đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn toán Thời gian làm bài 150 phút ----------------------------------------------- Câu 1: Tính giá trị biểu thức: ( ) 2007 23 283 ++= xxA Với ( ) 25 56145 38517 3 + + = x Câu 2: Cho hàm số y = mx 2 + (m + 3)x + 1 6m (1) Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ xOy, đồ thị của hàm số (1) đã cho luôn luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m. Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: 1 12007.3 1 2007.3 1 32007 1 22007 1 12007 1 > + +++ + + + + + Câu 4: Gọi hai nghiệm x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x 2 + (m 2 +5)x 1 = 0 với m Z a. Tính tổng 6 2 6 1 xx + theo m b. Tìm các giá trị của m để sao cho 6 2 6 1 xx + chia hết cho 3. Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E. Tia Cx vuông gốc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng : a. BCMACE = và EAC MBC . b. Khi điểm N chạy trên cạnh AB nhng không trùng với A,B thì trung điểm M của đoạn EF luôn chạy trên một đờng thẳng cố định. 2. Xác định vị trí của N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9 đề I Câu 1: Biến đổi tử số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 17 5 38 5 2 17 5 38 17 5 38 17 5 38 1 + = + = = Biến đổi mẫu số: ( ) 3535 535 56145 2 =+= += Vậy 3 1 thay vào biểu thức A ta có: 2007 2007 22 2007 23 32 3 8 3 1 2 3 1 .8 3 1 .3 = ++= + + = A Vậy A=3 2007 Gọi A (x 0 ; y 0 ) là điểm nào đó mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua mọi giá trị của m. Vậy x 0 ; y 0 phải thoả mãn với mọi m: ( ) (*)13)6(: 613 000 2 0 0 2 00 =+ +++= xymxxHay mxmmxy Phơng trình (*) đúng với mọi m nên phải có : )2(013 )1(06 00 0 2 0 = =+ xy xx Phơng trình (1) có 2 nghiệm x 0 =2 ; x 0 =-3 Thay x 0 = 2 vào (2) ta có y 0 =7; thay x 0 =-3 vào (2) ta có y 0 = -8 Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn đi qua hai điểm A(2;7) và B(-3;-8) Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: 1 12007.3 1 2007.3 1 32007 1 22007 1 12007 1 > + +++ + + + + + Đặt n=2007 ta cần chứng minh: 1.3 1 .3 1 3 1 2 1 1 1 + +++ + + + + + = nnnnn P (1) Viết : 1 1 2 1 3 1 13 1 + + + +++ + = nnnn P (2) Cộng (1) với (2) đợc ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) )3( 113 1 23 1 . 3.2 1 131 1 122 113 24 23 24 . 3.2 24 131 24 1 1 13 1 2 1 3 1 . 3 1 2 1 13 1 1 1 2 ++ + + ++ + + ++ += ++ + + + + ++ + + + ++ + = + + + + + +++ + + + + + + = nnnnnnnn n nn n nn n nn n nn n nnnnnnnn P Mỗi mẫu số trong các số hạng của(3) có dạng: (n + k)(3n k + 2)=(2n + 1) 2 - (n k + 1) 2 < (2n + 1) 2 với 1 k 2n + 1 Tổng của (3) có 2n + 1 số hạng nên 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm ( ) 12 12 12 ).12(22 2 >= + + +> PraSuy n n nP Câu 4 Đặt a=m 2 + 5, ta có phơng trình: x 2 + ax 1 = 0 với a Z. theo định lý Vi ét : x 1 + x 2 =-a, với a Z và x 1 .x 2 =-1 Biến đổi ( ) ( ) ( )( ) )1( 4 221 4 1 2 2 2 1 3 2 2 3 2 1 6 2 6 1 xxxxxxxxxx ++=+=+ từ ( ) 22 2 21 2 21 2 2 2 1 +=+=+ axxxxxx và ( ) ( ) 323 2 22 1 2 1 2 2 2 2 1 4 221 4 1 +=+=+ axxxxxxxx Thay vào (1) đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 6 6 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 (2)x x a a a a + = + + = + + a. Thay a = m 2 + 5 vào (2) ta đợc: ( ) ( ) 3 2 2 6 6 2 2 1 2 5 2 3 5 2x x m m + = + + + + b. Từ (2)ta có: ( ) )3(323 3 26 2 6 1 ++ axx Ta chứng minh rằng: 33 3 bb đặt b = 3t + r với r = 0,1,2 thì b 3 = 27t 3 + 27t 2 r + 9tr 2 + r 3 nghĩa là tbrb 303 3 == vậy (3) xẫy ra khi 313312 222 +=+ aaa hay ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 1 3 6 4 3 1 3m m m m m+ + + + (4) đặt m = 3t + rvới r= 0,1,2 thì (4) xẫy ra m = 3t Vậy 6 6 1 2 3 3x x m + Câu 5: 1.Hai điểm A và C cùng nhìn EF dới 1 góc vuông nên A,C dều nằm trên đờng tròn tâm M, đờng kính EF. Từ đó 0 45 == FACFEC và các góc CFMMCFECM ,, đều bằng 45 0 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Suy ra: CE = CF từ đó BCMECBACE == 0 45 Hơn nữa raSuyMBCEAC .135 0 == EAC MBC 2. Đặt BN = x với 0 < x < a thì AN=a x 0 từ đó AEN BCN suy ra: ( ) a x a x xaa AE BN AN BC AE = == 2 (1) Từ CD = CB, CE = CF và BCFBCMACEDCE ==+= 00 4545 Suy ra CBFCDE = do đó BF = DE = DA + AE = x a a x a a 22 =+ (2) Ta có AF = AB + BF = x a a 2 + (3) Từ (1), (2), (3) tính đợc : S ACFE = S CBF + S ACB + S FAE =ẵ(a 2 + AE.AF +CB.BF) = 2 34322 2 22 1 x xaa x a a x a a x a a + = + + + Để S ACFE = 3S ABCD cần giải phơng trình 2 2 34 3 2 a x xaa = + hay 6a 2 x 2 - a 3 x a 4 = 0 <=> 6x 2 - ax a 2 = 0 Giải phơng trình này đợc : 3 ; 2 21 a x a x == (loại) vậy 2 a BN = 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm . đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn toán Thời gian làm bài 150 phút -----------------------------------------------. diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9 đề I Câu 1: Biến đổi tử số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 17 5 38 5 2 17 5 38