CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng hình học tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng hình học tích phân bội ba §0 Một số mặt bậc hai thường gặp I Mặt Ellipsoid: Phương trình: x y z2 + + =1 a b c Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận giao tuyến mặt với mặt tọa độ làcác đường Ellipse Tức giao tuyến mặt S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse x2 a + y2 = mặt phẳng nằm b ngang z = §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ thêm đường ellipse y2 b2 + z2 mặt phẳng = x=0 c2 §0 Một số mặt bậc hai thường gặp 2 x y z Vẽ mặt ellipsoid + + =1 a b c §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 Có thể vẽ thêm đường ellipse mặt phẳng y = x2 a + z2 c x2+y2=1,z=0 =1 §0 Một số mặt bậc hai thường gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x y2 + =z Phương trình : a b Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đường lại đường Ellipse Tức giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến cịn lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic Vẽ hình §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z mặt phẳng x = §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) gọi trơn đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục không đồng thời Đường cong C gọi trơn khúc chia thành hữu hạn cung trơn Định lý: Hàm liên tục miền đóng, bị chặn có biên trơn khúc khả tích miền Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) hàm khả tích D S(D ) = ịị dxdy (S(D) diện tích miền D) D [ f ( x , y ) + g ( x , y )] dxdy = f ( x , y ) dxdy + g ( x , y ) dxdy ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Tính chất ∫∫ Cf ( x, y )dxdy = C ∫∫ f ( x, y )dxdy D D Chia D thành miền không dẫm lên E, F ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy D E F Nếu f(x,y)≤g(x,y) D thì: ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy D D Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m mS(D ) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ MS(D ) D §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định lý: (Về giá trị trung bình ) Cho hàm f(x,y) liên tục miền đóng, bị chặn, liên thơng D Khi D có điểm (x0,y0) cho : ∫∫ f ( x, y )dxdy = f ( x0 , y )S(D ) D Đại lượng α = ∫∫ f ( x, y )dxdy gọi S (D ) D giá trị trung bình hàm f(x,y) miền D Ý nghĩa hình học tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ta có V = ∫∫ f ( x, y )dxdy D §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Cho vật thể giới hạn mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn hình vng D = [0,2]x[0,2] giới hạn xung quanh mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể tích vật thể trường hợp sau : a)Chia D thành phần nhau; b)Chia D thành 16 phần nhau; c) Chia D thành 64 phần nhau; d)Chia D thành 256 phần nhau; e)Tính thể tích vật thể §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính D2 D4 D1 D3 1 V ≈ Vn = ∑ f(Mi )×SDi i=1 S Di =1,∀i =1, ,4 V ≈ f (1,1) + f (1,2) + f (2,1) + f (2,2) V ≈ 13 + + 10 + = 34 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính c Chia thành 64 phần, V≈44,875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính d Chia thành 256 phần, V≈46,46875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D y=y2(x) y=y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a ≤ x ≤ b   y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x) b y (x) a y1 (x) I= ∫∫ f(x,y)dxdy= ∫ dx D ∫ f(x,y)dy §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính d x=x1(y) c x=x2(y) 2) Giả sử D xác định bởi: c ≤ y ≤ d   x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ) d x (y) c x1 (y) I = ∫∫ f(x,y)dxdy= ∫ dy D ∫ f(x,y)dx Giải câu e) 0 ≤ x ≤  0 ≤ y ≤ 2 (D ) V= ∫∫ 16-x -2y dxdy Tính thể tích vật thể 2 2 (0 2 ) = ∫ dx ∫ 16-x -2y dy y  16  = ∫ (16-x )y-2  dx = ∫  32-2x - ÷dx =48 3   0  §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ xydxdy D D tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) Ta tích phân cách B(1,3) y=4-x Cách : Chiếu miền D xuống trục Ox ta đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ lên 1 ≤ x ≤ 1  ( x − 4) ≤ y ≤ x - −x +4 C(4,0) A(1,-1) −x +4 y I = ∫ dx ∫ xydy = ∫ ( x ) 1 ( x − 4) 1 y=1/3(x-4) 4 dx = ∫ x ( x − 4)2 dx = ( x − 4) 91 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính x=1 Cách : Chiếu miền D xuống trục Oy ta đoạn [-1,3] x=-y+4 B(1,3) Đi theo trục Ox từ trái sang khơng giống trên, ta gặp D1 đường BC AC Do C(4,0) D2 đó, ta chia miền D -1 A(1,-1) thành phần D1 D2 3y +4 −y +4 −1 1 I = ∫ dy ∫ xydx + ∫ dy ∫ xydx x 3y +4 x −y +4 = ∫ ( y )1 dy + ∫ ( y )1 dy 2 −1 0 x=3y+4 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x − y )dxdy với D miền D y = x ; y = − x giới hạn I = ∫∫ ( x − y ) dxdy −2 ≤ x ≤   x ≤ y ≤ − x D 2− x −2 x = ∫ dx ∫ ( x − y ) dy 2 − x 2  y = ∫  xy −   −2  x dx 2   (2 − x ) − x = ∫  x((2 − x ) − x) − ÷dx −2   §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ta cịn xác định cận tích phân mà khơng cần vẽ sau: Tìm giao điểm đường biên miền D: y = x = 2-x2 x2+x-2 = x = -2, x = Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức ta lấy khoảng nghiệm tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x ≤ 2-x2 x2+x-2 ≤ Tức là, với x nằm khoảng (-2,1) đường thẳng y=x nằm đường parabol y = 2-x2 Vậy ta 2− x I = ∫ dx ∫ ( x − y ) dy −2 x ... 64 phần, V≈44,875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính d Chia thành 256 phần, V≈46,46875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên... Di =1,∀i =1, ,4 V ≈ f (1 ,1) + f (1,2) + f (2 ,1) + f (2,2) V ≈ 13 + + 10 + = 34 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính... cách tính Khi đó, vật thể ban đầu tích xấp xỉ với tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định miền