ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 1 1) TXĐ: ¡ 2) Sự biến thiên a) Giới hạn của hàm số tại vô cực x lim ; lim x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ . b) Đạo hàm y’ = - 3x 2 + 6x; y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2 c) Bảng biến thiên. x −∞ 0 2 +∞ y’ - 0 + 0 - y d) Kết luận về tính đơn điệu và cực trị hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ;0);(2; )−∞ +∞ ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 0; hàm số đạt cực đại tại D 2, 4 C x y= = ; 3) Đồ thị a) Điểm uốn: " 6 6, '' 0 1y x y x= − + = ⇔ = . y” đổi dấu khi x đi qua 1 nên đồ thị hàm số nhận điểm U( 1;2 ) làm điểm uốn. b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 1;4),(0;0),(1;2),(2;4),(3;0)− 0,25 0,25 0,25 0,25 I 2 3 2 3 2 , ( ) ( ; 3 ), ( ; 3 )M N C M a a a N b b b∈ ⇒ − + − + ,M N Đối xứng qua I 3 2 3 2 3 2 2 3 ( 3 ) 6 2 a b a a b b +  =   ⇔  − + + − +  = −   3 2 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 12 a b a b ab a b a b ab + =   ⇔      − + − + + + − = −       0,25 0,25 0,25 0 4 +∞ −∞ 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 15 3 4 a b ab + =  ⇔  = −  4, 1 1, 4 a b a b = = −  ⇔  = − =  . Vậy (4; 16), ( 1;4)M N− − 0,25 II 1 Pt (cos2 cos4 )cos2 (cos2 cos4 )sin 2 1x x x x x x⇔ + − − = cos4 (cos2 sin 2 ) sin 2 (cos2 sin 2 ) 0x x x x x x⇔ + − + = tan 2 1 cos2 sin 2 0 cos4 cos 2 cos4 sin 2 0 2 x x x x x x x π = −  + =   ⇔ ⇔     = − − =   ÷     , , 8 2 12 3 4 x k x k x k π π π π π π = − + = + = − + 0,25 0,25 0,25 0,25 II 2 Hệ 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 11 7 x y x y x y + =    + + + + + + =   . Đặt 1z x= + ta được 2 2 2 2 2 11 7 ( ) 7 7 (1) zy zy z y z y z y z y = =     ⇔   + + + + = + + + + =     2 (1) ( ) 7 7 ( ) 3z y z y z y ⇔ + + = − + ⇔ + = . Vậy 2 1, 2 0, 2 3 2, 1 1, 1 zy z y x y z y z y x y = = = = =    ⇔ ⇒    + = = = = =    0,25 0,25 0,25 0,25 III 4 2 2 0 sin cos cos 1 sin x x I dx x x π = + ∫ . Đặt 2 2 sin cos 1 sin 1 sin x x t x dt dx x = + ⇒ = + . 6 (0) 1, 4 2 t t π   = =  ÷   6 2 2 1 1 2 I dt t = − ∫ 6 6 2 2 1 1 1 1 1 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 t dt t t t   +   = + =  ÷  ÷ + − −     ∫ 1 2 3 ln 2 2 1 + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 IV K N M B D C A S H Gọi H là hình chiếu của S trên AC ⇒ SH ⊥ AC, (SAC) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD). SA 2 + SC 2 = AC 2 ⇒ ∆SAC vuông tại S ⇒ 14 4 a SH = . Gọi K là hình chiếu của N trên AC thì NK ⊥ (ABCD) và 1 14 2 8 a NK SH= = SC cắt (MND) tại N là trung điểm của SC suy ra ( ;( )) ( ;( )) 1 . 3 S MND C MND SMND CMND MCD d d V V S NK= ⇒ = = 3 1 1 14 14 . 2 .2 . 3 2 8 12 a a a a= = 0,25 0,25 0,25 0,25 V Pt 2 2 2 (2 1) ( 2 2) (2 1) 2 2x x x m x x x⇔ − + − + = − − + (1) TXĐ: ¡ . Dễ thấy 1 2 x = không thỏa mãn pt. Chia hai vế cho 2 (2 1) 2 2x x x− − + ta được 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 x x x m x x x − − + + = − − + Đặt 2 2 1 2 2 x t x x − = − + , 2 2 3 ' 0 3 ( 2 2) 2 2 x t x x x x x − = = ⇔ = − + − + 0,25 0,25 PTTT 1 t m t + = . Xét 1 ( )f t t t = + , 2 1 '( ) 1 0 1f t t t = − = ⇔ = ± BBT của ( )f t Từ hai BBT suy ra pt (1) có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi 0,25 0,25 x −∞ 1 2 3 +∞ 't + 0 - t 5 0 2 -2 t −∞ -2 -1 0 1 2 5 +∞ ' ( )f t + 0 - || - 0 + ( )f t −∞ -2 5 2 − 2 5 2 −∞ 6 5 +∞ +∞ 5 5 6 ; 2 2; 2 2 5 m       ∈ − − ∪ ∪    ÷         VI.a 1 2 20 2 5S AB AB= = ⇒ = . (7 2 ; )B AB B t t∈ ⇒ − 2 2 2 2 5 (10 2 ) ( 5) 20 ( 5) 4AB t t t= ⇔ − + − = ⇔ − = 7 ( 7;7) 3 (1;3) t B t B = ⇒ −  ⇔  = ⇒  Do B có hoành độ dương nên (1;3)B Đt BC có phương trình 2 1 0 (3;7)x y C− + = ⇒ ( 1;9)AD BC D= ⇒ − uuur uuur Vậy ( 3;5), (1;3), (3;7), ( 1;9)A B C D− − 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.a 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G(3 ; 2 ; -2) CM được 2 2 2 2 2 2 2 3MA MA MC MG GA GB GC+ + = + + + 2 2 2 MA MA MC+ + nhỏ nhất 2 MG nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu của G trên mp(P) Đt ∆ đi qua G, vuông góc (P) có ptts là 3 , 2 2 , 2x t y t z t= + = + = − − . ∆ cắt (P) tại I ⇒ I(1 ; -2 ; 0) 2 2 2 MA MA MC+ + nhỏ nhất M I⇔ ≡ . Vậy (1; 2;0)M − 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.a GS 1 2 (2 )z a bi w z a b a b i= + ⇒ = − + + là số thực 2 0 2a b b a⇔ + = ⇔ = − (1). 2 2 2 1 25 w z w a b z = ⇔ = ⇔ + = (2) Thế (1) vào (2) ta được 2 2 5 2 5 4 25 5 2 5 a b a a a b  = ⇒ = − + = ⇔  = − ⇒ =   Vậy ( ) 5 2 5z i= ± − . Pt bậc hai có 2 nghiệm trên là 2 2 2 ( 5 2 5 ) 15 20 0z i z i= − ⇔ + + = 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.b 1 Tìm được tọa độ A(9 ; -2). AB và AC đối xứng nhau qua đường phân giác trong góc A nên nếu gọi C’ là điểm đối xứng của C qua 2 5 0x y+ − = thì C’ thuộc AB. Tìm được tọa độ C’(2 ; -1) Đt AB đi qua C’ và có vtcp ' (7; 1)u C A= = − r uuuur có ptts là 2 7 1 x t y t = +   = − −  . (2 7 ; 1 )B AB B t t∈ ⇒ + − − . Gọi M là trung điểm của BC thì 7 3 ;1 2 2 t t M   + −  ÷   và 4 13 10 0M x y∈ + − = nên 7 4 3 13 1 10 0 2 ( 12;1) 2 2 t t M t B     ∈ + + − − = ⇔ = − ⇒ −  ÷  ÷     0,25 0,25 0,25 0,25 VI.b 2 ∆ cã ptts 3 1 2 2 2 x t y t z t = +   = − −   = +  . (3 ; 1 2 ;2 2 )M M t t t∈∆ ⇒ + − − + 2 2 2 2 2 2 (3 ) (2 2 ) (2 2 ) ( 2 2 ) (4 2 )MA MB t t t t t t+ = + + − + + + + − − + + 2 2 2 2 2 2 9 6 17 9 24 20 ( 1 3 ) 4 (3 4) 2t t t t t t= + + + + + = − − + + + + XÐt ( 1 3 ;4), (3 4;2) (3;6)u t v t u v− − + ⇒ + = r r r r . Tõ b®t u v u v+ ≥ + r r r r suy ra 2 2 2 2 2 2 ( 1 3 ) 4 (3 4) 2 3 6 3 5t t− − + + + + ≥ + = §¼ng thøc x¶y ra ⇔ ,u v r r cïng híng ⇔ 1 3 2(3 4) 1t t t− − = + ⇔ = − VËy MA MB+ nhá nhÊt ⇔ (2;1;0)M 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2010 2010 0 1 2 3 2010 2010 2010 2010 2010 2010 (1 3 ) 3 3 3 . 3i C C i C i C i C i + = + + + + + 0 2 2 4 3 6 1004 2008 1005 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 3 3 3 . 3 3C C C C C C= − + − + + − + ( ) 1 3 2 5 3 7 1004 2009 2010 2010 2010 2010 2010 3 3 3 3 . 3C C C C C i+ − + − + + Mặt khác 2010 2010 2010 2010 2010 2010 (1 3 ) 2 cos sin 2 cos sin 2 3 3 3 3 i i i π π π π       + = + = + =  ÷  ÷  ÷       Suy ra 0 2 2 4 3 6 1004 2008 1005 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 3 3 3 . 3 3 2C C C C C C− + − + + − = 0,25 0,25 0,25 0,25 . 2 3 2 010 2 010 0 1 2 3 2 010 2 010 2 010 2 010 2 010 2 010 (1 3 ) 3 3 3 . 3i C C i C i C i C i + = + + + + + 0 2 2 4 3 6 10 04 2008 10 05 2 010 2 010 2 010 2 010 2 010 . 2 010 2 010 2 010 3 3 3 . 3 3C C C C C C= − + − + + − + ( ) 1 3 2 5 3 7 10 04 2009 2 010 2 010 2 010 2 010 2 010 3 3 3 3 . 3C C C C C i+ − + − + + Mặt khác 2 010