PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản 2 1) sin sin 2 2)cos cos 2 , u v k u v k u v k u v u v k k π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = ⇔ = ± + ∈ ¢ ¢ 3) tan tan , 4) t t , u v u v k k co u co v u v k k π π = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ II. Một số phương tình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác Dạng: a) asin 2 x + bsinx + c = 0 b) acos 2 x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0) c) atan 2 x + btanx + c = 0 d) acot 2 x + bcotx + c = 0 Cách giải Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa về phương trình bậc hai một ẳn. Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x – sinx – 1 = 0 2) 2cos 2 x - 5cosx – 3 = 0 3) 2sin 2 x – 3cosx = 0 4) sin 2 2x – 2cos 2 x + 3 4 = 0 5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 6) cos4x = cos 2 x 2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c Cách giải: chia 2 vế phương trình cho 2 2 a b+ ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 a b c x x a b a b a b a b do a b a b + = + + +     + =  ÷  ÷ + +     Nên đặt 2 2 2 2 cos sin a a b b a b α α  =  +    =  +  (hoặc ngược lại) Ta được phương trình: ( ) 2 2 2 2 os sin sin cos sin c c x x a b c x a b α α α + = + ⇔ + = + Ta đươc PT bậc nhất theo 1 hslg. Ví dụ: Giải các phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1) 3 sin cos 1 2) 2 cos2 2 sin 3 3)2sin 3 sin 2 3 4)3cos2 4sin 2 5 5)1 sin cos sin cos 0 6) 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 ( 2009) 1 2sin cos 7) 3 ( 2009) 1 2sin 1 sin 8)sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin ( x x x x x x x x x x x x x x x x dh D x x dh A x x x x x x x x + = + = + = + = + + + = − − = − − = − + − + + = + 2 2009) 3 1 9) 3 sin cos 2cos cos 2sin cos 10) 3 2cos sin 1 dh B x x x x x x x x − + + = − = + − 3. Phương trình dạng: asin 2 x + bsinxcosx + ccosx = d Cách giải: Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2 Cách 2: (biến đổi đưa về phương trình bậc hai theo tan hoặc cot) Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi cosx ≠ 0 chia 2 vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) <=> (a – d)tan 2 x +btanx + c – d = 0 Giải phương trình ta được nghiệm của phương tình đã cho. Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 3sin 2 x – 2sin2x – 3cos 2 x = 2 2) cos 3 x + sin 3 x = sinx + cosx 3) 1 4sin 6cos cos x x x = + III. Bài tập I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 0 0 1 2 3 1)sin 2 2)sin 2 3)sin 30 2 6 2 2 3 4)sin 3 5)sin 2 0 6)sin 3 1 4 2 4 6 3 1 2 7) cos 2 8)cos 2 9)cos 3 1 3 2 3 2 3 3 3 10) tan 2 3 11) tan 45 12) tan 3 3 x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π   = + = + =  ÷         − = − − = − = −  ÷  ÷  ÷             − = − = − + =  ÷  ÷  ÷         + = + = − −  ÷   1 4 π   = −  ÷   Bài 2: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1)2sin3 1 0 2) 3 2sin 0 3) 2 sin 2 1 0 3 4)2 os x+30 1 0 5) 2 2cos 0 6)2 os 2 0 4 7) tan 3 0 8) 3 tan 2 1 0 9)cot 2 1 0 4 10) tan 1 cot 2 3 0 11) 2cos 3 3 cot3 1 0 x x x c x c x x x x x x x x π π − = − = + =   − = − − = + =  ÷     + = − + = − =  ÷   − + = + + = Bài 3: Giải các phương trình sau: ( ) 0 0 1)sin 2 sin 50 2)sin 2 sin 3)sin 30 sin3 6 4)sin 3 sin 0 5)sin 2 sinx=0 6)cos 3 os2x 4 4 6 2 7) cos 2 cos 8)cos 2 cos3 0 9)cot cot 2 3 6 3 3 10) ta x x x x x x x x x c x x x x x x π π π π π π π π   = + = + =  ÷         − − = − + − =  ÷  ÷  ÷               − = + − + = − =  ÷  ÷  ÷  ÷         ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n 2 tan 11) tan 45 tan 2 0 12) tan 60 tan 2 20 0 3 x x x x x x π   + = + − = − + + =  ÷   Bài 4: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 0 0 0 1)sin 2 cos 2)sin 2 cos 0 3)cos 30 sin 2 0 6 4) os 100 2 sin( 30 ) 0 5) tan 2 cot x 6)cot 3 tan 2x 4 6 7) tan .tan 2 1 8)cot 2 .cot 3 1 9) tan 3 .cot 1 x x x x x x c x x x x x x x x x x π π π   = + + = + + =  ÷       − + + = − = − =  ÷  ÷     = − = = II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) sin2x – 2cosx = 0 2) 2sin 2 x + cos3x = 1 3) 2cos 2 x + cos2x = 2 4) 8cos2xsin2xcos4x = 2 5) tan2x – tanx = 0 6) cos 2 (x – 30 0 ) = 3 4 III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) sin 2 x + 2sinx – 3 = 0 2) 2sin 2 x + sinx – 1 = 0 3) 2sin 2 2x + 5sin2x + 2 = 0 4) 2cos 2 x – 3cosx – 2 = 0 5) 4cos 2 x + 4cosx – 3 = 0 6) 2cos 2 x – 5cosx – 3 = 0 7) 3tan 2 x – tanx – 4 = 0 8) 5 + 3tanx – tan 2 x = 0 9) -5cot 2 x – 3tanx + 8 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 3sin 2 2x + 7cos2x – 3 = 0 2) 5sin 2 x + 3cosx + 3 = 0 3) 6cos 2 x + 5sinx – 7 = 0 4) 3cos 2 x – 2sinx + 2 = 0 5) 2 4 1 sin cos 4 x x− + = 6) cos2x – 5sinx – 3 = 0 7) cos2x + cosx + 1 = 0 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 2 10) 2cos 2 x – sin 2 x – 4cosx + 2 = 0 11) 9sin 2 x – 5cos 2 x – 5sinx + 4 = 0 12) cos2x + sin 2 x + 2cosx + 1 = 0 13) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – 3 - 2 = 0 14) sin 2 x - cos2x + 4sinx = 6 15) sin 2 2x – 2cos 2 x + 3 4 = 0 16) sin 3 x + 3sin 2 x + 2sinx = 0 17) 2 3 5tan 1 0 cos x x + − = 18) 3tanx – 4cotx + 1 = 0 IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) sinx - 3 cosx = 2 2) ( ) sin 2 3 sin 2 1 2 x x π π   + + − =  ÷   3) 2sin 2 x + 3 sin2x = 3 4) 2cosx – sinx = 2 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin 6 x + cos 6 x + 1 2 sin4x = 0 7) 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8) 8cos 4 x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0 V. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) sin 2 x – 2sinxcosx – 3cos 2 x = 0 2) 6sin 2 x + sinxcosx – cos 2 x = 2 3) sin2x – 2sin 2 x = 2cos2x 4) 2sin 2 x – 3sin4x + cos 2 2x = 2 5) 4cos 2 x +3sinxcosx - sin 2 x = 3 6) 4sin 2 x – 4sinxcosx + 3cos 2 x = 1 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: giải các phương trình 3 3 3 3 3 2 2 1 2 3 2 1)cos3 2 cos 2)cos3 cos sin 3 sin 2 2 1 3)2 2 cos 3cos sin 0 4)2cos 2 8cos 7 4 cos 5)sin 2 2cos 2 1 sin 4cos 6)2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos 7)sin 3 cos sin cos 3 sin cos 8)(1 s x co x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π + − + = − =   − − − = − + =  ÷   + = + − + + = + − = − + 2 2 2 2 in )cos (1 cos )sin 1 sin 2 cos 2 1 9)(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin 10)cot 1 sin sin 2 1 tan 2 cos2 sin 2 11)3 cot 3 12)2sin 2 4sin 1 0 sin cos 6 2sin 2 2cos 2sin 1 13) cos2 2cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π + + = + − + = − − = + − +     + = + − + + =  ÷  ÷     + − − = − ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 3 sin 1 14) sin cos 1 sin 2 cos sin 2 1 sin 15)tan 16)2sin cos2 cos 0 2 sin 3 cos2 17) 4cot 2 18)cos 2 3sin 2 2 3 sin 2cos 1 0 sin tan 1 cos cos 2 cos3 2 19) tan 2 20) cot3 cos cos2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π + + + = + − +   − = + + =  ÷   + − = − + − + = + + + − = = + 2 2 2 2 3 2 (3 3 sin ) 3 cos2 1 21)4sin 3 cos 2 1 2cos 22) tan 3tan 2 4 2 cos 23)4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 24)sin 3 3 cos3 cos2 3sin 2 sin 3 cos sin sin 2 cos2 25) 3 26)cot 1 si cos cos2 1 tan x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π − −     − = + − + − =  ÷  ÷     + + + = + + − = + − = − = + − + 2 1 n sin 2 2 x x− Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 π ) của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x +   + = +  ÷ +   Bài 3: Tìm x [ ] 0;14∈ nghiệm đúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0 Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 π       Bài 5: Cho phương trình: 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x + + = − + 1. Giải phương trình (1) khi a = 1 3 2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm. Bài 6: Tìm x 3 0; 2 π   ∈     thỏa mãn phương trình 2 cos (cos 1) 2(1 sin ) sin cos x x x x x − = + + Bài 7: Cho phương trình: 4cos 3 x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x 1. Giải phương trình khi m = 1 2. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; 2 π π   −  ÷   ---Hết--- MỘT SỐ ĐỀ THI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 7 4 2) 2 1 2 3 3) 3 4 3 3 5 4) 1 5) 5 1 3 2 2 3 6) 3 15 2 5 1 2 2 1 7) 2 1 2 1 2 8) 4 1 2 2 9 3 9) 2 7 2 1 8 7 1 10) 2 9 ( 5) 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = + = + − + − − = + − = − = − − − + + + + = + + − + − − = + + + + + = + + + + − = − + − + − + − = + − Bài 2: Giải các phương trình (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình) 2 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 3 3 3 2 1) 24 12 6 2) 3 10 5 3) 9 ( 3) 6 4) 7 1 5) 5 1 2 6)2 3 2 3 6 5 8 0 ( 2009) 7) 3 2 2 1 8) 17 3 1 1 9) 1 2 1 10) 2 2 x x x x x x x x x x x x dh A x x x x x x x x x + + − = + + − = − = − + − − = − + − = − + − − = − + + − = + + − = − + + = + = − Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 3 3 3 3 4 4 2 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 2 2 2 4 2 12 110 18 1) 2) 3) 0 6 ( 1) ( 1) 72 5 1 7 2 2 9 4 4) ( 08) 5) ( 08) 6) 5 1 13 2 6 6 (1 2 ) 4 x x y y x y x y x x y y x xy y xy x x y y x x x y xy xy xy x y x x y x y x A B x y xy y x xy x x y xy x    + + = + + + = + + + =    + + = = − + + =     + + + + = −  + + =  + + = +   − −   + + = + = +    + + + = −   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 09) ( 1) 3 0 8 3 8 7) ( 09) 8) 9) 5 ( ) 1 0 2 3 0 2 8 16 2 1 26 1 ( ) 4 10) 11) 12) ( 1)( 2) 1 10 1 B x x y x y x y x y D x y x xy y y x y x xy x y y y x x x y x y y x y x x y y y y x x y x y  −   + + − =    + + − = + + =    −    + − + = − + = − =         + + =  + − = − + + + =    +    + + − =  + − =     + = −  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 5 30 (3 2 )( 1) 12 3) 14) 15) 1 1 2 4 8 35 9 2 1 1 3 2 3 16 16) ( 03) 17) ( 03) 18) 2 2 8 3 2 1 3 2 19) x y x y y x x x y x x y x y x x x y y x y x y y y x y x xy y x x y B A x x xy y x y x y x xy y  + + + =   + = + + =       + + = + =     + + + =    +  =  − = −  + + =    − −    + + + =     = = +    − + 2 2 2 4 2 2 2 3 4 11 2 0 20) 21) 2 3 17 4 3 0 3 4 y x y x xy x y x x x xy y x x y x y y x y  − =    = − + + =       + + = − + + =      − =   . sinx + cosx 3) 1 4sin 6cos cos x x x = + III. Bài tập I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 0 0 1 2 3 1)sin 2 2)sin.  Bài 5: Cho phương trình: 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x + + = − + 1. Giải phương trình (1) khi a = 1 3 2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm. Bài