Đang tải... (xem toàn văn)
Chúc các em học tốt. Các định lý cơ bản.. Page 2 b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.. Định lý 2..[r]
(1)Page PHẦN 1:
ĐÁP ÁN
TỔNG ƠN: 70 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11 (TIẾP THEO)(đã gửi lần 5)
1.A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C
11.D 12.A 13.A 14.D 15.D 16.C 17.C 18.B 19.C 20.C
21.A 22.B 23.D 24.B 25.D 26.C 27.B 28.D 29.A 30.A
31.B 32.A 33.A 34.B 35.C 36.D 37.C 38.C 39.B 40.C
41.B 42.C 43.A 44.D 45.C 46.B 47.D 48.D 49.B 50.B
51.C 52.D 53.D 54.D 55.D 56.D 57.D 58.C 59.D 60.B
61.D 62.C 63.D 64.B 65.D 66.D 67.B 68.B 69.C 70.D
PHẦN 2:Các em xem thật kỹ lý thuyết 3,xem ví dụ mẫu làm tập áp dụng vào tập em Chúc em học tốt
Bài 3:HÀM SỐ LIÊN TỤC
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho hàm số y f x( ) xác định khoảng K x0K
1) Hàm số y f x( ) liên tục
0
0 lim ( ) ( )0
x x
x f x f x
2) Hàm số y f x( ) không liên tục x ta nói hàm số gián đoạn 0 x 0
y f x( ) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng
y f x( ) liên tục đoạn a b liên tục ; a b ; lim ( ) ( )
xa f x f a , lim ( )xb f x f b( )
2 Các định lý
Định lý :
(2)Page b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng
Định lý Các hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục x Khi tổng, hiệu, tích liên tục 0
tai x0, thương
( ) ( )
f x y
g x
liên tục g x( )0 0
Định lý Cho hàm số f liên tục đoạn a b ;
Nếu ( )f a f b( ) M số nằm ( ) , ( )f a f b tồn số c a b; cho ( )f c M
Hệ : Cho hàm số f liên tục đoạn a b ;
Nếu ( ) ( )f a f b 0 tồn số c a b; cho ( )f c 0
Chú ý : Ta phát biểu hệ theo cách khác sau :
Cho hàm số f liên tục đoạn a b Nếu ( ) ( ); f a f b 0 phương trình ( )f x 0 có nghiệm thuộc ( ; )a b
Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm x0
Phương pháp:
Tìm giới hạn hàm số y f x( ) xx0 tính f x ( )0
Nếu tồn
0
lim ( )
xx f x ta so sánh
lim ( )
xx f x với f x , nếu: ( )0 +
0
0
lim
xx f x f x Hàm số y f x( ) liên tục điểm x0 +
0
0
lim
xx f x f x Hàm số y f x( )không liên tục điểm x0
Chú ý 1:
1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm
2
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) xx f x l xx f x xx f x l
3 Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x
liên tục
0 lim ( )
x x
x x f x k
(3)Page
4 Hàm số
2
( ) ( )
( )
f x x x
f x
f x x x
liên tục điểm x x0
0
1
lim ( ) lim ( ) ( ) xx f x xx f x f x
Chú ý 2:
Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x
liên tục x x0
0
lim ( ) xx f x k
Hàm số
0
( ) ( )
f x x x
y
g x x x
liên tục x x0
0
lim ( ) lim ( ) xx f x xxg x Các ví dụ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x3
1
3
27
khi
6 27
x
x x x
f x
x
2
2
3
khi
2 3
1
x
x x
f x
x x
Gợi ý
1 Hàm số xác định
Ta có (3) 27
f
3
2
3 3
27 ( 3)( 9) lim ( ) lim lim
6 ( 3)( 2)
x x x
x x x x
f x
x x x x
2
3 27
lim (3)
2
x
x x
f x
Vậy hàm số liên tục x3
2 Ta có (3)f 4
3
lim ( ) lim( 1) x f x x x ;
3 3
3 3
lim ( ) lim lim lim ( )
2
2 3
x x x x
x x
f x f x
x
(4)Page
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm
1
2
1 ( )
2
x x
f x
x
điểm x0 1
2
2
( ) 1
1
x x
x
f x x
x
Gợi ý
1 Ta có (1)f 2và
1
lim ( ) lim( 1) (1)
x f x x x f Vậy hàm số liên tục điểm x1
2 Ta có ( 1) 1f
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim (2 )
x x x
x x
f x x
x
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim ( 2) lim ( )
x x x x
x x
f x x f x
x
Suy không tồn giới hạn hàm số y f x( ) x 1 Vậy hàm số gián đoạn
x
Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x2
1
3
4
2
x
x
f x x
a x
2
4
3
5
khi
1
x x
x
f x x
ax x x
Gợi ý
1 Ta có (2)f a
3
2
2 2
4
lim ( ) lim lim
2 (4 ) 2 4 4
x x x
x f x
x x x
Hàm số liên tục điểm
2
1 lim ( ) (2)
3 x
x f x f a
2 Ta có :
4 2
3
2 2
5 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim
8
x x x
x x x x
f x
x x x
2
lim ( ) lim (2)
(5)Page Hàm số liên tục
2
2 lim ( ) lim ( ) (2)
x x
x f x f x f
1
2
a a
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài Cho hàm số
2
4
( )
4
x
x x
f x
x
Xét tính liên tục hàm số x4
Gợi ý Ta có :
4 4
2 1
lim ( ) lim lim (4)
4
x x x
x
f x f
x x
Hàm số liên tục điểm x4
Bài Cho hàm số
2
2
3
2
( )
3
x x
x
f x x
x x x
Xét tính liên tục hàm số x1
Gợi ý
1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 2
1
x x
x x
f x
x
;
1 1
lim ( ) lim 3 lim ( )
x x x
f x x x f x
Hàm số không liên tục x1
Bài Cho hàm số cos
1
x
x f x
x x
Xét tính liên tục hàm số
1;
x x
Gợi ý Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x 1
Bài Chọn giá trị (0)f để hàm số ( ) 1
( 1)
x f x
x x
liên tục điểm x0 Gợi ý Ta có :
0 0
2 1
lim ( ) lim lim
( 1) ( 1) 2 1 1
x x x
x x
f x
x x x x x
Vậy ta chọn
(0)
(6)Page
Bài Chọn giá trị (0)f để hàm số
3 2 8 2
( )
3
x f x
x
liên tục điểm x0
Gợi ý Ta có :
0 3
2 2
lim ( ) lim
9 (2 8) 2
x x x f x x x
Vậy ta chọn
2 (0)
9
f
Bài Cho hàm số
2
( ) 1
2
x x
x
f x x
x x
Xét tính liên tục hàm số
1
x
Gợi ý Ta có: ( 1) 1f
1
lim ( ) lim
x f x x x
2
1 1
2
lim ( ) lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x x
f x
x x x x
;
2 lim 2 x x x x Suy 1
lim ( ) lim ( ) x f x x f x
Vậy hàm số không liên tục x0 1
Bài Cho hàm số
3
1
( )
2
x x
x
f x x
x
Xét tính liên tục hàm số x0
Gợi ý Ta có: (0)f 2
3
0 0
1 1
lim ( ) lim lim
x x x
x x x
f x x x
0
1
lim (0)
1 1
x x x f
Vậy hàm số liên tục x0
Bài Cho hàm số
3 1
1
( )
x x x f x x
Xét tính liên tục hàm số x1
Gợi ý Ta có :
3
2
3
1 4
1 1
lim ( ) lim lim (1)
1 1
x x x
x
f x f
x x x
(7)Page Hàm số liên tục điểm x1
Bài Cho hàm số
2
2
2
2
( )
3
x x
x x
f x x
x x x
Xét tính liên tục hàm số
2
x
Gợi ý Ta có :
2
( 1)( 2)
lim ( ) lim
2
x x
x x
f x x
x
2 2
lim ( ) lim lim ( )
x x x
f x x x f x
Hàm số không liên tục x0 2
Bài 10 Tìm a để hàm số 2
1
x a x
f x
x x x
liên tục x0
Gợi ý Ta có :
0
lim ( ) lim( 1)
x x
f x x x
; 0
lim ( ) lim( )
x x
f x x a a
Suy hàm số liên tục
x a
Bài 11 Tìm a để hàm số
4 1
( ) (2 1)
3
x
x
f x ax a x
x
liên tục x0
Gợi ý Ta có :
0
4 1 lim ( ) lim
2
x x
x f x
x ax a
0
4
lim
2 1
x ax a x a
Hàm số liên tục
2
x a
a
Bài 12 Tìm a để hàm số
2
3
1
( )
( 2)
x x x f x a x x x
liên tục x1
Gợi ý Ta có : 2
1
3
lim ( ) lim
1 x x x f x x ; 1 ( 2)
lim ( ) lim
3
x x
a x a
(8)Page Suy hàm số liên tục 3
2
a
x a
Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập
Phương pháp:
Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng
Các ví dụ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số:
1 ( )f x tan 2xcosx 2 ( ) 2
3
x f x
x x
Gợi ý
1 TXĐ: \ ,
4
D k k
Vậy hàm số liên tục D
2 Điều kiện xác định: 2 1
2
3
x x
x
x x
Vậy hàm số liên tục 1;2 2;
Ví dụ Xác định a để hàm số
2
2
khi
2
1
a x
x
f x x
a x x
liên tục
Gợi ý
Hàm số xác định
Với x 2 hàm số liên tục Với x 2 hàm số liên tục Với x2 ta có
2
lim ( ) lim(1 ) 2(1 ) (2)
x x
f x a x a f
(9)Page
2
2
2 2
( 2)
lim ( ) lim lim ( 2) 2
x x x
a x
f x a x a
x
Hàm số liên tục hàm số liên tục x2
2
2
1
lim ( ) lim ( ) 2(1 ) 1,
2
x f x x f x a a a a
Vậy 1,
2
a a giá trị cần tìm
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Cho hàm số ( ) 2
6
x f x
x x
Xét tính liên tục hàm số Gợi ý TXĐ : D \ 3; 2
Ta có hàm số liên tục xD hàm số gián đoạn x 2,x3
Bài Cho hàm số f x( ) 3x21 Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý TXĐ : ; 1 ;
3
D
Ta có hàm số liên tục điểm ; 1 ;
3
x
1
1 lim ( )
3
x
f x f
hàm số liên tục trái
1
x
1
1 lim ( )
3
x
f x f
hàm số liên tục phải
1
x
Hàm số gián đoạn điểm ;
3
x
Bài Cho hàm số ( )f x 2sinx3tan 2x Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý TXĐ : \ ,
4
D k k
(10)Page 10 Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm ,
4
x k k
Bài Cho hàm số
2
5
2
2 16
2
x x
khi x
f x x
x khi x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý TXĐ : D \ 2
Với
2
5
2 ( )
2 16
x x
x f x
x
hàm số liên tục Với x 2 f x( ) 2 x hàm số liên tục
Tại x2 ta có : (2)f 0
2
lim ( ) lim
x f x x x ;
2
2 2
( 2)( 3)
lim ( ) lim lim ( )
2( 2)( 4) 24
x x x
x x
f x f x
x x x
Hàm số không liên tục x2
Bài Cho hàm số
3
3
1
1
( )
1
x
x x
f x
x
x x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý Hàm số xác định với x thuộc
Với ( )
2
x
x f x
x
hàm số liên tục Với
3 1
1 ( )
1
x
x f x
x
hàm số liên tục Tại x1 ta có : (1)
3
f
3
2
3
1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim
3
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x
f x
x x x x
(11)Page 11
2 1
1 2
lim ( ) lim lim ( ) (1)
2
x x x
x
f x f x f
x
Hàm số liên tục x1 Vậy hàm số liên tục
Bài Cho hàm số
2
3
1
1
x x
khi x x
f x
a x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý Hàm số liên tục điểm x1 gián đoạn x1
Bài Cho hàm số
2 1
0
0
x
khi x
f x x
khi x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý Hàm số liên tục điểm x0 gián đoạn x0
Bài Cho hàm số
2 ( ) ( 1)
1
x x
f x x x
x x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý Hàm số liên tục điểm x2và gián đoạn x2
Bài Cho hàm số
2
2 ( )
3
x x x
f x
x x
Xét tính liên tục hàm số
Gợi ý Hàm số liên tục điểm x 1và gián đoạn x 1
Bài 10 Xác định ,a b để hàm số
sin
2
khi
2
x x
f x
ax b x
liên tục
Gợi ý Hàm số liên tục
2
2
0
2
a b
a b a b
(12)Page 12
Bài 11 Xác định ,a b để hàm số
3
3
( 2) ( 2)
( )
x x x
x x x x
f x a x
b x
liên tục
Gợi ý Hàm số liên tục
1
a b
Bài 12 Tìm m để hàm số
3 2 2 1
( ) 1
3
x x
x
f x x
m x
liên tục
Gợi ý Với x1 ta có
3 2 2 1
( )
1
x x
f x
x
nên hàm số liên tục khoảng \
Do hàm số liên tục hàm số liên tục x1 Ta có: (1)f 3m2
3
1
2
lim ( ) lim
1
x x
x x
f x
x
3
1 3
2 lim
( 1) ( 2)
x
x x
x x x x x
2
2
1
2
lim
2 ( 2)
x
x x
x x x x
Nên hàm số liên tục 2
x m m
Vậy
3
m giá trị cần tìm
Bài 13 Tìm m để hàm số
2
1
( )
2
x
x
f x x
x m x
liên tục
Gợi ý Với x0 ta có f x( ) x 1
x
nên hàm số liên tục 0;
(13)Page 13 Do hàm số liên tục hàm số liên tục x0
Ta có: (0)f 3m1
0 0
1 1
lim ( ) lim lim
2 1
x x x
x f x
x x
0
lim ( ) lim 3
x f x x x m m
Do hàm số liên tục 1
2
x m m
Vậy
6
m hàm số liên tục
Bài 14 Tìm m để hàm số
2
2
( ) 1
2
x x
f x x
x
x mx m
liên tục
Gợi ý Với x2 ta có hàm số liên tụC
Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục khoảng ;2 liên tục
x
Hàm số liên tục ;2 tam thức
2
( ) 0,
g x x mx m x
TH 1:
2
' 3 17 17
2
(2)
m m
m
g m
TH 2:
2
2
3
'
2 '
' ( 2)
m m
m m
m
x m
m
3 17
3 17
6
2
m
m m
Nên 17
2 m
(*) ( )g x 0, x
2
lim ( ) lim 3
x f x x x
2
2
1
lim ( ) lim
2
x x
x f x
x mx m m
(14)Page 14
Hàm số liên tục 3
6
x m
m
(thỏa (*))
Vậy m5 giá trị cần tìm
Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình ( )f x 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y f x( ) liên tục D có hai số ,a bD cho ( ) ( )f a f b 0
Để chứng minh phương trình ( )f x 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số ( )
y f x liên tục D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a( ) (i f ai1)0
Các ví dụ
Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm 1 x5 3x 1 2 x32x 4 3 2 x
Gợi ý 1 Xét hàm số f x( )x5 3x1 hàm liên tục Mặt khác: ( 1)f 1, (0) 1f f( 1) (0) f 1
Nên phương trình ( ) 0f x có nghiệm thuộc 1;0 Giả sử phương trình có hai nghiệm x x 1, 2
Khi đó: 5
1 2
( ) ( )
f x f x x x x x
2
1 1 2 2
A
x x x x x x x x x x
(1)
Do
2
2 2
1 2 2
1 1
3
2
Ax x x x x x x x
Nên (1) x1 x2
(15)Page 15
2 Điều kiện:
2
x
Phương trình
2 3
x x x
Xét hàm số f x( )x3 2x3 2 x4 liên tục ;3
3 19
(0) 3 0, (0)
2
f f f f
Nên phương trình ( )f x 0 có nghiệm Giả sử phương trình ( )f x 0 có hai nghiệm x x 1, 2 Khi đó: f x( )1 f x( )2 0
3
1 2
2
1 1 2
1
2 3
6
2
3
B
x x x x x x
x x x x x x
x x
1
x x
(Vì
2 2
2
1
1
3
2
2 3
x x
B x
x x
)
Vậy phương trình ln có nghiệm
Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm :
1 x7 3x5 1 2 x2sinxxcosx 1
Gợi ý
1 Ta có hàm số f x( )x7 3x51 liên tục R (0) (1)f f 3 Suy phương trinh ( ) 0f x có nghiệm thuộc (0;1)
(16)Page 16
Ví dụ x5 2x315x2 14x 2 3x2 x 1 có nghiệm phân biệt
Gợi ý
Phương trình cho tương đương với
2
5 2
2 15 14
x x x x x x x5 9x4 4x318x2 12x 1 (1) Hàm số f x( )x5 9x4 4x3 18x212x1 liên tục
Ta có: ( 2) 95 0, ( 1) 0, 19
2 32
f f f
(0) 0, (2) 47 0, (10) 7921
f f f
Do phương trình ( ) 0f x có nghiệm thuộc khoảng
1
2; , 1; , ;0 , 0;2 , 2;10
2