UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn Thời gian làm bài: 180 phỳt (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010 ========== Câu 1. (4 điểm) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi cặp số thực x, y không âm: yxk yxyx −+ + ≤ + 22 4 1010 . Câu 2. (3 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau: 2 2 2 2010 2. 3. 4x y z+ + = . Câu 3. (5 điểm) Cho hàm số :f R R→ thoả mãn ( 1) ( ) 6, f x f x x R+ = + ∀ ∈ . Hãy tính: lim ( ) x f x →+∞ . Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D. Biết rằng BC = BD + AD, hãy tính góc A. Câu 5. (4 điểm) Cho ba loại bi xanh, đỏ, vàng. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng 7 viên bi (có thể không đủ ba loại) sao cho không có hai viên bi xanh và đỏ cạnh nhau? =========== Hết =========== Họ và tờn thớ sinh : ………………………………….Số bỏo danh :………… (Đề thi này có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010 ========== Câu 1. +) Giả sử bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm. Cho x = 1, y = 0 suy ra 0 4 2 1 2 1 kk =−≥ (1 điểm) +) Ta chứng minh: khi k = k 0 , bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm. _ Dễ thấy bđt đúng khi x không âm và y = 0. - Xét trường hợp x ≥ y > 0.Đặt 1≥= y x t , bđt trở thành: (*) 0 )1( 2 1 2 1 0 4 4 ≤−− + − + tk tt Xét hàm số f(t) = )1( 2 1 2 1 0 4 4 −− + − + tk tt , với 1 ≥ t . Ta có f , (t) = 2 1 ) 2 1 (2 4 4 3 4 3 − +t t Từ 1≥t suy ra f , (t) < 0. Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên [1; + ∞ ) 0)1()( =≤⇒ ftf , tức là (*) đúng với 1≥t . Vậy giá trị cần tìm là: 2 1 2 1 4 −=k (3 điểm) Câu 2. +) Gọi (x 0 ; y 0 ; z 0 ) là 1 nghiệm của pt. Với số tự nhiên n, đặt x n = 2x n+1 , y n = 2y n+1 , z n = 2z n+1 Vì 2 2 2 4020 0 0 0 2 3 2 2x y z+ + = M suy ra (x 0 2 + 3z 0 2 ) chẵn. Do đó x 0 và z 0 cùng chẵn hoặc cùng lẻ, dẫn đến (x 0 2 + 3.z 0 2 ) chia hết cho 4, rồi 2y 0 2 chia hết cho 4, suy ra 2y 0 2 chia hết cho 8, suy ra (x 0 2 + 3.z 0 2 ) chia hết cho 8, do đó x 0 , z 0 cùng chẵn. Như vậy x 0 , y 0 , z 0 phải cùng chẵn. Từ đó 1 1 1 2 2 2 2010 1 1 1 1 , , 2 3 4 x y z N x y z − ∈   + + =  Bằng cách suy luận như trên, dẫn đến x n , y n , z n cùng chẵn 1339, ≤∈∀ nNn Suy ra: )2;2;2(,)0;0;2();;((1;1;1) , (2;0;0))z;y;(x 432 ,, 2009200920092010 200920092009 2 2009 2 2009 2 2009 200920092009    =⇒=⇒ =++ ∈ zyx zyx Nzyx +) Dễ thấy )2;2;2(),0;0;2();;( 2009200920092010 =zyx thoả mãn pt đã cho. Vậy đó là nghiệm cần tìm ( 3 điểm) A D C E A’ B F Câu 3. +) Từ giả thiết suy ra f(x) không âm với mọi x thực +) Xét x 0 thực bất kỳ. Với mỗi n tự nhiên, đặt u n = f(x 0 + n). Khi đó    +−=− += + + )2( )2)(3( )1( 6 22 1 1 nnnn nn uuuu uu - Nếu u 0 > 3 thì, bằng quy nạp: . từ (1) suy ra u n > 3 . từ (2) suy ra 3 < u n+1 < u n với mọi n tự nhiên Do đó tồn tại lim(u n ) = L và 36 =⇒+= LLL - Nếu 0 < u 0 < 3 3 thì, bằng quy nạp: . từ (1) suy ra u n < 3 . từ (2) suy ra 3 > u n+1 > u n với mọi n tự nhiên Do đó tồn tại lim(u n ) = L và 36 =⇒+= LLL . Tóm lại, luôn có lim(u n ) = 3. Vậy )(lim xf x +∞→ = 3. ( 5 điểm) Câu 4. Cách 1. Lấy A , đối xứng với A qua BD thì A , thuộc BC. Trên BC đặt BE = BD thì EC = AD (1) Kẻ DF song song với BC, F thuộc AB. Ta có tam giác BFD cân tại F; FD = FB = DC (2) Lại có: )3( ECDADF ∠=∠ . Từ (1), (2), (3) suy ra BDADAFCEDECDAADF , ∠=∠=∠⇒∆=∆ Hai tam giác DA , E, BDE cùng cân và có chung góc BED nên 2 3 B D =∠ . Vì , , , 0 60CDA ADB A DB A DB∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = Suy ra: 000,, 1004060 2 =⇒=⇒=+=∠=∠=∠ AB B BDBAADBCDA ( 4 điểm) Cách 2. Ap dụng định lý sin cho các tam giác ABD và ABC và đặt B = 2t ta thu được: Sin4t = sin5t Câu 5. Ký hiệu S n là tập hợp cách xếp n bi thành hàng và thoả mãn đề bài; X n , D n , V n là tập hợp cac cách xếp n bi thoả mãn đề bài mà viên bi cuối có màu xanh, đỏ, vàng tương ứng. Ta có: nnnn VYXS ++= Từ mỗi cách xếp thuộc X n+1 ta bỏ viên bi cuối sẽ được cách xếp thuộc X n hoặc V n ; và ngược lại, từ mỗi cách xếp thuộc X n hoặc V n ta bổ xung vào cuối hàng viên bi xanh sẽ được cách xếp thuộc X n+1 .Do đó: nnn VXX += +1 Tương tự: nnn VDD += +1 ; 1n n n n n V X Y V S + = + + = Suy ra: (*) 2)(2 11 −+ +=+++= nnnnnnn SSVVYXS Ta có: { } 1 2 2 3; 7 ( , , , , , , )S S S XX XV DD DV VX VD VV= = = áp dụng (*) ta có 577 239,S99,;41 ;17 76543 ===== SSSS ( 4 điểm) . UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn Thời gian làm bài:. 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn Ngày thi: 08 tháng 10 năm