Phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức Phần lớn các bất phơng trình nhiều biến có giả thiết về điều kiện tổng không đổi hặc tích không đổi của các đại lợng.Một số bài nh vậy ta có thể đổi biến để chuyển bất đẳng thức phức tạp về bất đẳng thức đơn giản A) Lý thuyết: Nhận xét 1: Nếu a và b là các số dơng thoả mãn điều kiện: a + b = k ( k là hằng số dơng ) Thì : a)Tồn tại : t (- ; 2 2 k k ) thoả mãn a = 2 k - t ; b = 2 k + t b)Tồn tại x , y > 0 thoả mãn a = k. x x y + ; b = k. y x y + NhËn xÐt 2: NÕu c¸c sè d¬ng a 1 ; a 2 ;… a n cã tæng b»ng k th× tån t¹i c¸c sè d- ¬ng x 1 ; x 2 ;… x n tho¶ m·n : a 1 = k. 1 1 2 . n x x x x + + + ; … ; a i = k. 1 2 . i n x x x x + + + ; …; a n = k. 1 2 . n n x x x x + + + NhËn xÐt 3: NÕu c¸c sè d¬ng a,b,c cã tÝch b»ng 1 th× tån t¹i c¸c sè d¬ng x,y,z tho¶ m·n : a = x y ; b = y z ; c 2 = z x Nếu các số dơng a 1 ; a 2 ;; a n có tích bằng 1 thì tồn tại các số dơng x 1 , x 2 , .,x n thoả mãn : a 1 = 1 2 x x ; ; a i = 1 i i x x + ; .; a n = 1 n x x B) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho các số dơng x , y thoả mãn x + y = 2. Chứng minh x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 3 Giải: Vì x + y = 2 nên có thể đặt x = 1 + t ; y = 1- t ( - 1 < t < 1) Bất đẳng thức trở thành: (1- t) 2 (1 + t) 2 [(1-t) 2 + (1 + t) 2 ] 2 Ta có (1- t) 2 (1 + t) 2 [(1-t) 2 + (1 + t) 2 ] = (1-t 2 ) 2 (2 + 2t 2 ) = 2(1- t 2 )(1-t 4 ) Vì -1< t < 1 nên t 2 < 1 và t 4 < 1 ta có : 0 < 1-t 2 1 ; 0 < 1- t4 1 => (1-t2)(1-t4) 1 => 2(1-t2)(1-t4) 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 0 => x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1 Bài 2 : Cho các số dơng x, y thoả mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1- 2 1 x )(1 - 2 1 y ) Giải : Vì x , y là các số dơng có tổng bằng 1 nên tồn tại các số dơng a , b thoả mãn : 5 x = a a b + ; y = b a b + => 1 x = a b a + = 1 + b a => 1- 2 1 x = 1 - 2 1 b a   +  ÷   = 1- 2 2 1 b b a a     + +    ÷       6 = - 2 b b a a   +  ÷   T¬ng tù ta cã : 1 y = 1+ a b => 1 - 2 1 y = - 2 a a b b   +  ÷   (1- 2 1 x )(1 - 2 1 y ) = - 7 2 b b a a   +  ÷   . 2 a a b b     − +  ÷  ÷     = 2 2 b a a b     + +  ÷  ÷     = 5 + 2 a b b a   +  ÷   ≥ 5 + 2.2 . a b b a = 9 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1- 2 1 x )(1 - 2 1 y ) là 9. Đạt đợc khi x = y = 1 2 9 Bài 3 : Cho các số dơng a,b,c thoả mãn: 1 1 1 1 a b c + + = Chứng minh rằng : 1 1 1 3 2a b c + + Giải: Vì 1 1 1 1 a b c + + = nên tồn tại x, y , z dơng thoả mãn : 1 x a x y z = + + ; 1 y b x y z = + + ; 10 [...]... + y + z) 3( Suy ra (1) đợc chứng minh => xy + yz + zx )2 a+ b+ c ab+ bc+ ca Bài 5 : Cho a, b , c là các số dơng thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3 Chứng minh rằng : ab bc ca + + 3 c a b Giải: Vì a2 + b2 + c2 = 3 nên tồn tại các số dơng x , y , z sao cho : a2 = 18 3x x+ y+ z ; b2 = 3y x+ y+ z ; c2 = 3z x+ y+ z => a = 3x x+ y+ z 3z x+ y+ z ; b= 3y x+ y+ z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 3xy 3yz 3zx... [(zx)2-2(zx)(xy) + (xy)2] 0 (xy - yz)2 + (yz - zx)2 + (zx - xy)2 22 0 bất đẳng thức này luôn đúng Suy ra điều phải chứng minh Bài 6 : Cho a, b , c > 0 thoả mãn abc = 1 Chứng minh: 1 b 1 a (a - 1+ (c - 1 + Giải: Vì abc = 1 nên có thể đặt : a = 23 ) )(b -1 + 1 c x y 1 ; b= ) y z ; c= z x Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x z y x z y 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ 1 y y z z x x 24 (x - y + z)(y - z +x)(z - x... y+ z x+ z x+ y x y z 3 3 => 8= 3 2 a 1+ b 1+ c 1 32 Bài 4: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng : a+ b+ c ab+ bc+ ca Giải: Vì a + b + c = 3 nên tồn tại x, y , z 13 0 thoả mãn: a= 3x x+ y+ z ;c= 3y x+ y+ z 3z x+ y+ z ; b= Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 3 x 3 y 3z + + x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z 3 xy 3 yz 3 zx + + x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z 14 ( 3.( xy + yz + . Phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức Phần lớn các bất phơng trình nhiều biến có giả thiết về điều kiện tổng không đổi hặc tích không đổi của các. ) 2 Suy ra (1) đợc chứng minh => a b c ab bc ca + + + + Bài 5 : Cho a, b , c là các số dơng thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 Chứng minh rằng : 3 ab bc