Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8 HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 8 A/ ĐẠI SỐ : Bài 1 Thực hiện các phép tính sau : a) – 2x ( x – 5 ) b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 ) c) ( –12x 2 y + 8xy 2 ) : ( –4xy ) d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 ) Bài 2 Phân tích mỗi đa thức cho dưới đây thành nhân tử : a) 4x 2 y – 8xy 2 b) 4 – ( x – 2 ) 2 c) 3x 2 – 6xy + 3y 2 – 3 d) x 2 y – x 3 – 9y + 9x Bài 3 Tìm x biết a) x 3 – 9x 2 – 4x – 36 = 0 b) 2x 3 + x 2 – 8x – 4 = 0 Bài 4 Tìm a để đa thức ( –3x 3 + 5x 2 – 9x + a ) chia hết cho đa thức ( –3x + 5 ) ? Bài 5 Rút gọn mỗi phân thức cho dưới đây : a) zyx zyx 25 43 3 12 − b) ))((6 ))((3 2 zxxy zxyx −− −− c) 2 3 )1( + − xx xx Bài 6 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau : a) yx x 2 1 − và 2 3 xy x − b) )1(3 2 − xx và )1(2 3 − xx Bài 7 Thực hiện phép tính với các phân thức sau : a) xy yx xy yx 22 − + + b) xy xy yx yx 26 6 62 9 22 − + − + c) 20 2 15 12 10 3 xxx − + − + d) xxx x + − − + 22 1 1 3 e) x x x xx 2 1 12 22 3 22 − − − + + B/ HÌNH HỌC : Bài 1 : Cho ∆ABC nhọn có AH là đường cao. Gọi M, N, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. a) Chứng minh MH = KN ? b) Chứng minh tứ giác HMNK là hình thang cân ? c) Gọi O là giao điểm của HN và MK, I là giao điểm của MH và NK. Chứng minh OI // AH. Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD, Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Lấy điểm E bất kỳ thuộc AB, gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng với E qua M và N. a) Chứng minh các tứ giác AIDE và BKCE là hình bình hành ? b) Chứng tỏ I và K đều thuộc đường thẳng CD ? c) Xác định hệ thức liên hệ giữa AB và IK ? Bài 3 : Cho ∆ABC và một điểm M ở trong tam giác này. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, MC, MB. a) Chứng minh tứ giác KEFI là hình bình hành ? b) Xác định vị trí của điểm M để KEFI là hình chữ nhật ? c) Tìm mối liên hệ giữa AM và BC để KEFI là hình vuông ? Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8 HƯỚNG DẪN GIẢI A/ĐẠI SỐ : Bài 1 : a) – 2x ( x – 5 ) = - 2x 2 + 10 b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 ) = 8x 2 – 28x + 6x – 21 = 8x 2 – 22x – 21 c) ( - 12x 2 y + 8xy 2 ) : ( - 4xy ) = ( -12x 2 y ) : ( - 4xy ) + 8xy 2 : ( - 4xy ) = 3x - 2y d) 3x ( x – 5 ) – ( x – 2 )( 3x + 7 ) = 3x 2 – 15x – ( 3x 2 + 7x – 6x – 14 ) = 3x 2 – 15x – 3x 2 – 7x + 6x + 14 = - 16x + 14 Bài 2 : a) 4x 2 y – 8xy 2 = 4xy ( x – 2y ) b) 4 – ( x – 2 ) 2 = 2 2 – ( x – 2 ) 2 = [ 2 – ( x – 2 ) ] [ 2 + ( x – 2 ) ] = ( 2 – x + 2 ) ( 2 + x – 2 ) = ( 4 – x ) x c) 3x 2 – 6xy + 3y 2 – 3 = 3 ( x 2 – 2xy + y 2 – 1 ) = 3 [ ( x 2 – 2xy + y 2 ) - 1 ] = 3 [ ( x – y ) 2 – 1 2 ] = 3 ( x – y – 1 )( x – y + 1 ) d) x 2 y – x 3 – 9y + 9x = x 2 ( y – x ) - 9 ( y – x ) = ( y – x ) ( x 2 – 9 ) = ( y – x )( x – 3 )( x + 3 ) Bài 3 : a) x 3 + 9x 2 – 4x – 36 = 0 x 2 ( x + 9 ) – 4 ( x + 9 ) = 0 ( x + 9 ) ( x 2 – 4 ) = 0 ( x + 9 ) ( x – 2 )( x + 2 ) = 0 Hoặc x + 9 = 0 → x = - 9 Hoặc x – 2 = 0 → x = 2 Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2 Vậy hoặc x = - 9 hoặc x = 2 hoặc x = - 2 b) 2x 3 + x 2 – 8x – 4 = 0 x 2 ( 2x + 1 ) – 4 ( 2x + 1 ) = 0 ( 2x + 1 ) ( x 2 – 4 ) = 0 ( 2x + 1 )( x + 2 )( x – 2 ) = 0 Hoặc 2x + 1 = 0 → 2x = - 1 → x = - 1/2 Hoặc x + 2 = 0 → x = - 2 Hoặc x – 2 = 0 → x = 2 Vậy hoặc x = - 1/2 hoặc x = - 2 hoặc x = 2 Bài 4 : - 3x 3 + 5x 2 – 9x + a - 3x + 5 - 3x 3 + 5x 2 x 2 + 3 - 9x + a - 9x + 15 Vì phép chia là phép chia hết nên a – 15 = 0 a – 15 → a = 15 Bài 5 : a) zyx zyx 25 43 3 12 − = ).(3 4.3 223 223 xzyx yzyx − = 2 2 4 x y − b) ))((6 ))((3 2 zxxy zxyx −− −− = ))((6 ))((3 2 zxyx zxyx −−− −− = )2).()((3 )).()((3 −−− −−− zxyx zxzxyx = 2 − − zx c) 2 3 )1( + − xx xx = )1)(1( )1( 2 ++ − xxx xx = )1).(1( )1).(1( ++ +− xxx xxx = 1 1 + − x x Bài 6 : a) yx x 2 1 − và 2 3 xy x − * MTC = x 2 y 2 * Nhân tử phụ : + x 2 y 2 : x 2 y = y (1) + x 2 y 2 : xy 2 = x (2) Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8 * Ta có : yx x 2 1 − = 22 )1( yx yx − = 22 yx yxy − và 2 3 xy x − = 22 )3( yx yx − = 22 3 yx xyy − b) )1(3 2 − xx và )1(2 3 − xx * MTC = 6x ( x – 1 ) * Nhân tử phụ : + 6x ( x – 1 ) : 3x ( x – 1 ) = 2 (1) + 6x ( x – 1 ) : 2x ( x – 1 ) = 3 (2) * Ta có : )1(3 2 − xx = )1(6 2.2 − xx = )1(6 4 − xx và )1(2 3 − xx = )1(6 3.3 − xx = )1(6 9 − xx Bài 7 : a) xy yx xy yx 22 − + + = xy yxyx 22 −++ = xy x2 = y 2 b) xy xy yx yx 26 6 62 9 22 − + − + = yx xy yx yx 62 6 62 9 22 − − − + = )3(2 96 22 yx yxyx − +− = )3(2 )3( 2 yx yx − − = 2 3yx − c) 20 2 15 12 10 3 xxx − + − + MTC = 60 Ta có 20 2 15 12 10 3 xxx − + − + = 60 3).2( 60 4).12( 60 6.3 xxx − + − + = 60 364818 xxx −+−+ = 60 223 + x d) xxx x + − − + 22 1 1 3 = )1( 1 )1)(1( 3 + − +− + xxxx x MTC = x ( x – 1 )( x + 1 ) Ta có )1( 1 )1)(1( 3 + − +− + xxxx x = )1)(1( )1.(1 )1)(1( ).3( +− − − +− + xxx x xxx xx = )1)(1( )1(3 2 +− −−+ xxx xxx = )1( 1 )1)(1( )1( )1)(1( 12 )1)(1( 13 222 − + = +− + = +− ++ = +− +−+ xx x xxx x xxx xx xxx xxx e) x x x xx 2 1 12 22 3 22 − − − + + = xxx x xx 2 )1)(1( 12 )1(2 3 − +− − + + MTC = 2x ( x -1 )( x +1 ) Ta có xxx x xx 2 )1)(1( 12 )1(2 3 − +− − + + = )1)(1(2 )1)(1(2.2 )1)(1( 2).12( )1)(1(2 )1.(3 +− +− − +− − + −+ − xxx xx xx xx xxx x = )1)(1(2 )1.(4 )1)(1( 24 )1)(1(2 33 22 +− − − +− − + −+ − xxx x xx xx xxx x = )1)(1(2 )44(2433 22 +− −−−+− xxx xxxx = )1)(1(2 442433 22 +− +−−+− xxx xxxx = )1)(1(2 1 +− + xxx x = )1(2 1 − xx B/ HÌNH HỌC : A Bài 1 : a. Xét ∆AHB vuông tại H có HM là đường đường trung tuyến ( gt ) nên HM = 2 AB ( 1 ) M N Trong ∆ABC có N là trung điểm của AC ( gt ) O và K là trung điểm của BC ( gt ) nên NK là đường trung bình của ∆ABC → NK = 2 AB ( 2 ) B H K C Từ ( 1 ) & ( 2 ) → HM = NK I b) Trong ∆AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ( gt ) nên HN = 2 AC ( 3 ) Trường THCS Phan Đình Phùng Họ và tên HS : ……………………………………. Lớp :…… Tư liệu ôn tập toán lớp 8 + ∆ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và K là trung điểm của BC ( gt ) nên MK là đường trung bình của ∆ABC → MK = 2 AC ( 4) Từ ( 3 ) & ( 4 ) → HN = MK (a) + ∆ABC có M là trung điểm của AB ( gt ) và N là trung điểm của AC ( gt ) nên MN là đường trung bình của ∆ABC → MN // BC hay MN // KH → MNKH là hình thang (b). Từ (a) & (b) → MNKH là hình thang cân. c) Hướng dẫn : + Chứng minh OH = OK → O ∈ đường trung trực của HK + Chứng minh IH = IK → I ∈ đường trung trực của HK Hay OI ⊥ BC mà AH ⊥ BC ( gt ) nên OI // AH Bài 2 : a. Tứ giác AIDE có 2 đường chéo AD và EI cắt nhau A E B trung điểm M của mỗi đường nên là H.B.hành. M N I D C K Tứ giác BKCE có hai đường chéo BC và EK cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành. b. + Vì AIDE là hình bình hành nên AE // ID + Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD Kết hợp với tiên đề Ơclit ta có + Vì BKCE là hình bình hành nên EB // CK 4 điểm I, D, C và K thuộc 1 + Vì E ∈ AB ( gt ) đường thẳng hay I và K ∈ CD c. Ta có ID = AE ( cạnh đối của hình bình hành ) CK = EB ( ------------- nt --------------- ) → ID + CK = AE + EB = AB hay ID + CK + CD = AB + CD = 2.AB Vậy IK = 2.AB Bài 3 : A a. + ∆ABC có EF là đường TBình nên EF // BC và EF = BC / 2 + ∆MBC có KI là đường TBình E M F Nên KI // BC và KI = BC / 2 K I → EF // KI và EF = KI Tứ giác EFIK có hai cạnh đối vừa B C song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành b. Để hình bình hành KEFI trở thành hình chữ nhật thì EK ⊥ EF hay EK ⊥ BC ( vì EF // BC ). Mặt khác trong ∆ABM thì EK là đường trung bình nên EK // AM, vậy AM ⊥ BC hay điểm M nằm trên đường cao của ∆ABC thì khi đó hình bình hành KEFI trở thành hình chữ nhật. c. Để hình chữ nhật KEFI trở thành hình vuông thì EK = EF → AM = BC mà EK = AM / 2 và EF = BC / 2 ( theo trên ) Kết luận : Khi AM ⊥ BC và AM = BC thì tứ giác KEFI trở thành hình vuông. → OI ⊥ HK . CD c. Ta có ID = AE ( cạnh đối của hình bình hành ) CK = EB ( -- -- - -- - -- - -- nt -- -- - -- - -- - -- - - ) → ID + CK = AE + EB = AB hay ID + CK + CD = AB + CD = 2.AB. ) = - 2x 2 + 10 b) ( 4x + 3 )( 2x – 7 ) = 8x 2 – 28x + 6x – 21 = 8x 2 – 22x – 21 c) ( - 12x 2 y + 8xy 2 ) : ( - 4xy ) = ( -1 2x 2 y ) : ( - 4xy ) + 8xy