ƠN TẬP TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giai thừa : 1 1 n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! n! k Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cn = k!(n − k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách : n! k k k An = , A n = Cn Pk (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : C0 0 C1 C1 1 C C2 C 2 3 1 C3 C C C3 1 C4 C4 C4 C4 C 4 Tính chất : k C0 = Cn = 1, Cn = Cn −k n n n k k k Cn −1 + Cn = Cn +1 Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0 an b + C1 an −1b1 + + Cn a0 b n n n n a = b = : C0 + C1 + + Cn = 2n n n n Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C , C1 , , C n n n n * (a + x)n = C0 an + C1 an−1x + + Cn x n n n n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C , C1 , , C n cách : n n n - Đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, - Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, ±1 - Cho a = ±1, ±2, , ∫ β hay ±2 α ∫ hay ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m n TRANG Giải pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n −k n Ca * * * * * * m p b = Kc d k r q m / p ∈ Z Giải hệ pt :  , tìm k r / q∈ Z k k Giải pt , bpt chứa A n , Cn : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Cần biết đơn giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hốn vị (xếp, khơng bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp Với tốn tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn khơng thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ Chuyển vế :  a = bc a/b = c ⇔  ; b≠ a 2n b = c = a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔  b ≠   a = c / b a2 n +1 = b ⇔ a = n +1 b = b ⇔ a = ± b, a = 2n 2n  b = a 2n b ⇔  a ≥0  b = ±a a= b ⇔ , a = log α b ⇔ b = α a a ≥ b = 0, c > b>0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔   a < c/ b b c/ b Giao nghiệm : TRANG x >a x max{a, b} ;  ⇔ x < min{a, b}  x > b x< b p  x>a a < x < b(neáu a < b)  p ∨ q Γ ⇔ ;  ⇔  VN(neáu a ≥ b) q Γ x 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu < a < a0 = ; a− m / n = 1/ n am ; am an = am +n am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n an bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = am < an ⇔ m < n (neáu a > 1) , α = aloga α m > n (neáu < a < 1) d log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ a > 1, y↓ < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) log a M = log a M , log a M = log a M (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc TRANG log a M α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N logbc = logac/logab, log aα M = loga M < log a N ⇔ < M < N(neáu a > 1) M > N > 0(neáu < a < 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản : t = ax + b∈ R, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = ax > , t = log a x ∈ R N?u ?? có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ?? b c d a b c i tr?c ti?p b?t ??ng th?c Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b khơng làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với α : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = g =  không đối xứng, giải hệ pt :  S = x1 + x  P = x x  Biết S, P thỏa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với : ∆ >0  x1 < < x2 ⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔  P > S>  ∆ >0  x1 < x2 < ⇔  P > S<  * Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < TRANG ∆ >0  α < x1 < x2 ⇔  a.f (α ) > ; x1 < x2 < α ⇔  α < S/  ∆ >0   a.f (α ) >  S/ < α   a.f(β) <  α < x1 < β < x2 ⇔  a.f(α) > ; x1 < α < x2 < β ⇔ α α nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) ≠ ∆ > ∆ = ∨ nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) = f (α) ≠ nghiệm ∆ = ∆ < hay  ⇔ f ( α ) = • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m • Phương trình bậc khơng nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) (Ox) : y = ∆ y ' > nghiệm ⇔  y CÑ y CT < ∆ y ' > nghiệm ⇔  y CÑ y CT = ∆ y ' > nghiệm ⇔ ∆y' ≤ ∨  y CÑ y CT > c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : ∆ y ' > ⇔ y uoán = d So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với α • Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa α vào BBT TRANG • Khơng nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) (Ox)  ∆y' >   y CÑ y CT < α < x1 < x2 < x3 ⇔   y(α) < α< x  CÑ α  ∆ y' >  y y <  CÑ CT x1 < α < x2 < x3 ⇔   y (α ) >  α < x CT   ∆ y' >  y y <  CÑ CT x1 < x2 < α < x3 ⇔   y (α ) <  x CÑ < α  α x1 x1  ∆y' >   y CÑ y CT < x1 < x2 < x3 < α ⇔   y(α) > x 0 x1 x2 x3 x1 ∆ >0   f (α ) = ∆ =0   f (α ) ≠ x2 x3 α x2 x3 x2 α x3 ∆ =0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < ∨   f (α ) = Nếu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc :  t = x2 ≥ a Trùng phương : ax + bx + c = (a ≠ 0) ⇔   f (t ) = t = x2 ⇔ x = ± t ∆ >0  nghiệm ⇔  P > ; S>  P =0 nghiệm ⇔  S> TRANG P nghiệm ⇔ P =0  S< ∆ =0   S/ = ∆ ≥0    VN ⇔ ∆ < ∨  P > ⇔ ∆ < ∨  P > S * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ CT ⇔ ∆ f / > * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm α < x1 < x2 • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm x1 < x2 < α ∆f/ >  • bên (Ox) ⇔   yCD yCT >   ∆f/ >  • bên (Ox) ⇔   yCD yCT <  * Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện y CĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.) * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = u • Hàm bậc 2/ bậc : y = v / u (x CÑ ).u / (x CT ) yCĐ.yCT = / , dùng Viète với pt y/ = v (x CÑ ).v / (x CT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc : y = Cx + D TRANG 18 • Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ ab ≥ 0, cực trị ⇔ ab < 10 ĐƠN ĐIỆU : a Biện luận biến thiên hàm bậc : i) a > y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số tăng R (luôn tăng) ii) a < y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) iii) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngồi ta cịn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (−∞, x1) + hàm số tăng (x2, +∞) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu x đạt cực đại x thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (−∞, x1) + hàm số giảm (x2, +∞) + hàm số tăng (x1, x2) b Biện luận biến thiên y = baäc baäc1 i) Nếu a.m > y/ = vô nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khỏang xác định ii) Nếu a.m < y/ = vơ nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khỏang xác định iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 x1 + x p =− m iv) Nếu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 x1 + x p =− m c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x ∈ I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với α 11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang vế : f(x) = m; lập BBT f (nếu f khảo sát dùng đồ thị f), số nghiệm = số điểm chung , , lượng giác : đổi biến; cần biết biến t b Với pt mũ, log, biến cũ x; cần biết đk t để cắt bớt đồ thị f 12 QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm đẳng thức chứa x o, yo, m; khử m, F(xo, yo) = 0; suy M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a M ∈ (d) : x = a • Nếu yo = b M ∈ (d) : y = b 13 TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy F hàm lẻ, đồ thị có tđx gốc tọa độ I b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; x = a nghiệm nghiệm nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = TRANG 19 F(X); cm F(–X) = F(X); suy F hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng trục tung X = 0, tức x = a c Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ pt ẩn :  x M + x N = 2x I  y + y = 2y  M N I   y M = f(x M )  y N = f(x N )  d Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung (C) (d'); giả sử pt có nghiệm x A, xB, a tính tọa độ trung điểm I AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB c 14 Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải dx + e c  y M = ax M + b + c    y M = ax M + b +  dx M + e dx M + e ⇔  hệ  c  xM , yM ∈ Z  xM , ∈Z   dx M + e  c   y M = ax M + b + dx M + e ⇔   x M ∈ Z, dx M + e = ước số c  15 Tìm min, max hàm số y = f(x) Lập BBT, suy miền giá trị min, max 16 Giải bất phương trình đồ thị : x g ⇔  b R * Tiếp tuyến với (C) M(xo,yo) : phân đôi t/độ (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = P M/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/ (C) = , M (C) ⇔ PM/(C) < 0, ⇔ > * Trục đẳng phương (C) (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = * (C), (C/) ngồi ⇔ II/ > R + R/ : (có tiếp tuyến chung); tx ⇔ = R + R/ / (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R − R < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx ⇔ = R − R / (1 tt chung trục đẳng phương) chứa ⇔ < R − R / (khơng có tt chung) Mặt cầu : * Mc (S) xđ tâm I (a, b, c) bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A + B2 + C2 − D * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R * Pt tiếp diện với (S) M : phân đôi tđộ (S) * Cho (S) : F(x, y, z) = PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = ⇔ M ∈ (S), < ⇔ M (S), > ⇔ M (S) * Mặt đẳng phương (S) (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = * Tương giao (S), (S/) : (C), (C/) * Khi (S), (S/) tx tiết diện chung mặt đẳng phương * Khi (S), (S/) cắt mp qua giao tuyến mặt đẳng phương Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a 2 x y * (E) : + = (a > b > 0) : tiêu điểm : F 1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); a b A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2 x2 y2 * (E) : + = (a > b > 0) : khơng tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh b a A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + TRANG 24 By + C = ⇔ a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x) Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho < a < c M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a x2 y2 (H) : − = (pt tắc) a b tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); b (H) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± x a 2 hình chữ nhật sở : x = ± a, y = ± b; c = a + b y2 x2 (H) : − = (pt khơng tắc) a b tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(– b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); b (H) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± y a 2 hình chữ nhật sở : y= ± a, x = ± b; c = a + b (chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x) Parabol : * Cho F, F ∉ (∆) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆)) (P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình tắc) tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số x (P) với B : hệ số y (d)); tham số tiêu : p (P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình khơng tắc) tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – x M; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pB2 = – 2AC (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình khơng tắc) tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số y (P) với A : hệ số x (d)) (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình khơng tắc) tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – y M; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pA2 = – 2BC TRANG 25 CHÚ Ý : * Cần có quan điểm giải tích làm tốn hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm mp M(xo,yo) : ẩn ; điểm không gian (3 ẩn); đường thẳng mp Ax + By + C = : ẩn A, B, C - thực ẩn; đường tròn : ẩn a, b, R hay A, B, C; (E) : ẩn a, b cần biết dạng ; (H) : (E); (P) : ẩn p cần biết dạng; mp (P) : ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường trịn khơng gian (C) = (P) ∩ (S) * Với tốn hình khơng gian : cần lập hệ trục tọa độ TRANG 26 ... phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại  ax + bxy + cy = d 13 Hệ phương trình. .. không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π) TRANG * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công... phương trình cách đổi biến : Nếu khơng đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình khơng đổi thay x – x * t = sinx : phương trình khơng đổi thay x π – x * t = tgx : phương trình