Chuyên đề Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán các tỉnh thành 2008 - 2009 Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toán- THPT Quốc Học Huế Ngày 11 tháng 5 năm 2009 Mục lục 1 Hải Phòng 4 1.1 Chọn sinh giỏi không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Nghệ An 5 2.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Chọn đội tuyển Đại học Vinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Chọn học sinh giỏi không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Thừa Thiên Huế 9 3.1 Chọn học sinh giỏi không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Hà Tĩnh 12 4.1 Chọn học sinh giỏi không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Cần Thơ 14 5.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 MỤC LỤC 6 Bà Rịa Vũng Tàu 17 6.1 Chọn đội tuyển trường chuyên Lê Quý Đôn . . . . . . . . . . 17 7 Thanh Hóa 18 7.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.3 Lam Sơn 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 Hải Dương 20 8.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 Đồng Tháp 22 9.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 Tp. Hồ Chí Minh 23 10.1 Tp. Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10.2 PTNK ĐHQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 Hà Nội 26 11.1 Tp. Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11.2 Đại học sư phạm Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3 Đại học KHTN Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.2 Vòng 2 - Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11.3.3 Vòng 2 - Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 Quảng Bình 30 12.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 13 Kon Tum 32 13.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 - - -phuchung- - - 2 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 MỤC LỤC 14 Vĩnh Phúc 33 14.1 Học sinh giỏi lớp 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 15 Bình Định 34 15.1 Học sinh giỏi lớp 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 15.2 Học sinh giỏi lớp 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 16 Thái Bình 35 16.1 Đề thi học sinh giỏi 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 17 Khánh Hòa 37 17.1 Học sinh giỏi bảng B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 18 Nam Định 38 18.1 Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 18.2 Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 - - -phuchung- - - 3 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 1 HẢI PHÒNG 1 Hải Phòng 1.1 Chọn sinh giỏi không chuyên Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y = 2x + 1 x − 2 1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị lập với 2 đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 2. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số thoả mãn tiếp tuyến tại điểm đó lập với 2 đường tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos 2 x) = 0 (1) Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có các góc thoả mãn phương trình (1). Bài 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, đường cao SA = h. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ nội tiếp trong 1 đường tròn. 3. Chứng minh rằng AB’>C’D’. Bài 4: (2 điểm) Cho phương trình ax 3 + 21x 2 + 13x + 2008 = 0 (1). Biết rằng phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm thực: 4 (ax 3 + 21x 2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax 2 + 42x + 13) 2 Bài 5: (1 điểm) Cho hệ phương trình sau:  cos x = x 2 y tan y = 1 Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất 1 nghiệm (x; y) thoả mãn 0 < x < y < 1 . - - -phuchung- - - 4 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 1.2 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 10.2 2008 Bài 2: Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Chứng minh rằng: xy + yz + xy ≥ x + y + z Bài 3: Cho hàm số f (x) : N ∗ → N thoả mãn:  f(1) = 2; f(2) = 0; f(3k) = 3f(k) + 1; f(3k + 1) = 3f(k) + 2; f(3k + 2) = 3f(k) Hỏi có thể tồn tại n để f(n) = 2008 được không? Bài 4: Cho tam giác ABC với O, I theo thứu tự là tâm của đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng  AIO ≤ 90 0 khi và chỉ khi AB + AC ≥ 2.BC Bài 5. Cho dãy (u n ) thoả mãn:    u 1 = 1 u n+1 = u n + u 2 n 2008 Hãy tính lim  n  i=1 u i u i+1  2 Nghệ An 2.1 Chọn đội tuyển quốc gia 2.1.1 Vòng 1 Bài 1 (2đ): Giải hệ phương trình:    |y| = |x − 3| (2 √ z − 2 + y)y = 1 + 4y x 2 + z − 4x = 0 - - -phuchung- - - 5 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN Bài 2 (3đ) Cho số nguyên a.Chứng minh rằng: phương trình x 4 − 7x 3 + (a + 2)x 2 − 11x + a = 0 không thể có nhiều hơn 1 nghiệm nguyên. Bài 3 (3đ) Cho dãy số thực x n được xác định bởi: x 0 = 1, x n+1 = 2+ √ x n −2  1 + √ x n ∀n ∈ N Ta xác định dãy y n bởi công thức y n = n  i=1 x i .2 i ,∀n ∈ N ∗ .Tìm công thức tổng quát của dãy y n Bài 4 (3đ) Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thoả mãn:      a b + b c + c a ∈ Z a c + b a + c b ∈ Z Chứng minh rằng: 3a 4 b 2 + 2b 4 c 2 + c 4 a 2 − 4|a| − 3|b| − 2|c| ≥ 0 Bài 5 (3đ) Trong mp toạ độ Oxy cho 9 điểm có toạ độ là các số nguyên,trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là 1 số chẵn. Bài 6 (3đ) Cho 2 đường tròn (O) và (O  ) tiếp xúc trong tại điểm K,((O  ) nằm trong (O)).ĐiểmA nằm trên (O)sao cho 3 điểm A, O, O  không thẳng hàng.Các tiếp tuyến AD và AE của (O  ) cắt (O) lần lượt tại Bvà C (D, E là các tiếp điểm).Đường thẳng AO  cắt (O) tại F.Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, F K đồng quy Bài 7 (3đ) Cho n ≥ 2, n ∈ N.Kí hiệu A = {1, 2, ., n}.Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên.Gọi T n là số các tập tốt của tập A.Chứng minh rằng T n −n là 1 số chẵn - - -phuchung- - - 6 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 2.1.2 Vòng 2 Bài 1 (2đ) Giải phương trình: 16x 3 − 24x 2 + 12x − 3 = 3 √ x Bài 2 (3đ) Tìm tất cả các số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện 1 < a < b < c và abc chia hết cho (a − 1)(b − 1)(c − 1) Bài 3 (3đ) Cho a, b, c, x, y, zlà các số thực thay đổi thoả mãn (x + y)c− (a + b)z = √ 6. Tìm GTNN của biểu thức: F = a 2 + b 2 + c 2 + x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz Bài 4 (3đ) Tìm tất cả các hàm f : R → R sao cho: f(x + cos(2009y)) = f(x) + 2009cos(f(y)),∀x, y ∈ R Bài 5 (3đ) Cho tam giác ABC thay đổi.GọiH là trực tâm,O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.Xác định GTNN của số k sao cho OH R < k Bài 6 (3đ) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.M vàN là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho MA MB = NC ND .ĐiểmP thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho P M P N = AB CD .Chứng minh rằng tỷ số diện tích của 2 tam giácP AD và P BC không phụ thuộc vào vị trí của M và N Bài 7 (3đ) Gọi S là tập hợp các số nguyên dương đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau: 1.Tồn tại 2 phần tử x, y ∈ S sao cho (x, y) = 1 2.Với bất kỳ a, b ∈ S thì a + b ∈ S Gọi T là tập hợp tất cả các số nguyên dương không thuộc S.Chứng minh rằng số phần tử củaT là hữu hạn và không nhỏ hơn  s(T ),trong đó s(T ) là tổng các phần tử của tập T (nếu T = φ thì s(T ) = 0) - - -phuchung- - - 7 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 2.2 Chọn đội tuyển Đại học Vinh Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thì: 1 + cosx + 1 2 cos2x + 1 3 cos3x + 1 4 cos4x > 0 Bài 2: Tìm các giá trị không âm của m để phương trình sau có nghiệm: √ x − m + 2 √ x − 1 = √ x Bài 3: Đặt A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7}. Tìm mọi số nguyên dương n sao cho tồn tại hai tập B, C rời nhau thỏa mản đồng thời: 1.A = B ∪ C 2.  x =  y(x ∈ B, y ∈ C) Bài 4: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d ( M không trùng với H). Từ M kẻ các tuyếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C, D là hình chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Cm I là trung điểm của HK. 2.3 Chọn học sinh giỏi không chuyên Bài 1: (3 điểm) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; π 4 ] sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m Bài 2: (3 điểm) Cho hệ: ( a là tham số )  √ x + √ y = 4 √ x + 7 + √ y + 7 ≤ a Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện : x ≥ 9 Bài 3:(3 điểm) Cho hàm số : - - -phuchung- - - 8 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 3 THỪA THIÊN HUẾ  3 √ 1 + xsin 2 x − 1, khix = 0 0, khix = 0 Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Bài 4: (3 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = √ bc a + 3 √ bc + √ ca b + 3 √ ca + √ ab c + 3 √ ab Bài 5:(3 điểm) Cho n là số tự nhiên , n ≥ 2. Chứng minh đẳng thức sau : n 2 C 0 n + (n− 1) 2 C 1 n + (n− 2) 2 C 2 n + . + 2 2 C n n − 2 + 1 2 C n n − 1 = n(n + 1)2 n−2 Bài 6: (2 điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC . Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 7:(2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng : cot  BCD.cot  BDC = 1 2 3 Thừa Thiên Huế 3.1 Chọn học sinh giỏi không chuyên Bài 1: (3 điểm) Cho phương trình cos x − sin x + 1 sin x − 1 cos x + m = 0 (1) a) Với m = 2 3 , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng  − π 4 ; 3π 4  . b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng  − π 4 ; 3π 4  . - - -phuchung- - - 9 [...]... có đúng 3n cặp có thứ tự (X1 ; X2 ) với X1 và X2 là các tập con của S thỏa mãn điều kiện X1 ∪ X2 = S b) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tập hợp {A; B}, trong đó A và B là hai tập hợp khác nhau sao cho A ∪ B = {1, 2, 3, , 2008} - - -phuchung- - - 11 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 4 4.1 4 HÀ TĨNH Hà Tĩnh Chọn học sinh giỏi không chuyên Bài 1 : a/Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m... tại các số nguyên dương x, y, n thỏa mãn: pn = x3 + y 3 Bài 6: Xét tất cả các số N gồm 2008 chữ số thỏa mãn chia hết cho 99 và các chữ số - - -phuchung- - - 33 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 15 BÌNH ĐỊNH của N thuộc tập S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Tính trung bình cộng của tất cả các số như vậy Bài 7: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B Từ điểm C trên tia đối của tia AB kẻ các tiếp... ( 4 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn : - - -phuchung- - - 16 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 6 BÀ RỊA VŨNG TÀU 2008x3 − 3xy 2 + 2008y 3 = 2009 6 6.1 Bà Rịa Vũng Tàu Chọn đội tuyển trường chuyên Lê Quý Đôn Bài 1: Giải hệ phương trình: x2 + y 2 + z 2 = yz + 8 2 18 = 2zx − = 3xy + x y z Bài 2: Cho dãy số xác định bởi x1 = 1; xn+1 = dãy số có giới hạn hữu hạn 1 − 2008 Chứng minh rằng +... 2 Vòng 1 Bài 1: a) Chứng minh rằng tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009. n − 49 là số - - -phuchung- - - 24 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 10 TP HỒ CHÍ MINH chính phương b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên m sao cho 2009. m − 147 là số chính phương Bài 2: Cho số nguyên dương n Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}? Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A... với m = 3 2) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: - - -phuchung- - - 19 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = So sánh : u2008 và u2009 8 HẢI DƯƠNG 5 1 un+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, 2 un Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà tổng các chữ số bằng 9 Bài 7: Chứng minh rằng mọi ước nguyên dương lẻ của số 32009 + 1 đều có dạng 3k + 1 8 8.1 Hải Dương Vòng 1 Bài 1:... 1 + yz 1 + xz 1 + yx Bài 2: Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn: xz+1 − y z+1 = 2100 - - -phuchung- - - 28 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 11 HÀ NỘI Bài 3: Tập các số {1, 2, , 3000} có chứa một tập con A gồm 2000 phần tử thỏa mãn: nếu x ∈ A thì 2x không thuộc A hay không? Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, trên AB,AC lấy M,N Các đường tròn đường kính BN,CM cắt nhau ở P,Q, Biết P nằm trên (ABC) a) Chứng minh:... 2) thỏa mãn: x2 + x2 + + x2 = 1 Tìm giá n 2 1 trị lớn nhất: - - -phuchung- - - 29 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 12 QUẢNG BÌNH P = (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xn ) Bài 2: Cho m, p là số nguyên dương sao cho m2 + 4p không... minh: n k=1 12 12.1 f (ak)a(k + 1) ≤ n k=1 f (a(k + 1))ak Quảng Bình Vòng 1 Bài 1: (2,5 điểm ) Giải phương trình: √ 2 2009 (1 + x)2 + 3 2009 1 − x2 + 2009 (1 − x)2 = 0 Bài 2: (2,5 điểm) Tính giới hạn: π cos( cosx) 2 lim x→0 sin(tanx) - - -phuchung- - - 30 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 12 QUẢNG BÌNH Bài 3: (2,0 điểm ) Cho dãy số (un ) xác định như sau: a) un > 0; ∀n ∈ N ∗ b) u1 = 1; 1 + u2 − 1 n ;... minh rằng: √ 2(b2 + c2 ) + 2(b + c) AE = 2 11.2 Đại học sư phạm Hà Nội 11.2.1 Vòng 1 Bài 1: Tìm x, y, z tự nhiên thoả mãn x2009 + y 2009 = 7z Bài 2: Tim m lớn nhất để 1 m 1 + ≥ ka + b kb + a a+b với mọi a, b > 0 và không thuộc [0.π] Bài 3: Tìm đa thức p(x) thoả mãn: 1 p(2) = 12 2 p(x2 ) = x2 (x2 + 1)p(x) - - -phuchung- - - 27 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 11.2.2 11 HÀ NỘI Vòng 2 Bài 1: Cho số nguyên . Chuyên đề Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán các tỉnh thành 2008 - 2009 Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 200 8- 2009 phuchung - 11 Toán- THPT. tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn : - - -phuchung- - - 16 Tuyển tập đề thi HSG 200 8- 2009 6 BÀ RỊA VŨNG TÀU 2008x 3 − 3xy 2 + 2008y 3 = 2009 6 Bà