z  Hình học hoạ hình MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 2 1. GIỚI THIỆU MÔN HỌC .3 4. MỞ RỘNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3 CHIỀU BẰNG CÁCH BỔ SUNG NHỮNG YẾU TỐ VÔ TẬN .8 TOP .8 PHẦN MỞ ĐẦU 1. GIỚI THIỆU MÔN HỌC Muốn thể hiện ý định thiết kế một công trình, bộ phận của máy móc; người cán bộ kỹ thuật phải sử dụng bản vẽ. Bản vẽ được xây dựng nhờ các phương pháp biểu diễn và các qui ước. Việc nghiên cứu các phương pháp biễu diễn làm cơ sở lý luận cho việc xây dựng các bản vẽ là một trong những nội dung của Hình học họa hình. Ðồng thời Hình học họa hình còn nghiên cứu phương pháp giải các bài toán hình học trên bản vẽ. Ðể biễu diễn một công trình xây dựng (nhà cửa, cầu, cống, . ) hay các chi tiết máy móc, trước hết phải biết cách biễu diễn các không gian hình học chứa những đối tượng trên. Một không gian hình học được cấu tạo bởi những yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) liên quan với nhau bởi những mệnh đề cơ bản. Ðể biễu diễn một không gian hình học người ta có nhiều cách. Ví dụ: Biễu diễn các yếu tố hình học của không gian Euclide 3 chiều. và các tương quan liên thuộc tương ứng giữa các đối tượng trên. Trong các trường đại học, việc học Hình học họa hình, nhằm 3 mục đích: + Giúp học sinh nắm được cách biễu diễn các hình không gian lên mặt phẳng và giải các bài toán hình học không gian bằng các hình biễu diễn trên mặt phẳng. + Rèn luyện khả năng tư duy, trừu tượng. Khả năng này đóng một vai trò quan trọng trong việc phát minh sáng tạo sau này của người cán bộ kỹ thuật. + Chuẩn bị cơ sở lí luận cho môn vẽ kỹ thuật sau này. Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học. Mô hình được xây dựng bằng những hình, những phép biến đổi hình học . được gọi là mô hình hình học. Do đó có thể nói rằng hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học. Vậy Hình học họa hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn các không gian bằng những yếu tố hình học của không gian khác thường có chiều thấp hơn (cụ thể là mặt phẳng), rồi dùng các hình biểu diễn ấy để nghiên cứu các không gian ban đầu. 2. CÔNG CỤ ÐỂ THÀNH LẬP MÔ HÌNH 2.1. TẬP HỢP 2.2. PHÉP ÁNH XẠ Ðể xây dựng các mô hình người ta dùng phép ánh xạ. Ðịnh nghĩa: Giả sử có hai tập hợp X và Y. Nếu có một qui luật f sao cho theo quy luật ấy, ứng với mỗi phần tử x bất kỳ của X thì có một phần tử y hoàn toàn xác định của Y. Thì f được gọi là một ánh xạ của tập hợp X vào Y. Trong phép biến đổi những yếu tố trùng với ảnh của nó được gọi là những bất biến hay những yếu tố kép của phép biến đổi. Dưới đây ta nghiên cứu một loại ánh xạ thường dùng để xây dựng bản vẽ. Ðó là phép chiếu. 3. PHÉP CHIẾU 3.1 ÐỊNH NGHĨA 3.2. TÍNH CHẤT 4. MỞ RỘNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3 CHIỀU BẰNG CÁCH BỔ SUNG NHỮNG YẾU TỐ VÔ TẬN TOP Ta dùng phép chiếu làm công cụ để xây dựng các bản vẽ, tức là xây dựng các mô hình phẳng của không gian. Ðể làm được điều đó, trước hết mỗi điểm trong không gian phải có hình chiếu. Theo định nghĩa phép chiếu nói trên thì có những điểm của không gian sẽ không có hình chiếu trên mặt phẳng (P). Ðó là những điểm thuộc đường thẳng đi qua tâm S và song song với mặt phẳng (P). (Vì đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng). Ðể khắc phục nhược điểm này,đáng lẽ nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì ta nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung ở vô tận. Như vậy ta đã qui ước: thêm vào mỗi đường thẳng một điểm vô tận. Như ta sẽ thấy, điều ấy chẳng những không có mâu thuẫn gì mà còn làm đơn giản rất nhiều cách phát biểu những mệnh đề hình học. Vậy: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cắt nhau ở điểm vô tận. Ðường thẳng song song với mặt phẳng không thể chung nhau hai điểm vô tận (mà chỉ một mà thôi). Vì nếu có chung hai điểm vô tận thì sẽ dẫn đến điều là hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khác nhau mà lại có hai điểm chung. Mỗi đường thẳng được thêm một điểm vô tận, hai đường thẳng cắt nhau có hai điểm vô tận khác nhau nên mặt phẳng có vô số điểm vô tận. Tập hợp những điểm vô tận trong mặt phẳng là hình gì? Ta thấy tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm vô tận của đường thẳng) và vì trong mặt phẳng chỉ có đường thẳng mới cắt một đường thẳng bất kì tại một điểm. Nên tập hợp này là một đường thẳng. Ta gọi đường thẳng đó là đường thẳng vô tận của mặt phẳng. Vậy: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng vô tận. Trong không gian mỗi đường thẳng có một điểm vô tận; mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận. Tập hợp mọi yếu tố vô tận của không gian là hình gì? Tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm vô tận của đường thẳng), có chung với mỗi mặt phẳng một đường thẳng (đường thẳng vô tận của mặt phẳng) và chỉ có mặt phẳng mới cắt đường thẳng bất kì ở một điểm, cắt một mặt phẳng bất kì theo một đường thẳng. Nên tập hợp các yếu tố vô tận của không gian được xem là một mặt phẳng. Ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng vô tận của không gian. Kết luận: * Không gian quen thuộc lâu nay được bổ sung thêm những yếu tố mới (những yếu tố vô tận. Tập hợp những yếu tố vô tận ấy làm thành một mặt phẳng, gọi là mặt phẳng vô tận của không gian. Mỗi mặt phẳng có thêm một đường thẳng ( đường thẳng vô tận của mặt phẳng. Mỗi đường thẳng có thêm một điểm ( điểm vô tận của đường thẳng. * Những điểm, đường thẳng, mặt phẳng không phải là vô tận gọi là những điểm, đường thẳng, mặt phẳng hữu hạn. * Sau khi bổ sung những yếu tố vô tận, những mệnh đề về liên thuộc được phát biểu gọn và cân đối hơn. Ví dụ: Mệnh đề: Trong không gian, một đường thẳng hoặc cắt mặt phẳng ở một điểm hoặc song song với mặt phẳng hoặc hoàn toàn nằm trong mặt phẳng có thể thay bằng: Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có ít nhất một điểm chung (điểm hữu hạn hay điểm vô tận). * Ðiểm, đường thẳng và mặt phẳng hữu hạn và điểm, đường thẳng, mặt phẳng vô tận có vai trò hoàn toàn như nhau. Ví dụ1: Hai điểm A, B xác định một đường thẳng d duy nhất. a) A và B đều là điểm hữu hạn: Ðường thẳng d được vẽ như ta đã biết. b) A là điểm hũu hạn, B là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng b: Ðường thẳng d là đường thẳng đi qua A và song song với b. c) A và B đều là điểm vô tận, xác định bởi các đường thẳng a và b: Ðường thẳng d là đường thẳng vô tận (đi qua hai điểm vô tận). Ðó cũng là đường thẳng vô tận của mọi mặt phẳng song song với hai đường thẳng a, b. Ví dụ2: Ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (P) duy nhất. a) A, B và C đều là điểm hữu hạn: Mặt phẳng (P) được vẽ như ta đã biết. b) A, B là điểm hữu hạn, C là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng c: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với c. c) A là điểm hữu hạn, B và C là điểm vô tận, xác định bởi hai đường thẳng b, c: Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với b, c. d) A, B, C đều là điểm vô tận: Mặt phẳng (P) là mặt phẳng vô tận của không gian. 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG TOP . đổi hình học. được gọi là mô hình hình học. Do đó có thể nói rằng hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình. thuật sau này. Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học. Mô hình được xây dựng bằng những hình, những phép