GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI MỞ RỘNG 3.1 Bài toán sản xuất - vận tải 3.1.1 Phát biểu bài toán Có một loại sản phẩm nào đó dự kiến được sản xuất ở m địa điểm A 1 , A 2 , ., A n . Biết rằng nếu địa điểm A i sản xuất x i đơn vị sản phẩm thì tốn chi phí là f i (x i ). Sản phẩn sản xuất ra cần được vận chuyển tới n địa điểm tiêu thụ B 1 , B 2 , ., B n với nhu cầu tương ứng là b 1 , b 2 , ., b n . Chi phí vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ địa điểm A i tới địa điểm B j được biết trước là c ij . Cần lập một phương án sản xuất và vận chuyển với tổng chi phí sản xuất và vận chuyển nhỏ nhất đảm bảo thoả mãn nhu cầu của các nơi tiêu dùng bằng những sản phẩm làm ra được ở tất cả các nơi sản xuất. Minxcxf m i n j ijij m i ii →+ ∑∑∑ = == 1 11 )( Ký hiều x i là khối lượng sản phẩm được sản xuất tại địa điểm A i và x ij là khối lượng sản phẩm được chuyển từ địa điểm A i đến B j . Khi ấy dạng toán học của bài toán sản xuất - vận tải là cực tiểu hàm chi phí. với các điều kiện sau: ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = =       =≤≤=∈= ==≥ == == n j j m i ii T m ij m i jij n j iij bS xSxxXxxx njmix njbx mixx 1 1 1 1 1 0:), .,( ,1,,1,0 ,1, ,1, với Chú ý: f i là hàm lõm, nghĩa là quy mô sản xuất càng mở rộng thì chi phí sản xuất trên một đơn vị sản phẩm càng giảm. 3.1.2.Phương pháp giải . Hàm mục tiêu của bài toán gồm hai thành phần: phần phi tuyến lõm (ứng với chi phí sản xuất) và phần tuyến tính (ứng với chi phí vận chuyển). Vì số biến phi tuyến x i (m biến) tương đối nhỏ so với số biến tuyến tính x ij (m.n biến), nên để giải bài toán sử dụng kỹ thuật phân dã. Tạm thời cố định các biến x i (mức sản xuất) ta có bài toán vận tải thông thường, giải bài toán này ta thu được phương án vận chuyển tốt nhất ứng với mức sản xuất đã chọn. Tiếp đó, ta kiểm tra xem các x i hiện có đã phải là tốt hay chưa; nếu chưa, ta sẽ tìm cách chọn (nhờ giải một bài toán phi tuyến phụ) mức sản xuất mới tốt hơn và lại giải bài toán vận tải ứng với mức sản xuất mới này, Sau một số hữu hạn bước lặp ta sẽ thu được lời giải của bài toán. ∑∑ == ij j jij j j cbtcbt maxmin và Ký hiệu: t, t là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của phần chi phí vận chuyển trong hàm mục tiêu. Giải bài toán quy hoạch sau đây để tìm mức sản xuất ban đầu: tttXx txfQ ii ≤≤∈ →+ ∑ , min)()( 0 Ký hiệu (t 0 ,x (0) ) là lời giải của bài toán (Q 0 ). Đặt k=0 njmix njbx mixx xc ij j m i ij k i n j ij m i n j ijij ,1,,1,0 ,1, ,1, min 1 )( 1 1 1 ==≥ == == → ∑ ∑ ∑∑ = = = = Bước lặp k ≥ 0. Giải bài toán vận tải: k m i n j k ijijk txcl ≤= ∑∑ = =1 1 )( ta thu được lời giải {x ij (k) }và các thế vị tương ứng {u i (k) , v j (k) }. 1) Nếu , dừng thuật toán: {x i (k) , x ij (k) } là lời giải của bài toán k n j j k j m i k j k ik tbvxul >+= ∑∑ == 1 )( 1 )()( 2) Nếu trái lại, ta có: Ta đưa thêm vào bài toán phụ (Q k ) một rằng buộc mới: 0 1 )( 1 )()( ≤++− ∑∑ == n j j k j m i k j k i bvxut ksbvxut tttXx MintxfQ n j j s j m i s j s i m i iik ,0,0 , )()( 1 )( 1 )()( 1 1 =≤++− ≤≤∈ →+ ∑∑ ∑ == = + từ bất đẳng thức trước đó cho ta thấy x (k) vi phạm rằng buộc mới này và nhận được bài toán mới (Q k+1 ) Giải bài toán này, ta thu được lời giải (t k+1 , x (k+1) ). Chuyển sang bước lặp mới k+1. Chú ý: Các bài toán phụ (Q k ) là bài toán tìm cực tiểu của một hàm lõm với các rằng buộc tuyến tính, trong đó bài toán sau chỉ khác bài toán trước bởi một rằng buộc mới thêm vào. 3.2 Bài toán vận tải đa mục tiêu 3.2.1 Phát biểu bài toán Chi phí và thời gian tương xứng được xét trong bài toán vận tải hai mục tiêu. Giả sử rằng với mỗi ô (i,j) có vài lựa chọn một cặp gồm chi phí cho một đơn vị vận chuyển và thời gian vận chuyển. Mục đích là để liệt kê tất cả các nghiệm hữu hiệu (không trội) trong việc làm cực tiểu tổng chi phí vận chuyển và khoảng thời gian vận chuyển. Phương pháp tham số vận chuyển được sử dụng cho mỗi ô (i,j) gồm tập các lựa chọn (c ij , t ij ) tạo ra mối quan hệ tuyến tính giữa c ij và t ij . Bài toán đối với c ij trở thành từng bước đối với t ij cho tất cả hoặc một số ô (i,j) như là một trường hợp đặc biệt. ∑∑ = = → m i n j ijij xc 1 1 min Lớp các bài toán vận tải thông thường là: )1.3( ;0, ,1;,1,0 ,1, ,1, 1 1 1 1              => ==≥ == == ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = m i n j jiji ij m i jij n j iij baba njmix njbx miax Ngoài ra, thời gian vận chuyển cũng rất quan trọng, đặc biệt là trong trường hợp chất lượng sản phẩm có thể bị suy giảm hoặc có yêu cầu về thời gian đối với hàng hoá đó. Giả sử t ij là thời gian yêu cầu vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j. Chúng ta coi thời gian vận chuyển là không phụ thuộc vào tổng số hàng hoá được vận chuyển và vận chuyển bấy kỳ từ điểm phát nào tới bất kỳ điểm thu nào đều bắt đầu tại một thời điểm là 0. )2.3( )0:( ≥ ij xij ij tMaxMinimise Ngoài mục đích cực tiểu cước phí, bài toán còn phải đòi hỏi giảm thời gian vận chuyển trong suốt quá trình vận chuyển. Gọi thời gian này là “khoảng thời gian vận chuyển”. Về toán học tương xứng với bài toán: Đôi khi cũng có sự tương xứng giữa thời gian vận chuyển và chi phí vận chuyển trên một đơn vị hàng hoá c ij , như trong trường hợp t ij cũng là biến quyết định. Bài toán này xét cực tiểu vector (khoảng thời gian vận chuyển, tổng chi phí vận chuyển) trên tất cả các điểm hữu hiệu t ij và x ij . Mục đích của bài toán là tìm tất cả những điểm hữu hiệu. 3.2.2 Lập phương trình toán học )3.3( : : )(      >+ ≤≤+ = ijijijij ijijijij ij stdsp strdtp tc Gọi c ij (t) là chi phí trên một đơn vị hàng hoá vận chuyển từ nguồn phát i tới nguồn thu j khi t là thời gian vận chuyển tương ứng với cặp điểm đó. Giả sử rằng đối với mỗi ô (i,j) cho quan hệ tuyến tính c ij (t) như sau: Trong đó p ij , d ij , s ij và r ij là hằng số, 0 ≤ r ij ≤ s ij . Nhận xét: Đối với mỗi ô (i,j): p ij ≥ 0 thì c ij (t) là các hằng số hoặc là giảm một cách tuyến tính khi t tăng từ r ij đến s ij . Ta không thể vận chuyển hàng từ điểm phát i tới điểm thu j trong suốt thời gian nhỏ hơn r ij . { }         ∑∑ = = > m i n j ijijijij xji xtctMaxMin ij 1 1 0:),( )(, { } ∑∑ = = > == m i n j ijijijij xji xtcztMaxz ij 1 1 2 0:),( 1 )(, Lập phương trình toán học: với t ij ≥ r ij ∀(i,j) và c ij (t) cho bởi (3.2) Đặt T = {(t 11 , ., t 1n , ., t 21 , ., t 2n , ., t m1 , .,t mn ): t ij ≥ r ij ∀ (i,j)} )(),( 21 ),( PzzMin Kxt ∈ ( )       ∀≥=== ∑∑ == ),(0;:: .,, .,, .,, .,, .,, 11 1221111 jixbxaxxxxxxxK ij n j jij m i iijmnmnn Bài toán được viết lại như sau: { }       === ∑∑ = = > m i n j ijijijij xji xtcztMaxzzzZ ij 1 1 2 0:),( 121 )(,:),( Đặt trên các ô (t,x) ∈ T x K. Tập Z được gọi là không gian chuẩn của bài toán. Nghiệm của bài toán P là liệt kê tất cả những điểm hữu hiệu thuộc Z và tìm sự tương ứng của nó trên T x K. 3.2.3 Trường hợp rời rạc Trường hợp rời rạc của bài toán. Bài toán vận tải có nhiều phương thức vận chuyển khác nhau như vận chuyển bằng đường sắt, đường không, . đối với mỗi cặp điểm bất kỳ. Mỗi phương thức vận chuyển bao hàm thời gian vận chuyển và chi phí vận chuyển trên một đơn vị hàng hoá. Giả sử u ij là số các phương thức vận chuyển từ nguồn phát i tới nguồn thu j. Gọi k là một trong các phương thức vận chuyển đó, khi đó ta có thời gian vận chuyển là t ijk và chi phí vận chuyển trên một đơn vị hàng hoá là c ij . Đặt G ij là tập hợp các phương thức vận chuyển, tức là G ij = {1, 2, ., u ij } tương ứng với ô (i,j). Nếu (t ijh , c ijh ) < (t ijk , c ijk ) với h, k ∈ G ij thì ta nói k là phương thức vận chuyển trội. { }         ∑∑ ∑ = = ∈ > m i n j ijkijk Gk ijk xkji xctMaxMin ij ijk 1 1 0:),,( , Trong ngữ cảnh của bài toán cực tiểu vector khoảng thời gian vận chuyển và tổng chi phí vận chuyển thì việc làm trội các phương thức vận chuyển không liên quan đến nhau. Bởi vậy không mất tính tổng quát ta không làm trội các phương thức vận chuyển với bất kỳ ô (i,j). Bài toán được viết như sau: với các rằng buộc:            ∀> == == ∑ ∑ ∑ ∑ = ∈ = ∈ jix njbx miax ijk m i Gk jijk n j Gk iijk ij ij ,,0 ,1, ,1, 1 1 Giải bài toán sẽ liệt kê được tất cả các nghiệm hữu hiệu. KẾT LUẬN Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài toán tối ưu xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài toán tối ưu cũng ngày càng đa dạng và phong phú. Trong nghành công an có rất nhiều bài toán có thể đưa về BTVT hoặc chuyển hoá thành một trong những lớp của BTVT. Như bài toán phân việc (một dạng đặc biệt của BTVT hai chỉ số). Nội dung như sau: Có n người và n công việc, để giao cho người i thực hiện công việc j cần một chi phí c ij . Vấn đề là cần phân cho người nào làm việc gì sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất, và bài toán sản xuất - vận tải (đã nêu ở Chương 3). Bài toán này có thể áp dụng tính phương án tối ưu trong việc sản xuất - vận chuyển để cấp phát quân trang giữa các nhà máy may của Bộ và các đơn vị cần được cấp phát quân trang . Nếu đi hết tất cả các vấn đề của Lý thuyết BTVT thì đó là một khối lượng kiến thức rất khổng lồ, các vấn đề ứng dụng của BTVT cũng rất nhiều, rất phong phú và đa dạng. Tuy nhiên, thời gian và khuôn khổ của khoá luận, nên những kết quả đạt được vẫn chưa đầy đủ và có thể có sai sót. Khoá luận mới dừng lại trên mô hình lý thuyết, chưa có những chứng minh bằng số liệu thực tế. Mặc dù vậy, kết quả đạt được cũng đã phần nào góp phần làm sáng tỏ những tính chất cơ bản của BTVT và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô giáo, các bạn và người sử dụng để khoá luận hoàn thiện hơn. . GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI MỞ RỘNG 3.1 Bài toán sản xuất - vận tải 3.1.1 Phát biểu bài toán Có một loại sản phẩm nào đó. tiểu của một hàm lõm với các rằng buộc tuyến tính, trong đó bài toán sau chỉ khác bài toán trước bởi một rằng buộc mới thêm vào. 3.2 Bài toán vận tải đa