Bồi d ỡng Toán 10 Chuyên đề bất đẳng thức Dạng I : Chứng bất đẳng thức bằng định nghĩa Chứng minh rằng 1) 4 2 a + b 2 + c 2 ab - ac + 2bc 2) 4a 4 + 5a 2 8a 3 + 2a - 1 3) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2 a( b + c + d + e ) 4) a 2 ( 1 + b 2 ) +b 2 ( 1 + c 2 ) + c 2 ( 1 + a 2 ) 6abc 5) a 4 + 3 4a 6) a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 7) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd 8) x 4 + y 4 2 6 2 6 x y y x + , ( Với x,y 0 ) 9) Cho a > 0 , b > 0 . CMR 4 2 ab ba ab + 10) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a > 0, b > 0 và c > ab CMR : 2222 bc bc ac ac + + + + 11) Cho ab 1 , CMR ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 12) Chứng minh rằng với x ta có 2 3 2 2 + + x x > 2 13) CM với a > 0, b > 0 và x, y R thì ( ax + by)( bx + ay) ( ) xyba 2 + 14) CM với ab > 0 thì (a 5 + b 5 )(a + b) (a 4 + b 4 )(a 2 + b 2 ) 15) Cho z y x > 0 . Chứng minh ( ) ( ) +++ + zx zxzx yzx y 11111 16) Cho a 2, b 2 . Chứng minh ab a + b 17) CMR với a > 0, b > 0 ta có ba b a a b ++ 22 18) Cho a > b > 0 . CMR : ( ) ( ) b ba ab ba a ba 828 22 + 19) CMR với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có 1 Bồi d ỡng Toán 10 dbcaacba + + + + + 11 1 11 1 11 1 Dạng II : Phơng pháp phản chứng 1) CMR: Nếu a + b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức là đúng c 2 a ; d 2 b 2) CMR: trong ba bất đẳng thức sau đây có ít nhất một bất đẳng thức đúng 2(a 2 + b 2 ) (b + c) 2 2(b 2 + c 2 ) (c + a) 2 2(c 2 + a 2 ) (a + b) 2 3) CMR nếu a 1 a 2 2(b 1 +b 2 ) thì ít nhất một trong hai phơng trình x 2 + a 1 x + b 1 = 0 (1) x 2 + a 2 x + b 2 = 0 (2)có nghiệm 4) Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đăng thức sau đây là sai : ( ) ( ) ( ) 4 1 1; 4 1 1; 4 1 1 accbba 5) Cho ba số a, b, c thỏa mãn : a + b + c > 0 (1) ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3) Chứng minh : a > 0, b > 0, c > 0 6) Chứng minh trong hai phơng trình sau đây ít nhất có một phơng trình có nghiệm : x 2 - 2ax + 1 - 2b = 0 x 2 - 2bx + 1 - 2a = 0 7) Cho ba bất đẳng thức a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1. Với a, b, c (0 ; 2) Chứng minh có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai 8) Cho a, b, c (0 ; 1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng sau là sai ( ) 4 1 1 ba ; ( ) 4 1 1 cb ; ( ) 4 1 1 ac 9) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác mà độ dài các đờng cao là 1 ; 5 ; 51 + 10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng a 3 b 5 (c - a) 7 (c - b) 9 0 ; bc 5 (a - b) 9 (a - c) 13 0 ; c 9 a 7 (b - c) 5 (b - a) 3 0 2 Bồi d ỡng Toán 10 Dạng III : Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản toán cơ bản Nếu a < b thì cb ca b a + + Nếu a b thì cb ca b a + + Nếu x, y, z > 0 thì +) ( ) 2 41 yx xy + +) yxyx + + 411 +) zyxzyx ++ ++ 9111 Các bài toán áp dụng 1) Cho a, b, c > 0 . CMR 2 bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ 2) Cho x, y, z > 0 . CMR 2 xz z zy y yx x + + + + + 3) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . CMR 2 ba c ac b cb a + + + + + 4) CMR : 19 19 49 49 121 123 123 125 + + + + 5) Cho a, b > 0. CMR ( ) 222 1 8 1 44 1 ba ab ba + + + 6) Cho a, b, c > 0. CMR cbacbacbacba 2 4 2 4 2 4111 ++ + ++ + ++ ++ 7) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR cbacbacbacba 111111 ++ ++ + + + + 8) Cho a, b, c, d > 0 .CMR 4 + + + + + + + + + + + ad bd dc ac cb db ba ca 9) Cho a, b, c > 0. CMR cbaaccbba ++ + + + + + 3 2 1 2 1 2 1 10) Cho a, b, c > 0 .CMR ( ) cbacbacbacba ++ ++ + ++ + ++ 4 9 2 1 2 1 2 1 3 Bồi d ỡng Toán 10 11) Cho x thoả mãn 2 13 3 2 x . CMR 7 3 213 1 10 1 23 1 + xxx 12) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 . CMR 9 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + abcacbbca 13) Cho a, b, c > 0 . CMR ++ + + ++ accbbacba 2 1 2 1 2 1 3 111 14) Cho a, b, c > 0. CMR 2 3 + + + + + ba c ac b cb a 15) Cho a, b, c > 0 .CMR ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 22 1 22 1 22 1 cba acabcacbbcba ++ ++ + ++ + ++ 16) Cho a, b, c, d > 0. CMR ( )( ) ( )( ) dcbacbda db dcba ca +++ ++ + + ++ + 4 17) Cho a, b, c, d > 0 . CMR ( )( ) ( ) dcbadbca ba dcba +++ ++ + + + + + 1223 18) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR ( ) ( ) ( ) ( ) cba cba ac cba cb cba ba ++ + + + ++ + + + + 4 22 19) Cho hai số dơng a, b thỏa mãn a + b = 1. CMR 6 11 22 + + ba ab 20) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b 1. Chứng tỏ rằng 14 32 22 + + ba ab Dạng IV. Chứng minh bất đẳng thức dẫy A) kiến thức cần nhớ Để chứng minh A B ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B. Từ đó ta có A B, hoặc ta chứng minh D B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A từ đó ta có A B Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, ngời ta thờng phát hiện đặc điểm của số hạng tổng quát, từ đó rút gọn các phép tính trung gian. Ngời ta còn hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trong trờng hợp thuận lợi. 4 Bồi d ỡng Toán 10 B) Bài tập 1) CMR: 2 2 1 . 2 1 1 1 >++ + + + nnn Với n N, n > 1 2) CMR: 1 1 . 1 11 2 >++ + + n nn Với n N 3) CMR: n n >+++ 1 . 2 1 1 1 Với n N, n > 1 4) CMR: ( ) 12 1 . 3 1 2 1 1112 <++++<+ n n n Với n N 5) CMR: ( ) 2 1 1 . 23 1 12 1 < + +++ nn Với n N, n 1 6) CMR: 2 1 . 3 1 2 1 1 222 <++++ n Với n N, n > 1 7) CMR: ( ) 2 1 1 1 . 13 1 5 1 2 2 < ++ +++ nn Với n N, n 1 8) CMR: ( ) 4 1 12 1 . 25 1 9 1 2 < + +++ n Với n N, n 1 9) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) abc 10) CMR: 10 1 100 99 6 5 4 3 2 1 15 1 << 11) CMR với mọi số tự nhiên n 8, ta có 3 21 . 3 1 2 1 2 1 222 <+++< n 12) CMR với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có: 3 1 12 < + n n 13) CMR với n N, n 1, ta có a) 4 3 2 1 . 2 1 1 1 2 1 <++ + + + < nnn b) 2 13 1 . 2 1 1 1 1 < + ++ + + + < nnn c) 4 51 . 3 1 2 1 1 333 <+++< n Dạng V:Bất đẳng thức cosi A) kiến thức cần thiết Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó *) Cho a 1 , a 2 , ., a n 0 ta luôn có 5 Båi d ìng To¸n 10 n n n aaa n aaa . . 21 21 ≥ +++ DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a 1 = a 2 = .= a n 6 . trình có nghiệm : x 2 - 2ax + 1 - 2b = 0 x 2 - 2bx + 1 - 2a = 0 7) Cho ba bất đẳng thức a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1. Với a, b,. + 10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng a 3 b 5 (c - a) 7 (c - b) 9 0 ; bc 5 (a - b) 9 (a - c) 13 0 ; c 9 a 7 (b - c)