Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a 1 , a 2 , a 3 . đều chia hết cho b Thì : a/ a 1 + a 2 + a 3 +… chia hết cho b b/ a 1 n + a 2 .n + a 3 .n … chia hết cho b * HỆ QUẢ : a 1 M b a 1 + a 2 M b 2/ b 1 \ a 1 , b 2 \ a 2 , b 3 \ a 3 thì b 1 .b 2 .b 3 \ a 1 .a 2 .a 3 * HỆ QUẢ: b\ a thì b n \ a n và b.c \ a.c ( với mọi n ∈ N, c ≠ 0 , c ∈ Z ) 3/ bc\ ac ⇒ b \ a ( c ≠ 0) 4/ Nếu a M b a M c ( b,c) = 1 5/ Nhò thức Niu-Tơn: a/ a n - b n = ( a-b)(a n-1 b 0 + a n-2 b + a n-3 b 2 +…+a 0 b n-1 ) với n ∈ N, và a ≠ b b/ a n + b n = ( a+ b)(a n-1 b 0 - a n-2 b + a n-3 b 2 – a n-4 b 3 +…-ab n-2 + a 0 b n-1 ) với n ∈ N, n lẻ và a ≠ -b c/ ( a+ b+ c) 2 = 2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc+ + + + + d/ 2 2 2 ( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − − 6/ Đònh lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) Nếu f(x) có nghiệm là x 0 thì f(x) = ( x-x 0 )g(x) họăc f(x) M ( x-x 0 ). Nói cách khác f(x) M (x- a) khi f(a) = 0 • CHÚ Y Ù:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) M (x-1) 1 Thì a 2 M b ⇒ a M b.c b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) M (x+1) 7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ : • Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125) + Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 + Với a,b ∈ Z ; b ≠ 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho .a b q r= + (0 r≤ < b ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b + Đònh lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhò thức g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trò của f(a) + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia Đa thức f(x) = 1 2 1 2 1 0 . n n n n n n a x a x a x a x a − − − − + + + + + cho nhò thức x α − a n a n-1 a n-2 … a 1 a 0 α b n =a n 1 1 . n n n b b a α − − = + 2 1 2 . n n n b b a α − − − = + … 1 2 1 .b b a α = + 1 0 .r b a α = + ( Dòng thứ 2 : giá trò ở ô cuối cùng là số dư, giá trò ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương) + Tam giác PASSCAN: 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng) 8/ NGHI Ệ M C Ủ A Đ A TH Ứ C V Ớ I H Ệ S Ố NGUN : f(x) = 1 2 0 1 2 1 0 . n n n n n a x a x a x a x a − − − + + + + + • Nếu có nghiệm hữu tỷ p q thì : p là ước của a n ( n a pM ) và q là ước của a 0 ( 0 a qM ) • Nếu có nghiệm ngun x = a thì a là ước của a n • Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x 3 – x 2 +4 thành nhân tử ( CMR : x 3 – x 2 +4 chia hết cho x 2 +x+2) +nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = { } 1;1; 2;2− − + Thử lại ta có x = 2 là nghiệm . Vậy 2 ( ) ( 2)( 2)f x x x x= − + + ( 2 ( ) 2 2 f x x x x = + + − ) + x 2 +x+2 có ∆ = -7 < 0 ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x 3 + 7x 2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x { } 1; 1; 5; 5∈ − + − + Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x 1 1 5 5 ; ; ; 3 3 3 3   ∈ − + − +     Thử lại ta có 1 3 là nghiệm . 2 1 ( ) 3( )( 2 5) 3 f x x x x⇒ = − − + do x 2 -2x +5 VN 9/ Phương trình bậc hai : Có biệt thức : ( ) 2 2 0 0 4 ax bx c a b ac + + = ≠ ∆ = − * ∆ < 0 phương trình vơ nghiệm. 3 * ∆ = 0 tphương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − * ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = VD- 3x 2 – 8x + 4 = 0 10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = 1 * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = 5 2n − − a, Tìm các số ngun n để biểu thức A là phân số. b, Tìm các số ngun n để biểu thức A là số ngun. 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500 b, (3x – 2 4 ). 7 3 = 2. 7 4 c, 5 16 2.( 3)x − = + − 3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0 ? BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + . . . . + 5 96 a, Chứng minh: S M 126 b, Tìm chữ số tận cùng của S 2, Chứng minh A = n(5n + 3) M n với mọi n ∈ Z 3,Tìm a, b ∈ N, biết: a + 2b = 48 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14 BÀI 2 :a. Chứng minh: 12 1 30 2 n n + + (n ∈ Z) tối giản b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn. c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đó ? d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ? e, Tính: 2 2 2 2 . 1.3 3.5 5.7 99.101 + + + + BÀI 3: 1) Rót gän 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 ++ ++ = A 2) Cho * )3( 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 Nn nn S ∈ + ++++=  Chøng minh: S < 1 4 3) So sánh: 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 4) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố 5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21 6 )Cho phân số: )1;( 1 5 + = nZn n n A a) Tìm n để A nguyên. b) Tìm n để A tối giản . BI 4 1) Tìm các giá trị của a để số 5123a a) Chia hết cho 15 b) Chia hết cho 45 2/ Chứng minh rằng: 11810 += nA n chia hết cho 27 (n là số tự nhiên). 3/ Cho nnnA 23 23 ++= a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n. b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15. 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 9 1 , đạt điểm khá chiếm 3 1 , đạt điểm yếu chiếm 14 1 tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. Tính số học sinh mỗi loại. BI 5: 1/ Cho 200432 3 333 ++++= A a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng 130MA . c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ? 2) Tìm n Z để 31313 2 ++ nnn M CHUYấN TNH TNG HU HN Bi 1: a. Cho n l mt s nguyờn dng. Hóy so sỏnh: 2 1 1 1 + - n n+1 ữ v ( ) 2 2 1 1 1 + - n n+1 b. Tớnh: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + 1 + + + . + 1 + + 2 3 3 4 4 5 2005 2006 Bi 2: Chng minh rng: 5 n n 1 1 1 1 + + + . + n 2 2 3 2 -1 vi n N v Ví dụ1(SGK-T8.Tr25) Chứng minh rằng: n 3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: Ta có n 3 n =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n 3 n 6M . Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau. Bài1: Chứng minh rằng : ),(66 33 Znmmnmn ++ MM . Giải: Tacó )(,6)()()()( 1 3333 theoVDmmnnmnmn M +=++ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau. Bài2: Chứng minh rằng: ),1,(,6 6 . 321 33 3 3 2 3 1 niZxxxxxxxxx inn =++++++++ MM Bài3: Cho A= .9998 .321 33333 +++++ Hỏi A có chia hết cho 6 không? Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S= 625.33.6 2 )199(99 MS = + . Do đó A 6M . Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004). Chứng minh rằng: 6)( 3333 Mzyxzyx ++ với mọi số nguyên x,y,z. Giải: [ ] )()()()()()( 33333333 zzyyxxzyxzyxzyxzyx ++++=++ . Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài5: Viết số 2004 2005 thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý k aaaa .,, .,, 321 .Tìm số d của phép chia 33 3 3 2 3 1 . k aaaa ++++ cho3. Giải: Đặt N= 33 3 3 2 3 1 . k aaaa ++++ và k aaaa ++++= 2005 321 2004 . Ta có N- = 2004 2005 3)( .)()()( 3 3 3 32 3 21 3 1 M kk aaaaaaaa ++++ ,(VD 1 ) Mặt khác 2004 2005 chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1. Kết hợp với hằng đẳng thức đã học 1 VD đợc phát triển thành các bài toán thú vị sau. Bài 6: Cho 23232 )()13()1( baabbabaP ++++= . Chứng minh rằng P chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b. Giải: 6 Đặt 222 )(13;1 bayxabbyabax +=++=+= . Khi đó ta có P= 6)()()( 3333 Myyxxyxyx +=++ . Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: 33)3()3( 23323 MM yxyxyxyx ++++ . Gợi ý: Đặt :,)(3;3 32323 yxbayxybxyxa +=++=+= Ta có 33)()(33 3 1 33 MMMM yxyxBTbaba ++++ (vì 3 là số nguyên tố). Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z= 2007 2006.3 Chứng minh rằng: M= 323232 )()()( xzyzzxzxyyyzxyx ++++++++ chia hết cho 6. Giải: Đặt 333222 ;; cbaMxzyzzcxzxyybyzxyxa ++=++=++=++= Ta có: )(6)()(2 2222 gtTheozyxzxyzxyzyxcba ++=+++++=++ M . Do đó M 6M (theo-BT 2 ) Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau. Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau: a) 333 20052)()( +++=+++ zyxzyyx (1) b) 189)12()1( 3322 =+++ xyyx (2) Giải: a) [ ] [ ] 333 2005)()()()()1( =+++++ zyzyyxyx (3) Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng 3 2005 không chia hết cho 6,do đó phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) Đặt 222 )(12;1 yxqpxyqyxp +=++=+= . Khi đó phơng trình (2) trở thành : 189 33 =+ qp . Vì 189 3M nên )(33 1 33 BTtheoqpqp ++ MM .Từ đó suy ra p+q là số chính phơng chia hết cho 3. Mặt khác 7.3.9))((189 2233 =++=+ qpqpqpqp .Do đó p+q chỉ có thể bằng 9 ),(39)( 2 + =+=+ Zyxyxyx , từ đó suy ra phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn. Bài 10 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng nn nn ++ =+ 1 1 1 với n là số tự nhiên. Chứng minh : ( nnnn +++ 1)(1 ) 11 =+= nn nn nn ++ =+ 1 1 1 Phát biểu cách khác : 7 1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( )1 nn + và nn ++ 1( ) là hai số nghịch đảo. 2 . nn nn ++= + 1 1 1 (với n là số tự nhiên) Bài 12: Tính a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 Giải : a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + = 9110099100 .342312 ==++++ b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 = 11 .342312 =++++ nnn Bài 13: Tính a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk Định hớng : 21 1 21 + = hay 1 1 1 ++ =+ nn nn Giải : 8 a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + = )20062005( .)43()32()21( ++++++ = 20062005 .433221 +++ = )20061( + b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk B = )122( .)43()32()21( ++++++++ kk = 122 .433221 ++++++ kk = )112( + k ởBài 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3 Bài 14 Chứng minh: Với x>0,n 0 Ta có: nxn x nxn ++ =+ Bài15 Tính a. C = 1316 3 . 710 3 47 3 14 3 + ++ + + + + + b. D = 1212 1 . 57 1 45 1 13 1 ++ ++ + + + + + kk Với k là số tự nhiên 1 Giải a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( 4 ) 2 - 2 1 = 3 , ở đây x = 3 Ta có: C = + + 14 3 + + 47 3 + + 710 3 + 1316 3 + = 1316 .7104714 ++++ = 314116 == 9 b. ¸p dông bµi3vµo bµi bµi 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ë ®©y x = 2 Do ®ã ta ®a vÒ d¹ng bµi to¸n 4a nh thÕ nµo ? ( Nh©n 2 vµo 2 vÕ ) 2D = 2 2 2 2 . 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k + + + + + + + + + − 2D = 1212 .573513 −−+++−+−+− kk 2D = ⇒−+ 112k D = 2 112 −+ k Bµi 16: TÝnh a. E = 25242425 1 . 3223 1 2112 1 + ++ + + + §Þnh híng : nnnn )1(1 1 +++ = ? nnnn )1(1 1 +++ = 1 1 + nn . 1 1n n+ + = 1. 1 + −+ nn nn = 1 11 + − nn E = 25 1 24 1 . 3 1 2 1 2 1 1 1 −++−+− = 1- 5 4 5 1 1 25 1 =−= 3 3 3 . . 5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006 b P = + + + + + + Ta cã 3 5 2 2 5+ 3(5 2 2 5) (5 2 2 5)(5 2 2 5) − = + − 3(5 2 2 5) 30 − = = 5 2 2 5 10 − = 5 2 2 5 10 10 − = 1 1 2 5 − 10 [...]... Tìm m để (d1); (d2); (d3) và (d) đồng quy Bài 14 Vẽ đồ thị các hàm số sau: 14.1 y= x 14.2 y= x –2 14.3 y = x −1 + x − 3 Bài 15 Cho hàm số y = (2m – 3)x – 1 15.1 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = – 5x + 3 15.2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( – 1; 0) 15.3 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng y = 1 và y = 2x – 5 đồng quy tại một... Bài 16 Cho hàm số y = (m – 1)x + m (1) 16.1 xác định giá trị của m để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ? Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 – 2 16.2 xác định giá trị của m để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = – 5x + 1 16.3 với giá trị nào của m thì góc α tạo bởi đường thẳng (1) với tia Ox là góc tù? Góc 450 ? Bài 17 17.1 17.2 17.3 Bài 18 ax − y = 2  x + ay = 3 Cho hệ phương trình... 1+2 (10-1) VËy ta cã : 100 − 1 ) 18 < S < 19 Chó ý : Còng cã thĨ thay ®ỉi néi dung bµi nµy nh sau : C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 14 3− 2+ 4− 3 + C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cđa S Bµi 24 So s¸nh A vµ B A=2( 2 + 4 + + 2006 ) + 2008 Áp dơng bµi 11 ;B=2( 1 + 3 + + 2007 ) víi m ≥ -1 2 m + 2 m + 2 < 2 2 m +1 Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta cã: 0 + 2 1 A= n+x − n B= n − n −x ta cã : A < B tõ bµi to¸n 6 ta cã bµi to¸n sau: Bµi 19: So s¸nh C vµ D C= m+p − m D= n+p − n Víi m > n > 0 ,p > 0 11 Ta cã C= p m+ p + m p D= n+ p + n V× m > n ⇒ C < D *ap dơng bµi 71 chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi 20 : Chøng minh a b n + 1 + n −1 < 2 n (Víi . Cho * )3( 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 Nn nn S ∈ + ++++=  Chøng minh: S < 1 4 3) So sánh: 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 4) Tìm số nguyên tố. 31313 2 ++ nnn M CHUYấN TNH TNG HU HN Bi 1: a. Cho n l mt s nguyờn dng. Hóy so sỏnh: 2 1 1 1 + - n n+1 ữ v ( ) 2 2 1 1 1 + - n n+1 b. Tớnh: 2 2 2 2