CÁC BÀI TOÁN CASIO HAY 1/Tìm số dư của phép chia:2 2008 chia cho 25 Giải: Ta có: 25=5 2 Áp dụng hệ quả của định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì ap(p-1)≡1 mod (p 2 ) ), ta có: 25(5-1)≡1mod (5 2 ) 220≡1mod 25 Ta có: 2008 = 20 × 100 +8 suy ra 2 2008 ≡28 mod 25 suy ra 2 2008 ≡256 mod 25 suy ra 2 2008 ≡6 mod 25 vậy số dư trong phép chia 2 2008 chia cho 25 là 6 2/Tìm cặp số (x,y) nguyên dương sao cho 4x 3 +17(2x-y) 2 =161312 Giải: Giải trên máy Casio fx-570MS ( Casio fx-570ES tương tự) Ta có: 4x 3 +17(2x-y) 2 =161312 nên 4x3≤161312 suy ra x ≤ 34 Khi đó: y=2x±(161312-4x317) Qui trình bấm phím như sau: 1. Lưu -1 vào A 2. Ghi vào màn hình: A=A+1:2A +(161312-4A3)17):2A -(161312-4A3)17) 3. Bấm = .= cho đến khi A = 35 thì dừng lại. Chú ý chỉ nhận A ứng với một trong hai phép toán ở trên là số nguyên dương. ( A = 30) suy ra x =30 suy ra y = 4 hoặc 116 Vậy nghiệm của phương trình là (30;4) và (30;116) 3/ Tìm chữ số tận cùng của tổng : T= 2 3 +3 7 +4 11 + +2004 8011 Giải: Số hạng tổng quát là u n =n 4n-5 ( với n≥ 2) ⇒ u n ≡n 3 (mod 10) ⇒ T≡ 2 3 +3 3 +4 3 + +2004 3 ( mod 10) ⇒ T≡ (1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + .+2004 3 )-1(mod 10) Ta có A=1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + .+2004 3 = 2 2004.(2004 1) ( ) 2 + =2009010 2 ⇒ (1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + .+2004 3 )-1 tận cùng là 9 Vậy T tận cùng là chữ số 9. 4/ Tìm x ( dưới dạng phân số) ((2 4 +4)(6 4 +4)(10 4 +4) .(98 4 +4)/(4 4 +4)(8 4 +4)(12 4 +4) .(100 4 +4)).5101.x=1/25112007 Giải: Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( các máy tính khác tương tự) Ta có: (2+4k) 4 +4=[(2+4k) 2 +2]-4(2+4k) 2 =4(8k 2 +12k+5)(8k 2 +4k+1) (1) Biến đổi tương tự, ta có: (4+4k) 4 +4=4(8k 2 +12k+5)(8k 2 +20k+13) Nhận xét: 8(k+1) 2 +4(k+1)+1=8k 2 +20k+13 suy ra (4+4k) 4 +4=4(8k 2 +12k+5)[8(k+1) 2 +4(k+1)+1] (2) Áp dụng hai đẳng thức (1) và (2) ở trên phân tích A, ta được: A= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4(8.0 +12.0+5)(8.0 +4.0+1)4(8.1 +12.1+5)(8.1 +4.1+1) .4(8.24 +12.24+5)(8.24 +4.24+1) 4(8.0 +12.0+5)(8.1 +4.1+1)4(8k +12k+5)(8.2 +4.2+1) .4(8.24 +12.24+5)(8.25 +4.25+1) Rút gọn ta được: A= 2 2 8.0 +4.0+1 8.25 +4.25+1 Dùng máy tính ta tính được: A= 1 5101 suy ra x= 1 25112007 Vậy nghiệm của phương trình là x= 1 25112007 5/ Tìm ba chữ số tận cùng của tổng : T= 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + +987654321 3 Giải: Áp dụng công thức tính tổng 1 1 3 +2 3 +3 3 + .+(n-1) 3 +n 3 = 2 ( ) n(n+1) 2 ta được:T= 2 ( ) 2 987654321×987654322 Dùng máy thực hiện phép chia: 987654322÷ 2 ta được kết quả: 493827161 Suy ra T=(987654321×493827161) 2 Ba chữ số cuối cùng của T là ba chữ số cuối cùng của (321×161) 2 =2670925761 Vậy ba chữ số cuối của T là 761 6/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi đem nhân với 333667 ta được một số biểu diễn bằng toàn số 2. Giai: Gọi số đó là a, ta có chỉ khi a tận cùng là 6 thì 333667 nhân a có tận cùng là 2, thử tiếp với 16,26, .,96 ta chọn đc 66, thử tiếp với 166,266, .,966 ta đc 666 nhân 333667 = 222222222 nên dừng lại. (Ta có thể dự đoán kết quả bằng cách lấy 2222222 chia cho 333667. 7/ Tìm a thuộc N để biểu thức sau là số chính phương a 2 + a + 43 Giải Đặt: k 2 =a 2 + a + 43 ⇔ (4a 2 + 4a + 1) -4k 2 =-171⇔ (2a+1) 2 -4k 2 =-171 ⇔ (2a+1-2k)(2a+1+2k)=-171 Ta có : 171=1.171=3.57=9.19 Giải hệ phương pt ta được: a=42; 13; 2. 8/ Nhận biết số nguyên tó Giả sử muốn nhận biết a có nguyên tố hay không? Cách 1: khá thông dụng nhưng thời gian kiểm tra lâu: Thoạt nhìn sẽ biết 2 có phải là ước của a không nếu không thì làm tiếp Nhập a "SHIFT" "STO" A -1 "SHIFT" "STO" B Sau đó nhập như sau B+2 → B :A÷ B Rồi bấm = = = Nếu thấy các thương số đều không nguyên cho đến khi thương hạ xuống dưới căn A thì ngưng Và kết luận a nguyên tố Cách 2:Cách này ít người biết (sưu tầm trên mạng), thời gian kiểm tra chỉ rút ngắn còn một nửa so với cách 1: a "SHIFT" "STO" A xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản), nếu không thì làm tiếp lấy A chia cho 3: A÷3 = Ấn tiếp: A÷(A÷ Ans+2) Sau đó ấn = = = . để kiểm tra, khi thương số trên màn hình hạ xuống dưới căn A mà không có phép chia hết thì ngưng. Và kết luận a nguyên tố Cách 3 nhanh hơn nưã Ta biết các thừa số nguyên tố (≠ 2,3) đều có dạng 6n± 1 với n∈ N Ví dụ: Muốn nhận biết a có nguyên tố không Ghi vào màn hình ( cho giá trị đầu X=0) a "SHIFT" "STO" A X=X+1 :A÷(6X-1):A÷(6X+1) Ấn = = nếu không thấy thương nào nguyên cho đến khi thương A÷(6X±1)<6X± 1 hay <6X±1> A ) thì ngưng và kết luận A nguyên tố 10/Tính = 5+ 13+ 5+ 13 x Giải Cách 1 Dễ thấy phương trình trên tương đương với phương trình sau: 5 13x x= + + Nhập phương trình trên vào máy tính Ấn "SHIFT" "SOLVE" Máy hiện x? Nhập 1 Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa Máy hiện kết quả x=3 Cách 2 Cách này hoàn toàn xài máy: Nhập vào màn hình 2 1 "SHIFT" "STO" A 13 "SHIFT" "STO" B 13 "SHIFT" "STO" C 5 "SHIFT" "STO" D A=A+1:B= D+B :A=A+1:B= C+B Ấn = .= một lúc thì thấy giá trị ổn định không đổi. Ứng với A chẵn kết quả là 3. Ứng với A lẻ kết quả là 4. Vậy x=3 11/ Tìm cặp số tự nhiên (x;y) biết x;y có 2 chữ số và thỏa mãn phương trình: x 4 -y 3 =xy 2 (Trích bài 5 câu b đề kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnhgiải toán trên máy tính casio lớp 11THPT năm 2006-2007,tỉnh Thừa Thiên Huế) Giải Ta có: x 4 -y 3 =xy 2 ⇔ x 4 =y 3 +xy 2 . Vì x và y chỉ có 2 chữ số, nên vế phải tối đa là 2.99 3 nên x tối đa là 3 4 2.99 <38,suy ra 10<x<38 Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để giải phương trình : y 3 +by 2 -b 4 =0 (a=1;c=0;d=-b 4 ; b=10,11, 38 dùng chức năng SOLVE, lần lượt với b=10, ra kết quả không đúng, bấm = =, dùng mũi tên chỉnh b lại 11 bấm =, mũi tên phải chỉnh lại -114, Hoặc nhập vào phưong trình X 3 +AX-A 4 =0, dùng chứ năng SOLVE, lần lượt gán A từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X=0. ĐS: (12;24) 12/ Tìm số tự nhiên A lớn nhất để các số 2915, 2411, 9467 chia cho A ta được cùng 1 số dư.Tìm số A. Giải Ta có 2915, 2411, 9467 chia cho A ta được cùng 1 số dư nên 2915= Aq 1 +r 1 2411= Aq 2 +r 1 9467= Aq 3 +r 1 ⇒ 6552=9467-2915 chia hết cho A 504=2915-2411 chia hết cho A ⇒ A là ước chung của 504 và 6552 Ta có UCLN(504,6552)=504 Thử A=504 ta có: 2915 chia cho 504 dư 395; 2411 chia cho 504 dư 395; 9467 chia cho 504 dư 395 Vậy A= 395. 13/ 4600 37 chia cho 13, tìm số dư? Giải: Ta có: 4600 ≡ 11 ( mod 13) suy ra 4600 37 ≡ 11 37 ( mod 13) ta có: 13 là số nguyên tố và (11;13) = 1 nên theo định lí Fermat nhỏ ta có: 11 12 ≡ 1 ( mod 13) suy ra 11 36 ≡ 1 ( mod 13) suy ra 11 37 ≡ 11 ( mod 13) suy ra 4600 37 ≡ 11 ( mod 13) Vậy dư của phép chia 4600 37 cho 13 là 11 14/ Tìm 5 chữ số tận cùng của 2008 2008 Giải: Ta có: 2008 2 ≡ 32064 (mod 100000) 32064 2 ≡ 00096 (mod 100000) → 2008 4 ≡ 00096 (mod 100000) 2008 2008 = 2008 4×502 ≡ 96 502 (mod 100000) Ta có: 96 5 ≡ 26976 (mod 100000) 96 10 ≡ 4576 (mod 100000) 96 20 ≡ 39776 (mod 100000) 96 40 ≡ 30176 (mod 100000) 96 80 ≡ 90976 (mod 100000) 96 160 ≡ 32576 (mod 100000) 96 320 ≡ 95776 (mod 100000) Ta có: 96 502 = 96 320 ×96 160 ×96 20 ×96 2 ≡95776×32576×39776×96 2 (mod 100000) Bằng cách nhân từ từ, lấy 5 chữ số cuối cùng của tích nhân tiếp cho số sau. Ta được: 96502 ≡ 69216 (mod 100000) Tóm lại: 5 chữ số tận cùng của 20082008 là: 69216 3 15/ Cho biết đa thức P(x)=x 4 +mx 3 -55x 2 +nx-156 chia hết cho x-2 và chia hết cho x-3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức. (Bài 4, Thi khu vực, Bộ GD và ĐT, Trung học Cơ sở, 2005. Đề chính thức) Giải Do P(x) chia hết cho x-2 và x-3 nên P(2)=0 P(3)=0    ⇔ 8m+2n=360 27m+3n=570    ⇒ m=2, n=172 Do P(x)=x4 +2x3-55x2+172x-156 chia hết cho x-2 và x-3 nên P(x) có thể viết dưới dạng P(x)=(x-2)(x-3)(x 2 +bx+c) P(0)=-156=6c ⇒ c=-26 P(1)=-36=2(b-25) ⇒ b=7. Vậy P(x)=(x-2)(x-3)(x2+7x-26) Giải pt bậc hai, ta có Kết quả x=2,6847, x=-9.6847,x = 2, x= 3 16/ Cho P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e, biết P(1)=3, P(2)=7, P(3)=13, P(4)=21 . Tính P(10)-P(-5) Giải: Q(x) có dạng: Q(x)=m(x-1)(x-2)(x-3)+n(x-1)(x-2)+p(x-1)+q Ta có: Q(1)=q=3, Q(2)=p+q=7, Q(3)=2n+2p+q=13, Q(4)=6m+6n+3p+q=21 ⇒ m=0; n=1; p=4; q=3 Q(x)=(x-1)(x-2)+4(x-1)+3⇒ ⇒ P(x)=(x-u)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+Q(x) Tính Q(10) và Q(-5). Q(10)=111;Q(-5)=21 Tính P(10) và P(-5). P(10)=3024(10-u)+111; P(-5)=3024(-5-u)+21 ⇒ P(10)-P(-5)=3024×15+111 - 21=45450 17/ Cho dãy số: 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 . 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 n u u u u u= + = + = + = + = + + + + + + + + + Tính giá trị chính xác của u 5 ,u 9 ,u 10 và giá trị gần đúng của u 15 ,u 20 ( Trích bài 7 Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán trên máy tính casio khối 8 THCS-Năm học 2006-2007) Giải Ta thấy công thức của dãy số trên là: 1 1 2 k k u u − = + Nhập vào màn hình 0 "SHIFT" "STO" A 2 "SHIFT" "STO" B A=A+1:B=2+ 1 B . Bấm = = liên tiếp Ta thu được kết quả: u 5 =16970,u 9 =57412378,u 10 =138605741 u 15 ,u 20 ≈2,414213562 18/ Biết (1 + 2x + 3x 2 ) 15 = a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a 30 x 30 Tính E = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 +……+ a 29 + a 30 Giải: E = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 +……+ a 29 + a 30 =(1+2+3) 15 =470184984576 19/ Dương tiết kiệm tháng đầu đươc 100.000 đ ,các tháng từ tháng hai trở đi, số tiền cậu tiết kiệm tháng trước hơn tháng sau 20 000 đ. dương muốn tiết kiệm để mua laptop trị giá 5 000.000 Giải: 4 20/ 4/Cho tam giác ABC có chiều cao AH va phân giác trong BD cắt nhau taïi E .Cho biết AH=5 ,BD=6 ,EH=1 .Tính gần đúng đễn 4 chữ số thập phân các cạnh tam giác ABC Giải: 21/ Phân số nào tính ra số thập phân 3.15(321). Giải: +Lấy 315321-315 làm tử của phân số +Mẫu của phân số là 99900 (Do phần tuần hoàn có 3 số nên ghi 3 số 9, và cụm tuần hoàn cách dấu phẩy 2 chữ số nên có 2 số 0) Vậy: 315321-315 52501 3.15(321)= = 99900 16650 CHỨNG MINH: Đặt a=3.15(321) 100000a=315321(321)(*) 100a=315(321)(**) Lấy (*) trừ (**) Ta được 99900a=315321-315 22/ Tính kết quả đúng của tích: P=13032006.1302207 Giải Đối với ES: tính được nhiều chữ số hơn (do bài này kết quả chỉ có 14 chữ số) ta thực hiện như sau cho nhanh: Nhập 13032006 x 1302207=1.697036944x10 13 Lấy (13032006 x 1302207)-1697036x10 7 =9437272 Như vậy kết quả của 13032006 x 1302207=16970369437242 23/ 24/ Dân số của thành phố năm 2007 là 330.000 người. a) Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong 10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng 5 dân số mỗi năm của thành phố là 1,5% và thành phố thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều đến lớp 1?(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) b) Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007?(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân) (Trích bài 2 kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán trên máy tính casio khối 2 THCS- Năm học 2007-2008-Thừa Thiên Huế) Giải a)Gọi x là số dân năm 2000, r là tỉ lệ tăng dân hàng năm, n là số năm tăng lên Ta có :số dân sau n năm là: x n =x(1+r) n (1) Số dân tại năm 2007 là 330000, tức là: x(1+r) 7 =330000 Vậy số dân đến độ tuổi vào lớp 1 tại năm 2007 chính là số dân sinh ra trong năm 2001-2002 Số dân này sẽ là: y=x.r Kết hợp với pt(1), ta được: x.r(1+r) 7 =330000.r ⇒y(1+r) 7 =330000.r Nhập vào màn hình phương trình trên với r=1,5÷ 100 Ấn "SHIFT" "SOLVE" Máy hiện x? Nhập giá trị 1 Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa Máy hiện kết quả y ≈ 4460 b)Số học sinh đủ độ tuổi vào lớp 1 năm học 2015-2016 sinh vào năm 2009. Gọi tỉ lệ tăng dân số cần khống chế là a. Theo đề, ta có pt: x x 33000(1+ ). ÷35=120 100 100 Nhập vào màn hình phương trình trên Ấn "SHIFT" "SOLVE" Máy hiện x? Nhập giá trị 1 Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa Máy hiện kết quả x ≈ 1,25 24/ Cho hình chữ nhật ABCD, BC>AB, hai đường chéo cắt nhau ở O và đường phân giác góc CAD cắt BD ở E. Gọi F là hình chiếu của E xuống AD, K là trung điểm của AD. Qua E dựng HG vuông góc với AE (H nằm trên AC, G nằm trên AD). Biết OH=1,3379 ; KF=4/3.OH. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. Giải: 6 25/ 26/ 7 27/ Cho A= 2 100 + 2 101 + 2 102 + . + 2 2007 . Tìm dư khi chia A cho 2007. Ghi qui trình bấm và kết quả. Giải: Để thuận tiện ta ký hiệu = thay cho dấu ≡, tất cả đều được tính toán trên modulo 2007. 2 0 +2 1 + .+2 1907 =2 1908 -1 Ta tìm số dư của 2 1908 cho 2007: Đặt f(n)= 2 2 n mod 2007 2 1908 ≡2 11101110100b = 2 4 5 6 8 9 10 2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 2 =f(2)f(4)f(5)f(6)f(8 )f(9)f(10) Tính trên máy: A=1 f(0)=2 f(1)=4 f(2)=16 A=A*16=16 f(3)=256 f(4)=1312 A=A*1312 mod 2007922 f(5)=1345 A=A*1345 mod 2007≡1771 f(6)=718 A=A*718 mod 2007≡1147 f(7)=1732 f(8 )=1366 A=A*1366 mod 2007≡1342 f(9)=1453 A=A*1453 mod 2007≡1129 f(10)=1852 A=A*1852 mod 2007≡1621 => 2 1908 -1 ≡ 1620 (có thể sử dụng 2^phi(2007)=2 675 ≡ 1 mod 2007 để tính gọn hơn Mặt khác 2 100 =2 1100100b = f(2).f(5).f(6) ≡1474 Nên A chia 2007 dư 1474*1620=1557 27/ Cho A=2 100 +2 101 +2 102 + .+2 2007 . Tìm dư khi chia A cho 2007 ( Trích đề thi HSGMT TP.HCM, THCS, 2006-2007) Giải: Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( các máy khác tương tự) Ta có: A=2 100 +2 101 +2 102 + .+2 2007 =2 100 (1+2+2 2 + .+2 1907 ) = 1908 100 100 1908 2 1 2 . 2 (2 1) 2 1 − = − − Dùng máy tính ta tính được: 2 10 ≡1024 ( mod 2007) 2 30 ≡838 ( mod 2007) 2 90 =(2 30 ) 3 ≡838 3 ( mod 2007) ≡1981 ( mod 2007) suy ra 2 100 =2 90 ×2 10 ≡1981×1024(mod 2007) ≡1474( mod 2007) Ta có: 2 300 =(2 100 ) 3 ≡1474 3 (mod 2007) ≡685(mod 2007) 685 3 ≡82(mod 2007) ⇒ 2 900 ≡82(mod 2007) Mặt khác: 2 1908 =(2 900 ) 2 ×2 100 ×2 8 ≡82 2 ×1474×28 (mod 2007) ≡ 1621(mod 2007) nên 2 100 ×(2 1908 -1)≡1474×(1621-1)(mod 2007) ≡ 1557(mod 2007) Vậy dư khi chia A cho 2007 là 1557 8 28/ Tìm phần dư của phép chia đa thức x 101 -3x 52 +2 cho x 2 +1 Giải Như đã biết số dư của phép chia P(x) cho tam thức ax 2 +bx+c có phần dư là mx+n với P(x 0 )=mx 0 +n trong đó x 0 là nghiệm của tam thức Lấy P(x)=x 101 -3x 52 +2 cho x 2 +1 Tam thức x 2 +1 có 2 nghiệm là x=±i Ta có: P(i)=i 101 -3x 52 +2 =i-3+2=i -1=m(i)+n Vậy m=1, n=-1 Phần dư của phép chia trên là x-1 29/ Tìm số tự nhiên n lớn nhất biết rằng khi chia n cho 7, cho 11, cho 13 đều dư 5 và n≤4005. Giải: Ta có (n-5) chia hết cho 7, 11, 13 và 7, 11, 13 nguyên tố từng đôi một nên (n-5) chia hết cho 7×11×13 =1001 ⇒n có dạng: n=1001k+5. Vì n≤ 4005 nên k≤ 3 Vậy số n lớn nhất thỏa mãn bài toán là :1001×3+5=3008 29/ cho P(x) = x 4 + ax 3 +bx 2 + cx + d biết P(1)=1988; P(2)=10031; P(3)=46062; P(4)=118075. Tính P(2005) Giải: Dùng nội suy Newton: Đặt P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D P(1)=1988 suy ra D=1988 P(2)=10031 suy ra C=10031-D=8043 P(3)=46062 suy ra B= 46062-2C-D 2 =13994 P(4)=118075 suy ra A= 118075-6B-3C-D 6 = 3997 3 Vậy P(2005)=2004*2003*2002*2001 tận cùng là 00024 + 3997 3 .2004.2003.2002 tận cùng là 79976 + 13994.2004.2003 tận cùng là 83928 + 8043.2004 tận cùng là 18172 + 1988 tận cùng là 01988. Từ đó P(2005)=26843028284088 30/ Biet = 1003+ 2005 - 1003- 2005x là nghiệm của phương trình ẩn x : x 3 +ax 2 +bx+8=10 ( với a, b∈Q) . Tìm a,b va cac nghiệm còn lại của phương trình. Giải: Ta tính được x= 2 . Thế 2 vào pt được 2 2 2 2 2 0a b+ + − = (1) (hay 2 2 2 2 2a b+ = − ta có ngay a=1 ; b=-2 (do đồng nhất)) Ta có pt ban đầu là x 3 +ax 2 +bx-2=0 Nên pt có nghiệm nguyên là ước của -2 gồm 1,-1,-2,2 Lần lượt thử x=1,; -1;2;-2 vào pt ta được pt (2) Giải (1) và (2) được a =1 và b =-2. Dùng chương trình shift solve để giải pt và tìm các nghiệm còn lại. 31/ Đề bài: Cho dãy số a 0 =2004, a n+1 = 2 1 n n a a + (1≤ n≤ 1003). Tìm GTNN của phần nguyên của a n Bài gải: a n+1 =a n + 1 n 1 a +1 − < an → dãy giảm Vậy a 1003 là số nhỏ nhất. Ngoài ra a n+1 = a n 1 n 1 a +1 − + nên phần nguyên của a n+1 = phần nguyên của a n -1 = a n -1 → Phần nguyên của a 1003 = a 0 -1003 =1001. ĐS: 1001 32/ Tìm các chữ số a, b, c, d, e, f biết a, b hơn kém nhau 1 đơn vị và a0b . cdef =801090. Giải Vì a ≠ 0 và a, b sai khác nhau 1 đơn vị nên a0b chỉ có thể là các số 102; 203; 304; 405; 506; 607; 708; 809 hay 100; 201; 302; 403; 504; 605; 706; 807; 908. Nhập vào máy 0 "SHIFT" "STO" A A=A+1:801090÷(100A+1+A) Bấm = = cho đến A=8, thương nào ra giá trị nguyên thì đó là nghiệm 9 Ta được tại A=4 thương bằng 1978, tức là 405 và 1978 là 1 nghiệm Tiếp tục nhập vào màn hình: -1 "SHIFT" "STO"A A=A+1:801090÷(100(A+1)+A) Bấm = = như trên đến A=9 không có giá trị nào thỏa Vậy 405 và 1978 là nghiệm duy nhất của bài toán. 33/ Viết kết quả dạng hỗn số của tích: 1 1 357 .579 579 357 Giải: Ta có 1 1 1 1 357 357 ;579 579 579 579 357 357 1 1 1 1 357 .579 (357 ).(579 ) 579 357 579 357 1 1 206703 + 1 + 1 + =206705 206703 206703 = + = + ⇒ = + + = 34/ Tìm số dư của 40 35 5 chia cho 7 Giải Áp dụng định lý fermat nhỏ Nếu (a,p)= 1 ⇒ a p-1 ≡1(mod p) Do (5,7) =1Nên 5 6 ≡ 1 (mod 7) (1) Hơn nữa, ta có: 35 4 ≡ 1 (mod 6) ⇒35 40 ≡1 (mod 6). Kết hợp với (1), ta được: 40 35 5 ≡5 (mod 7) 35/ Tìm số nguyên dương n sao cho: 2.2 2 +3.2 3 +4.2 4 + +n.2 n =2 n+10 (Trích bài 6 Đề thi máy tính casio của sở Giáo Dục và đào tạo tỉnh Hải Phòng năm 2002-2003 Lớp 11) Giải Chia 2 vế cho 2, ta có pt: 2 2 +3.2 2 +4.2 3 + +n.2 n-1 =2 n+9 . (Đặt f(x) = x 2 + x 3 + x 4 + …+x n ) 2 3 4 2 ( . )' n x x x x x = + + + + =2 n+9 ⇔ 1 2 2 1 ( . )' 1 n x x x x − = − − =2 n+9 ⇔-2 n +n.2 n+1 -2 n .n =2 n+9 ⇔2 n .(n-1)=2 n+9 ⇔n=2 9 +1 36/ Tìm x, y nguyên dương thỏa: 3 3 20 10 2 20 10 2y x x= + + − − + (Trích đề thi máy tính bỏ túi TP. HCM, Tuyển học sinh giỏi bậc THPT) Nhập vào màn hình như sau:Gán 0 "SHIFT" "STO" x x=x+1: 3 3 20 10 2 20 10 2x x+ + − − + . Ấn = .= cho đến khi x=39 máy hiện kết quả là 4 Vậy x=39, y=4 36/ Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:2 x + 3 x + 5 x = 11=(*) Giải: Biến đổi (*) thành: 2 3 5 ( ) ( ) ( ) 1 0 11 11 11 x x x + + − = Nhận xét: f(x)= 2 3 5 ( ) ( ) ( ) 1 11 11 11 x x x + + − nghịch biến trên toàn trục số và f(0)=2;f(1)=-111 nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên (0;1). Phương trình (*) tương đương với: 2 ln(2 3 5 ) ln11 x x x + + = Hàm số g(x)= 2 ln(2 3 5 ) ln11 x x + + có 2 ln 2 3 ln3 5 ln 5 (2 3 5 )ln5 ln5 '( ) (2 3 5 )ln11 (2 3 5 )ln11 ln11 x x x x x x x x x x x x g x + + + + = < = + + + + <1 nên dãy lặp x n+1 = g(x n ) hội tụ. Tính trên Casio fx-500ES: Khai báo: x 0 =1 Thực hiện dãy lặp:ln(2 Ans +3 Ans +5 Ans )/ln11; ta được kết quả: 0.9156989177 37/ Tìm hai chữ số tận cùng của số: 2008 [( 21 29) ]+ (phần nguyên) Đặt 10 [...]... 2798 41 => 327688 < 2798 418 Hay: 3223 < 2432 41/ So sánh a) 444777 và 555666 b) 2007 2007 + 1 2007 2008 + 1 và 2007 2008 + 1 2007 2009 + 1 Giải: a) Ta có : 444777 = 11 1777 x 4777 = 11 1777 x (47) 11 1 555666 = 11 1666 x 5666 = 11 1666 x (56) 11 1 444777 =11 1777.4777 =11 1666 .11 111 1.(47 )11 1 =11 1666. (11 1.47 )11 1 555666 =11 1666.5666 =11 1666.(56 )11 1 Bài toán trở thành so sánh 11 1.47 và 56 11 1.47>56→444777>555666 11 b)... 1 2004 20052 Giải 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 = ( + + )2 2 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = 2+ 2+ =( + − ) Từ đó, áp dụng: 2 + 2 + 2 2 m n ( m + n) m n ( − m − n) m n m+n Nhận xét: với a, b, c ≠ 0;a + b + c = 0 thì ta có ⇒ 1 1 1 1 1 2 1 1 + 2+ = (1 + − ) = 1+ − 2 2 1 n (n + 1) n n +1 n n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + + 2 = (1 + − ) + (1 + − ) + + (1 + − ) 2 2 1 2 3 1 3 4 1. .. 7 Mà 12 3^456 =12 3 ^11 4.4 sẽ có dạng 12 3^k do đó 12 3^456 sẽ có chữ số tận cùng là 1 Cách 2: Ta có: 12 3456 = (3× 41) 456 = 3456 × 414 56 3456 = (320)22 × 316 3456 ≡ 12 2 × 316 (mod 10 0) 3456 ≡ 21 (mod 10 0) (1) 414 56 = ( 415 ) 91 × 411 414 56 ≡ 19 1 × 41 (mod 10 0) 414 56 ≡ 41 (mod 10 0) (2) Nhân hai đồng dư thức (1) và (2) Ta được: 12 3456 ≡ 61 (mod 10 0) Vậy: 2 số cuối của 12 3456 là 61 49/ tìm số dư của 200 715 7chia... 2008 Ta có :10 10 ≡ 13 68 (mod 2008 ) 13 682 ≡ 19 76 (mod 2008 ) 13 683 ≡ 400 (mod 2008 ) ≡ 4 .10 2 (mod 2008 ) 10 30 ≡ 4 .10 2 (mod 2008 ) 10 1980= (10 30)66 ≡ 466 .10 132 (mod 2008 ) 10 120 ≡ 44 .10 8 (mod 2008 ) 10 1980 ≡ 470 .10 20 (mod 2008 ) 10 2006 ≡ 470 .10 46 (mod 2008 ) 10 20 ≡ 19 76 (mod 2008 ) 10 40 ≡ 10 24 (mod 2008 ) 10 6 ≡ 16 (mod 2008 ) 10 46 ≡ 10 24 16 ≡ 320 (mod 2008 ) 415 ≡ 19 76(mod 2008 ) 430 ≡ 19 762 ≡ 10 24 (mod... 200 715 7chia cho 19 99 Giải Ta có: 2007 = 19 99 + 8 nên dư của phép chia 200 715 7 19 99 cũng là dư của phép chia 815 7 19 99 8 ^10 =963 ( mod 19 99) 963^3 =10 98 ( mod 19 99) =>8^30 =10 98 ( mod 19 99) 10 98^3 =13 99( mod 19 99) 10 98^2=207( mod 19 99) =>8^90 =13 99 ( mod 19 99) 8^60=207 ( mod 19 99) =>8 ^15 0 =13 99 x 207 ( mod 19 99) =17 37 ( mod 19 99) =>8 ^15 7 =17 37 x 5^7( mod 19 99) = 13 11 ( mod 19 99) vậy dư là 13 11 50/ Tìm n nhỏ... hình 4÷ 19 Bấm "=" ta được 0. 210 526 316 ⇒ 17 ÷ 19 ≅ 0.89473684 210 526 31 Bấm "replay" chỉnh màn hình thành 4 -19 ×0. 210 526 31 Bấm "=" ta được 0.00000 011 0 Ghi vào màn hình 11 ÷ 19 Bấm "=" ta được 0.578947368 ⇒ 17 ÷ 19 ≅ 0.89473684 210 526 315 7894736 Bấm "replay" chỉnh màn hình thành 11 -19 ×0.57894736 Bấm "=" ta được 0.00000 016 0 Ghi vào màn hình 16 ÷ 19 Bấm "=" ta được 0.84 210 5263 ⇒ 17 ÷ 19 ≅ 0.89473684 210 526 315 789473684 210 526... năm 19 92 đến năm 2055 có 63 năm, trong đó có 16 năm nhuận Khoảng cách ngày giữa 2 năm: 15 16 × 366+(63 -16 ) × 365=23 011 ngày 23 011 chia 7 dư 2.Vậy 01/ 01/ 2055 là thứ 6 59/ Tính tổng: 1+ 1+2 +1+ 2+3+ +1+ 2+ +2008 Giải Gọi A là tổng cần tìm ta thấy A= Vậy A= ∑ ∑ 2008 k k =1 i =1 i = ∑ k =1 2008 k ( k + 1) 2008 k ( k + 1) ( k + 2) − ( k − 1) k ( k + 1) = ∑ k =1 2 6 2008.2009.2 010 =13 514 1 412 0 6 60/ Tính tổng: 1x99+2x98+3x97+... 10 03 + 41/ 173 913 =998 + 352 /13 33333 + 10 03 + 41/ 173 913 =20 01+ 1/20 01 63/ Tìm chữ số thập phân thứ 2007 trong phép chia 2007 cho 2008 Giải Số thập phân thứ 2007 cũng chính là số thập phân đầu tiên của phép chia A=2007× 10 2006 cho 2008 Ta có :10 10 ≡ 13 68 (mod 2008 ) 13 682 ≡ 19 76 (mod 2008 ) 13 683 ≡ 400 (mod 2008 ) ≡ 4 .10 2 (mod 2008 ) 10 30 ≡ 4 .10 2 (mod 2008 ) 10 1980= (10 30)66 ≡ 466 .10 132 (mod 2008 ) 10 120 ≡... ×2 51 Kiểm tra ta thấy 2 51 là số nguyên tố U(2008 )={ 20 × 2 510 , 21 × 2 510 , 22 × 2 510 , 23 × 2 510 , 20 × 2 511 , 21 × 2 511 , 22 × 2 511 , 23 × 2 511 } = {1, 2, 4, 8, 2 51, 502, 10 04, 2008} Vậy tổng các ước của 2008 là : 3780 62/ tính giá trị BT N=5322,666744 : 5,333332 + 17 443,478 : 17 ,3 913 Ghi kết quả ở dạng hỗn số, viết quy trình bấm phím Giải: N=5322666744 / 5333332 + 17 4434780 / 17 3 913 =998 + 14 08/5333332 + 10 03...x1 = ( 21 - 29) 2 = 50 - 2 21 29 x2 = ( 21 + 29) = 50 + 2 21 29 2  x1 + x2 = 10 0  x1.x2 = 64 Khi đó  Vậy x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 -10 0x+64=0 n n Đặt Sn= x1 + x2 Ta có: x12 -10 0 x1 + 64 = 0 ⇒ x1n + 2 − 10 0 x1n +1 + 64 x1n = 0 (1) ( nhân với x1) 2 n n n x2 -10 0 x2 + 64 = 0 ⇒ x2 + 2 − 10 0 x2 +1 + 64 x2 = 0 (2) (nhân với x2) Cộng (1) và (2), ta được: Sn+2 -10 0Sn +1+ 64Sn=0 (3) . 777 =11 1 666 .11 1 11 1 .(4 7 ) 11 1 =11 1 666 . (11 1.4 7 ) 11 1 555 666 =11 1 666 .5 666 =11 1 666 .(5 6 ) 11 1 Bài toán trở thành so sánh 11 1.4 7 và 5 6 11 1.4. Q (10 ) =11 1;Q(-5)= 21 Tính P (10 ) và P(-5). P (10 )=3024 (10 -u) +11 1; P(-5)=3024(-5-u)+ 21 ⇒ P (10 )-P(-5)=3024 15 +11 1 - 21= 45450 17 / Cho dãy số: 1 2 3 4 1 1 1 1 1