Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao
c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI 1 (phần lý thuyết) Tài liệu ôn tập tú tài này soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết và tổng hợp các phương pháp giải toán cũng như các dạng toán thường gặp. 1 Composed with T E XMaker on MiKT E X version 2.7 c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 1 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Phương trình - Bất phương trình 1. Bất phương trình bậc nhất ax + b > 0(< 0, 0, 0) với a = 0 Cách giải: Biến đổi ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt nếu a < 0). Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất −∞ +∞ ax + b −b/a 0trái dấu a cùng dấu a x 2. Bất pt bậc hai ax 2 + bx + c > 0(< 0, 0, 0) (a = 0) Cách giải: Lập bảng xét dấu và căn cứ vào chiều bất pt để lấy ra tập nghiệm. Ta có 3 trường hợp sau đây: a. Biệt thức ∆ > 0 x ax 2 + bx + c −∞ +∞x 1 x 2 0 0trái dấu acùng dấu a cùng dấu a b. Biệt thức ∆ = 0 x ax 2 + bx + c −∞ +∞ − b 2a 0 cùng dấu a cùng dấu a c. Biệt thức ∆ < 0 ax 2 + bx + c x −∞ +∞ cùng dấu a Chú ý: Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Nếu hệ số a có chứa tham số (m) thì ta phải xét trường hợp a = 0. Với a = 0, ta có các trường hợp sau: f(x) 0,∀x ∈ R ⇔ a > 0 ∆ 0 f(x) > 0,∀x ∈ R ⇔ a > 0 ∆ < 0 f(x) 0,∀x ∈ R ⇔ a < 0 ∆ 0 f(x) < 0,∀x ∈ R ⇔ a > 0 ∆ < 0 c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 2 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Ngoài ra ta còn có các điều kiện hẹp và mạnh hơn là Với a > 0 thì f(x) = ax 2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔ f(α) 0 f(β) 0 Với a < 0 thì f(x) = ax 2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔ f(α) 0 f(β) 0 Với S 2 = − b 2a /∈ (α, β) hoặc ([α, β]) thì f(x) = ax 2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔ f(α) 0 f(β) 0 (không cần biết dấu của a) Với S 2 = − b 2a /∈ (α, β) hoặc ([α, β]) thì f(x) = ax 2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔ f(α) 0 f(β) 0 (không cần biết dấu của a) 3. Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Các dạng thường gặp là |A| = |B|,|A| = B,|A| > |B|,|A| < B,|A| > B Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối để khử dấu trị tuyệt đối. Trong đó ta lưu ý: • |A| = |B| ⇔ A 2 = B 2 ⇔ A = B A = −B • |A| > |B| ⇔ A 2 > B 2 ⇔ A 2 − B 2 > 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0 • |A| = B ⇔ B 0 A 2 = B 2 ⇔ B 0 A = B A = −B • |A| < B ⇔ −B < A < B • |A| > B ⇔ A > B A < −B Chú ý: |A| = A nếu A 0 −A nếu A 0 . 4. Phương trình, bất phương trình chứa căn thức Cách giải chung: Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa, sau đó bình phương (nâng lũy thừa) để khử căn thức. Trong đó ta lưu ý: c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 3 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • √ A = √ B ⇔ A 0 hoặc B 0 A = B • √ A = B ⇔ B 0 A = B 2 • √ A > √ B ⇔ B 0 A > B • √ A > B ⇔ B < 0 A 0 B 0 A > B 2 • √ A < B ⇔ B 0 A 0 A < B 2 Chú ý: √ A có nghĩa khi và chỉ khi A 0. Khi bình phương hai vế, phải luôn bảo đảm hai vế không âm (hoặc cùng dấu). c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 4 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1. Hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d • TXĐ: D = R. • Sự biến thiên (i) Tính các giới hạn: lim x→−∞ y và lim x→+∞ y (ii) Tính: y = 3ax 2 + 2bx + c và giải y = 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực trị (nếu có) và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Tính: y = 6ax + 2b. Giải y = 0 để tìm điểm uốn (làm nháp) • Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên). • Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên. 2. Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c • TXĐ: D = R. • Tính các giới hạn: lim x→−∞ y và lim x→+∞ y • Tính: y = 4ax 3 + 2bx và giải y = 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực trị (nếu có)và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. • Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên). • Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên. 3. Hàm hữu tỷ nhất biến (còn gọi là hàm 1 trên 1) y = ax + b cx + d • TXĐ: D = R \ − d c . • Tính giới hạn và tìm tiệm cận: Tính được lim x→ − d c − y, lim x→ − d c + y, lim x→−∞ y = a c và lim x→+∞ y = a c Từ đó suy ra tiệm cận đứng là x = − d c . Tiệm cận ngang là y = a c . • Đạo hàm: y = ad − bc (cx + d) 2 . Căn cứ vào dấu của ad − bc (> 0 hay < 0) để kết luận cho y , từ đó lập bảng biến thiên, và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. • Tìm thêm 4 điểm đặc biệt. Chú ý đến các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. 4. Hàm hữu tỷ bậc 2 trên bậc 1 y = ax 2 + bx + c dx + e (dành cho chương trình nâng cao) c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 5 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • TXĐ: D = R \ − e d . • Tiệm cận: Chia tử cho mẫu trong y ta viết lại y ở dạng: y = Ax + B + M dx + e . Khi đó: Tiệm cận đứng là x = − e d . Tiệm cận xiên là y = Ax + B. • Đạo hàm: y = a b 0 d x 2 + 2 a c 0 e x + b c d e (dx + e) 2 = adx 2 + 2aex + be − cd (dx + e) 2 • Giải y = 0 ⇔ adx 2 + 2aex + be − cd = 0. Từ đó lập bảng bthiên và nêu rõ cực trị nếu có và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. • Cho thêm điểm đặc biệt và vẽ đồ thị. c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 6 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Một số bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số (C) : y = f (x) 1. Đồng biến - nghịch biến a. Hàm số y = f(x) đồng biến trên miền D ⇔ y 0,∀x ∈ D b. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên miền D ⇔ y 0,∀x ∈ D (y = 0 tại hữu hạn giá trị x.) Chú ý: Đối với hàm y = ax + b cx + d thì ta buộc điều kiện y > 0 (đồng biến) và y < 0 (nghịch biến) 2. Cực trị a. Điều kiện chung: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = x 0 . • y = f(x) có cực trị ⇐⇒ y đổi dấu. • y = f(x) có cực trị tại x 0 ⇒ f (x 0 ) = 0 (phải thử lại). • y = f(x) có cực đại tại x 0 ⇔ f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 • y = f(x) có cực tiểu tại x 0 ⇔ f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0 b. Điều kiện cụ thể • Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0) có hai cực trị CĐ và CT ⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt. • Hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e có hai cực trị CĐ và CT ⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định. • Hàm số y = ax + b cx + d không có cực trị. • Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 1 cực trị nếu a.b > 0, có 3 cực trị nếu a.b < 0. c. Đường thẳng qua các điểm cực trị Khi hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0) có hai cực trị, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị đó? • Chia đa thức y cho y ta được: y = (Ax + B).y + mx + n. • Gọi (x 0 , y 0 ) là điểm cực trị thì ta có: y (x 0 ) = 0 y(x 0 ) = (Ax 0 + B).y (x 0 ) + mx 0 + n ⇒ y(x 0 ) = mx 0 + n. Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y = mx + n. 2 2 khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 7 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành d. Khi hàm hữu tỷ y = ax 2 + bx + c dx + e có hai cực trị, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị đó? • Đặt y = u(x) v(x) , ta có y = u (x).v(x) − v (x).u(x) v 2 (x) . • Do y đạt cực trị tại x = x 0 nên y (x 0 ) = 0 ⇔ u (x 0 ).v(x 0 ) − v (x 0 ).u(x 0 ) v 2 (x 0 ) = 0 ⇔ u(x 0 ) v(x 0 ) = u (x 0 ) v (x 0 ) = 2ax 0 + b d ⇒ y(x 0 ) = 2ax 0 + b d Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y(x) = 2ax + b d . 3 Chú ý: Nếu tìm được cụ thể 2 điểm cực trị là A(x A , y A ) và B(x B , y B ) thì đường thẳng qua 2 cực trị A và B chính là đường thẳng AB. 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y = f(x), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền D. a. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên đoạn [a, b]. • Tính y và giải y = 0 tìm nghiệm. Giả sử có nghiệm là x 1 , x 2 ∈ [a, b]. • Tính f (a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) và so sánh để kết luận. b. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên khoảng (a, b), nửa khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b]. • Tính y và lập bảng biến thiên trên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b) hay (a, b]). • Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận. c. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) (đề bài không nói gì thêm). • Tìm tập xác định của hàm số. • Tính đạo hàm y và lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận. 4. Tìm giao điểm của hai đồ thị a. Cho y = f(x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C ), hãy tìm giao điểm của (C) và (C )? • Hoành độ giao điểm của (C) và (C ) là nghiệm của pt: f(x) = g(x) (*) • Số giao điểm của (C) và (C ) chính bằng số nghiệm của (*). b. (C) và (C ) tiếp xúc ⇔ Hệ f(x) = g(x) f (x) = g (x) có nghiệm. 5. Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) a. Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm) Phương trình có dạng: 3 khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 8 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành y = f (x 0 ).(x − x 0 ) + y 0 (f (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến; f (x 0 ) đôi khi được viết là y (x 0 )). b. Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k cho trước • Gọi (x 0 , y 0 ) là tọa độ tiếp điểm. • Giải f (x 0 ) = k tìm ra x 0 , thay x 0 vào (C) có y 0 = f(x 0 ) ⇒ có được tọa độ tiếp điểm. Chú ý: Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax +b thì f (x 0 ) = a; nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f (x 0 ) = − 1 a . c. Phương trình tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) M 1 (x 1 , y 1 ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 1 (x 1 , y 1 ) & có hệ số góc k là: y = k.(x − x 1 ) + y 1 • Dùng điều kiện tiếp xúc f(x) = k.(x − x 1 ) + y 1 f (x) = k ⇒ tìm ra k. 6. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : ẩn, m : tham số). Biện luận theo m số nghiệm của pt. • Viết pt đã cho dưới dạng f(x) = g(m) (*), trong đó f(x) là hàm có đồ thị vẽ được (1 trong 4 dạng) (thường là đã vẽ), y = g(m) là đường thẳng song song Ox. • Số nghiệm của (*) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị : (C) : y = f(x) và đường thẳng y = g(m). 7. Tương quan (giao điểm) của đồ thị hàm số bậc 3 với các trục tọa độ (Ox và Oy). Cho y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Khi đó a. (C) cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi y có cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu. • Bước 1: Tính y , xét pt bậc 2 y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (chỉ xét điều kiện ∆ > 0, không tính cụ thể x 1 , x 2 ). • Bước 2: Chia đa thức y cho y ta được y = (Ax + B).y + kx + h. Khi đó y(x 1 ) = kx 1 + h y(x 2 ) = kx 2 + h . Hai giá trị cực trị trái dấu khi y(x 1 ).y(x 2 ) < 0 ⇔ (kx 1 + h)(kx 2 + h) < 0 ⇔ k 2 x 1 x 2 + kh(x 1 + x 2 ) < 0 (∗) Áp dụng Viét x 1 x 2 = c a ; x 1 + x 2 = − b a , thay vào (∗). c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 9 c Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành b. (C) cắt trục Ox chỉ tại 1 điểm khi hai giá trị cực trị cùng dấu (y(x 1 ).y(x 2 ) > 0) hoặc y rơi vào 2 trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆ 0. Chú ý: • Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy khi x 1 .x 2 < 0 • Hai cực trị nằm cùng phía so với trục Oy khi x 1 .x 2 > 0. • Hai cực trị nằm hai phía so với trục O khi y(x 1 ).y(x 2 ) < 0 • Hai cực trị nằm cùng phía so với trục O khi y(x 1 ).y(x 2 ) > 0 • Nếu phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) thì ta nên xét số nghiệm của phương trình này để suy ra số giao điểm của (C) và trục hoành Ox. 8. Khoảng cách Cho M(x M , y M ), N(x N , y N ), P (x 0 , y 0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó: MN = (x N − x M ) 2 + (y N − y M ) 2 d(P, ∆) = |Ax 0 + By 0 + C| √ A 2 + B 2 Chú ý: • Khoảng cách từ M(x 0 , y 0 ) đến trục hoành là |y 0 | • Khoảng cách từ M(x 0 , y 0 ) đến trục tung là |x 0 | 9. Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f(x) sao cho A, B đối xứng nhau qua ∆ : y = ax+b • Gọi d là đường thẳng vuông góc với ∆, khi đó d có dạng: y = − 1 a x + m. • Giao điểm của d và (C) chính là A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình: f(x) = − 1 a x + m • Ta lập luận tìm điều kiện tồn tại của A và B. • Gọi I là trung điểm của AB, do tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ đó tìm m rồi suy ra tọa độ của A, B. A BI ∆ d (C) : y = f(x) c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 10
