ợc viết d-ới dạng

lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y) xx0 yy0 yy0 xx0
Về giới hạn lặp thø nhÊt lim lim f (x, y) , biÓu thøc ngoặc đ-ợc hiểu nhxx0 yy0 giới hạn hàm f (x, y) víi x lµ tham sè (x cè định không biến thiên) trình y y0 f1 (x) = lim f (x, y) y→y0 Gi¶ thiÕt hàm f1 (x) xác định lân cận điểm x = x0 (cã thĨ trõ ®iĨm x0 ), ®ã giới hạn lặp xét giới hạn hàm f1 trình x x0
lim lim f (x, y) = lim f1(x) x→x0 y→y0 x→x0 T-¬ng tự giới hạn lặp thứ hai, đ-ợc xác định thông qua tồn giới hạn
f2 (y) = lim f (x, y) lim lim f (x, y) = lim f2 (y) x→x0 y→y0 x→x0 y→y0 Víi hµm ba biÕn f (x, y, z) ta nhắc đến nhiều giới hạn lặp khác Chẳng hạn cách hoán vị ba biến {x, y, z} t-ơng ứng với giới hạn lặp lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), x→x0 y→y0 z→z0 y→y0 x→x0 z→z0 y→y0 z→z0 xx0 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 15 Ngoài ta gặp giới hạn lặp dạng lim lim f (x, y, z) hc x→x0 z→z0 y→y0 lim lim f (x, y, z), xx0 yy0 zz0 Một cách tổng quát, xét hàm vÐc t¬ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk Gi¶ sư M0 (a, b) điểm tụ D Với y B cố định giả thiết tồn giới hạn g(y) = lim f (x, y) x→a NÕu tån t¹i tiÕp giíi h¹n lim g(y) = u ∈ Rm y→b trình y b u đ-ợc gọi giới hạn lặp f kí hiệu   lim lim f (x, y) = u y→b x→a T-ơng tự ta nói đến giới hạn lặp   lim lim f (x, y) = v x→a yb Các giới hạn lặp nói chung không Ví dụ Cho hàm f : R+ ì R+ → R f (x, y) = x − y + x2 + y x+y Giới hạn lặp thứ x − y + x2 + y = + x ⇒ lim lim f (x, y) = lim (1 + x) = y→0+ x→0+ y→0+ x→0+ x+y f1(x) = lim Giới hạn lặp thứ hai cho ta kết khác giới hạn lặp thứ x y + x2 + y = −1 + y ⇒ x→0+ x+y f2 (y) = lim lim
lim f (x, y) = y0+ x0+ Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số 16 Nhận xét trình (x, y) (0, 0) không tồn giới hạn hàm x y + x2 + y x→0 x+y y→0 lim f (x, y) = lim x0 y0 (Để phân biệt với giới hạn lặp, giới hạn hàm f (x, y) trình (x, y) (0, 0) đ-ợc gọi giới hạn bội) Thật giá trị hàm điểm đ-ờng thẳng y = kx f (x, kx) = 1−k (1 − k)x + (1 + k )x2 → (1 + k)x 1+k x → Do vËy nÕu chän dÃy điểm {an } tiến tới đ-ờng thẳng y = k1 x chọn dÃy điểm khác {bn } tiến tới đ-ờng thẳng y = k2 x, k1 6= k2 , dÃy giá trị hàm t-ơng ứng {f (an )} {f (bn )} dần tới giới hạn khác nhau, theo định lí 1.2.2, giới hạn hàm lim f (x, y) không tồn x0 y0 Mối liên hệ giới hạn lặp giới hạn bội đ-ợc thể định lí sau Định lí 1.2.3 Cho hàm véc tơ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk Giả sử M0 (a, b) điểm tụ D NÕu tån t¹i giíi h¹n béi f (x, y) lim (x,y)(a,b) đồng thời giả thiết với y B tån t¹i giíi h¹n g(y) = lim f (x, y) xa Khi tồn giới hạn lặp giới hạn lặp giới hạn bội   lim f (x, y) lim lim f (x, y) = y→b x→a (x,y)→(a,b) Chøng minh Ta chØ chøng minh cho tr-ờng hợp hàm thực biến, tr-ờng hợp khác chứng minh t-ơng tự, có khó khăn đôi chút kí hiệu phức tạp 1.2 ánh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 17 Giả sử tồn giới hạn lim f (x, y) = a, x→x0 y→y0 lim f (x, y) = f1 (x) yy0 Ta chứng minh giới hạn lặp lim lim f (x, y) = lim f1(x) tồn b»ng a x→x0 y→y0 x→x0 ThËt vËy, víi ε > tùy ý cho tr-ớc, tồn lân cận U cña (x0, y0 ) cho ∀(x, y) ∈ U, (x, y) 6= (x0 , y0) |f (x, y) − a| ε Cho y → y0 bÊt đẳng thức trên, ta đ-ợc |f1 (x) a| ε, suy ®pcm  NhËn xÐt r»ng sù tån giới hạn hàm xx lim f (x, y) không kéo theo tồn yy0 giới hạn lặp Chẳng hạn xét ví dụ sau, hàm ( x sin y1 nÕu y 6= f (x, y) = nÕu y = cã giíi h¹n béi limf (x, y) = (tÝch cđa mét VCB vµ hµm bị chặn), nh-ng không x0 y0 tồn giới hạn lặp lim limf (x, y) (Do không tồn lim sin 1y ) x0y0 Tuy nhiên phù hợp với định lÝ trªn lim limf (x, y) = y→0 y→0x→0 1.2.3 Hàm liên tục Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm véc tơ f : D Rm , D Rn Ta nói hàm f liên tục a ∈ D nÕu cho tr-íc mét l©n cËn bÊt kì V (f (a)) f (a), tồn l©n cËn U (a) cho víi mäi x ∈ D ∩ U (a) ta cã f (x) ∈ V (f (a)) hay f (D ∩ U (a)) ⊂ V (f (a)) Ta nói hàm f liên tục miền D f liên tục điểm thuộc D Điểm a D đ-ợc gọi điểm gián đoạn f hàm f không liên tục Định nghĩa hoàn toàn giống nh- định nghĩa hàm biến liên tục Nếu a điểm cô lập tập D hiển nhiên f liên tục a Tr-ờng hợp a D 18 Ch-ơng I Hàm số nhiều biến số, hàm véc tơ nhiều biến số điểm tụ D, định nghĩa có nghĩa giới hạn giá trị thay hàm a lim f (x) = f (a) xa áp dụng nhận xét sau định lí 1.2.2 t-ơng đ-ơng giới hạn hàm véc tơ giới hạn thành phần ta có kết Định lí 1.2.4 Cho hàm véc tơ f = (f1 , f2, , fm) : D → Rm , D ⊂ Rn ã Hàm f liên a D hàm thành phần fk liên tục t¹i a ∈ D víi mäi k = 1, 2, , m ã Hàm véc tơ f liên tục D hàm thành phần fk liªn tơc trªn D víi mäi k = 1, 2, , m Từ định nghĩa hàm liên tục nh- từ tính chất giới hạn hàm véc tơ, hàm liên tục có tính chất sau (cách chứng minh nh- đà chứng minh giải tích hàm thực biến số) ã Các hàm f , g : D Rm , D Rn liên tục điểm a D Khi hàm f + g, f − g, α · f , ( R) liên tục a ã Nếu f, g : D → R, D ⊂ Rn lµ hàm thực n biến liên tục a D, hàm tích f.g liên tục a hàm th-ơng fg liên tục a với giả thiết g(a) 6= ã Phép hợp thành g f liên tục a hàm f liên tục a g liên tục f (a) Cũng nh- hàm số biến số, tÝnh chÊt rÊt quan träng cđa hµm sè nhiỊu biÕn số liên tục miền đóng giới nội định lí sau Định lí 1.2.5 Cho f : D R hàm liên tục tập D ®ãng vµ giíi néi Rn Khi ®ã hµm f đạt giá trị lớn nhỏ miền D Tập đóng giới nội Rn đ-ợc gọi tập compắc Chứng minh Tr-ớc hết ta chứng minh hàm f bị chặn D Giả sử ng-ợc lại, với k N tån t¹i x(k) ∈ D cho |f (x(k))| > k (hay lim |f (x(k) )| = k→∞ +∞) D·y {x(k)} D dÃy bị chặn, theo định lÝ Bolzano tån t¹i mét d·y (ki ) ∞ {x }i=1 héi tơ tíi a ∈ D (do D tập đóng) Mặt khác f hàm liên tục D nên liên tục a Vậy lim f (x(ki ) ) = f (a), i→∞ 1.2 ¸nh xạ, giới hạn liên tục ánh xạ 19 mâu thuẫn với giả thiết phản chứng lim |f (x(k))| = +∞ k→∞ KÝ hiÖu M = supf (x) Ta chứng minh M giá trị lớn hàm f xD D Thật từ định nghĩa cận đúng, tồn dÃy {x(k)} D tháa m·n lim f (x(k)) = M k→∞ Còng theo định lí Bolzano, dÃy chứa dÃy {x(ki) }∞ i=1 héi tơ tíi a ∈ D vµ lim f (x(ki ) ) = f (a) = M i Chứng minh t-ơng tự, hàm đạt giá trị nhỏ D  Định nghĩa 1.2.4 Tập D Rn đ-ợc gọi tập liên thông với điểm a, b D tồn hàm liên tục f : [0, 1] D cho f (0) = a vµ f (1) = b Về mặt trực giác, tập ảnh hàm liên tục f : [0, 1] D (f chiếu đoạn [0, 1] vào tập D) đ-ờng cong liền nét D Do theo định nghĩa ta hình dung tập liên thông D tập có tính chất: điểm tồn mét ®-êng cong liỊn nÐt n»m D nèi điểm Hiển nhiên tập A đ-ờng thẳng thực tập liên thông A khoảng đóng mở nửa đóng, nửa mở (bị chặn không bị chặn) R Nói cách khác tập liên thông đ-ờng thẳng thực tập sau (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] hc (−∞, a), (−∞, a], (b, +), [b, +) Ng-ời ta chứng minh đ-ợc tập ảnh tập liên thông qua ánh xạ liên tục tập liên thông Tr-ờng hợp đặc biệt hàm f : D R liên tục tập liên thông D Rn , giá trị hàm f trái dấu điểm a, b D D: f (a) à f (b) < Khi tồn c D cho f (c) =  ... Rn , giáo trình ta hạn chế xét chuẩn ơclit Để xây dựng khái niệm giới hạn, khái niệm giải tích Rn , nh- giải tích I, ta cần khái niệm khoảng cách hai điểm không gian Rn Khoảng cách hai điểm x... sè K > cho |a| K víi a A 1.1.3 Giới hạn dÃy điểm Rn Cũng nh- giải tích hàm biến, giới hạn khái niệm sở ban đầu Mọi vấn đề giải tích dựa khái niệm giới hạn Để thuận tiện kí hiệu không gây nhầm.. .giải tích II Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng sinh viên tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật